Toplam olasılık

Açılış sahnesi

Bir hastanenin merkez laboratuvarında kalite sorumlusu aylık raporu açıyor. Numune kabul biriminde hatalı etiketli gelen numunelerin oranı geçen ay binde 21'di, bu ay binde 29. Yönetim toplantısında ilk cümle hazır: "Etiketleme kötüleşti." Ama sorumlu önce başka bir satıra bakıyor. Numuneler üç ayrı birimden geliyor ve bu ay numunelerin çok daha büyük bir kısmı, etiket hatası en sık olan birimden gelmiş.

Birimlerin her birine tek tek bakıldığında hata oranlarının hiçbiri değişmemiş. Değişen yalnız hangi birimden ne kadar numune geldiği. Genel oran, parçaların oranlarının ağırlıklı ortalamasıdır ve ağırlıklar kaydığında hiçbir parça değişmeden yükselebilir. Bu ders o ortalamayı elle hesaplamayı, ağırlık kaymasını gerçek bir değişimden ayırmayı ve bu kaymanın en şaşırtıcı sonucunu, bir farkın yönünün tersine dönmesini öğretiyor.

Bu derste ne olacak

Önce olasılık uzayını parçalara bölmenin iki koşulunu hatırlayacak ve toplam olasılık kuralını formülüyle yazacağız. Sonra açılıştaki binde 21'i hem formülle hem bin numuneyi sayarak hesaplayacağız ve parçalar bütünü kaplamadığında hesabın nasıl sessizce bozulduğunu göreceğiz. Ardından binde 29'un nereden geldiğine, yani karışım etkisine ve onu ayırmanın aracı olan standartlaştırmaya geçeceğiz. Son bölümde her parçada bir yönde olan farkın birleşimde ters yöne döndüğü bir örneği sayıyla kuracağız.

Sıfır noktası

Örneklem uzayını işleyen L02-P02-M01-D01, bir uzayın iki koşulunu koymuştu: sonuçlar ayrık olmalı, yani ikisi aynı anda gerçekleşmemeli; ve tüketici olmalı, yani gerçekleşebilecek her şeyi kaplamalı. Aynı iki koşul, uzayı parçalara böldüğünde de geçerli. Açılıştaki her numune tek bir birimden gelir ve her numune mutlaka bir birimden gelir. Bu iki cümle doğruysa elinde bir bölümleme var.

Formülle yazıldığında parçalar A₁, A₂, … diye adlandırılır ve B aranan olaydır: P(B) = Σ P(B | Aᵢ) × P(Aᵢ). Toplama işaretinin altındaki her terim bir parçanın katkısıdır. P(B | Aᵢ) o parçanın kendi oranı, P(Aᵢ) de parçanın bütün içindeki payı, yani ağırlığı. Kuralın özeti tek cümle: genel oran, parça oranlarının ağırlıklı ortalamasıdır ve ağırlıklar parçaların büyüklükleridir.

Mekanizma

Formülle ve sayımla

Geçen ayın verisiyle başla. Numunelerin yarısı poliklinikten, yüzde 30'u servislerden, yüzde 20'si acil servisten geliyor. Hatalı etiket oranı poliklinikte 0,01, servislerde 0,02, acilde 0,05. Formüldeki üç terim sırasıyla 0,5 × 0,01 = 0,005, 0,3 × 0,02 = 0,006 ve 0,2 × 0,05 = 0,010. Toplamları 0,005 + 0,006 + 0,010 = 0,021, yani binde 21.

Şimdi aynı hesabı bin numuneyi sayarak yap. Bin numunenin 1000 × 0,5 = 500'ü poliklinikten, 1000 × 0,3 = 300'ü servislerden, 1000 × 0,2 = 200'ü acilden geliyor. Hatalı etiketliler 500 × 0,01 = 5, 300 × 0,02 = 6 ve 200 × 0,05 = 10 numune. Toplam 5 + 6 + 10 = 21 hatalı numune, bin numunenin binde 21'i. İki yol aynı sonucu veriyor, çünkü formüldeki her terim sayımdaki bir kutunun bine bölünmüş hâli.

Burada kolay bir kestirmeye dikkat et. Üç birimin oranlarının düz ortalaması (0,01 + 0,02 + 0,05) ÷ 3 ≈ 0,027 eder ve doğru cevaptan belirgin biçimde büyüktür. Düz ortalama üç birime eşit ağırlık verir; oysa acil servis, en yüksek oranı taşıyan birim, numunelerin yalnız beşte birini gönderiyor. Genel oran hiçbir zaman parçaların düz ortalaması değil, büyüklükleriyle tartılmış ortalamasıdır.

Parçalar bütünü kaplamadığında

Hesabın bir ön koşulu var: ağırlıkların toplamı bir etmeli. İlk ayda 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1, yani üç birim bütün numuneleri kaplıyor. Şimdi bir ay boyunca gece açılan bir nöbet biriminin de yüz numune gönderdiğini ve bu birimin hata oranının 0,06 olduğunu varsay. Rapor yalnız üç birimin tablosunu kullanmaya devam ederse genel oranı yine binde 21 bulur.

Gerçek sayım başka. Bin yüz numunede 21 + 100 × 0,06 = 21 + 6 = 27 hatalı numune var ve oran 27 ÷ 1100 ≈ 0,025. Eski tablonun ağırlıkları gerçek toplam içinde 500 ÷ 1100 + 300 ÷ 1100 + 200 ÷ 1100 ≈ 0,91 ediyor; eksik kalan yaklaşık 0,09, tablonun görmediği birimin payı. Rapor binde 21 derken gerçek oran binde 25'e yakın. Örneklem uzayı dersi bu hatayı eksik uzay hatası diye adlandırmıştı ve buradaki biçimi aynı: dışarıda kalan parça hesabı bozuyor ama hesap kendi içinde tutarlı göründüğü için hata fark edilmiyor. Tersine, bir numune iki birime birden yazılırsa ayrıklık bozulur ve o numunenin hatası iki kez sayılır.

Karışım etkisi

Açılıştaki binde 29'a dönelim. Bu ay numunelerin yüzde 30'u poliklinikten, yüzde 30'u servislerden, yüzde 40'ı acilden gelmiş; hata oranları geçen ayla aynı. Formülle 0,3 × 0,01 + 0,3 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,003 + 0,006 + 0,020 = 0,029. Hiçbir birimde hiçbir şey değişmedi, yalnız acilin payı ikiye katlandı ve genel oran binde 21'den binde 29'a çıktı.

Genel oran iki şeye birden bağlı olduğu için, değiştiğinde en az üç açıklama vardır: parçaların oranları değişmiş olabilir, parçaların büyüklükleri değişmiş olabilir ya da ikisi birden. Tek başına genel oran bunları ayırmaz. Yönetim toplantısındaki "etiketleme kötüleşti" cümlesi yalnız birinci açıklamayı görüyor.

Birikim ve alanı işleyen L02-P01-M03-D04'te aynı yapıyla karşılaşmıştın: bir havuzun düzeyi değiştiğinde giren akış da çıkan akış da sorumlu olabilir ve tek bir ölçüm hangisi olduğunu söylemez. Burada akışların yerini parça oranları ile parça büyüklükleri alıyor. Akademide tekrar tekrar karşına çıkan ders yine geçerli: bir özet sayı, kendisini oluşturan bileşenleri göstermez.

Çözüm: standartlaştırma

Bir adım daha ekleyelim: bu ay acil serviste yeni bir etiket yazıcısı kullanılmaya başlanmış ve acilin hata oranı 0,05'ten 0,04'e inmiş. Ham genel oran 0,3 × 0,01 + 0,3 × 0,02 + 0,4 × 0,04 = 0,003 + 0,006 + 0,016 = 0,025; bu oran geçen ayın 0,021'inden hâlâ yüksek. Bu ayın oranlarını geçen ayın bileşimine uygularsan 0,5 × 0,01 + 0,3 × 0,02 + 0,2 × 0,04 = 0,005 + 0,006 + 0,008 = 0,019 bulursun. Aynı bileşimde karşılaştırıldığında durum kötüleşmemiş, iyileşmiş: ham rapordaki yükseliş gerçek bir iyileşmeyi gizliyordu.

Standartlaştırmanın bir bedeli var: hangi bileşimin standart seçildiği sonucu etkiler. Geçen ayın bileşimini standart alırsan fark binde 2 çıkar (0,021'e karşı 0,019). Bu ayın bileşimini alırsan geçen ayın oranları 0,029, bu ayınkiler 0,025 verir ve fark binde 4 olur. Yön aynı, büyüklük farklı. Standartlaştırma karışım etkisini kaldırır ama yerine bir seçim koyar ve o seçim bildirilmelidir. Güç yasaları dersindeki kütleye bölme uyarısı da aynı aileden: bir düzeltme, ancak neye göre yapıldığı söylendiğinde okunabilir.

En sert sonuç: yön çevrilmesi

Karışım etkisi yalnız farkın büyüklüğünü değiştirmez, yönünü de çevirebilir. Laboratuvar numuneleri iki taşıma yoluyla, X ve Y diye adlandıracağımız iki sistemle getiriyor ve kalite sorumlusu hangi yolda daha çok numunenin kullanılamaz geldiğine bakıyor. Numuneler iki kaynaktan geliyor: kullanılamaz gelmeye yatkın acil numuneleri ve daha dayanıklı poliklinik numuneleri. X'in taşıdığı beş yüz numunenin dört yüzü acilden, yüzü poliklinikten; Y'ninkinin ise yüzü acilden, dört yüzü poliklinikten.

Önce her kaynağa ayrı bak. Acil numunelerinde X'in dört yüz numunesinden 40'ı kullanılamaz, oran 0,10; Y'nin yüz numunesinden 12'si, oran 0,12. Poliklinik numunelerinde X'in yüz numunesinden 2'si, oran 0,02; Y'nin dört yüz numunesinden 12'si, oran 0,03. X iki kaynakta da daha iyi. Şimdi toplam olasılık kuralıyla birleştir. X için 0,8 × 0,10 + 0,2 × 0,02 = 0,08 + 0,004 = 0,084; Y için 0,2 × 0,12 + 0,8 × 0,03 = 0,024 + 0,024 = 0,048. Birleşimde Y neredeyse iki kat iyi görünüyor. Sayımla da aynı: X'te 42 ÷ 500 = 0,084, Y'de 24 ÷ 500 = 0,048.

Hesapta hata yok. Sonuç, ağırlıkların eşitsiz dağılmasından geliyor: X'in yükünün yüzde 80'i zor kaynaktan, Y'ninkinin yüzde 80'i kolay kaynaktan. Toplam olasılık kuralı her yolun oranını kendi ağırlıklarıyla tarttığı için, iki yol aslında farklı karışımların ortalamasını veriyor.

Hangi düzeydeki sonucun kullanılacağı istatistikten çıkmaz. Soru, alt grup değişkeninin rolüdür: karşılaştırmayı bozan bir etken mi, yoksa etkinin yolu üzerindeki bir aracı mı? Buradaki numune kaynağı, hangi yolun seçildiğini belirleyen bir etken; acil numuneleri X'e yönlendirildiği için kaynak hem yolu hem sonucu etkiliyor. Bu durumda alt gruplara ayırmak doğru ve X daha iyi. Kaynak yolun bir sonucu olsaydı karar tersine dönerdi. Nedensellik modülündeki ortak neden ve aracı değişken dersleri bu ayrımı kuruyor ve cevap verinin değil, alan bilgisinin içinde.

Klinik gerçeklik

Bir genel oranla ya da iki genel oranın karşılaştırmasıyla karşılaştığında önce oranın hangi parçalardan oluştuğunu sor ve parçaların payları toplandığında bir edip etmediğine bak; etmiyorsa bir parça dışarıda kalmıştır. Sonra bileşimin değişip değişmediğini sor, çünkü açılıştaki gibi bir yükseliş yalnız ağırlıkların kaymasından doğabilir. Standartlaştırılmış bir oran verildiyse hangi bileşime göre hesaplandığını öğren.

Son soru bu dersin ölçütü: fark, alt gruplara ayrıldığında hâlâ aynı yönde mi? Değilse hangi düzeyin kullanılacağı bir karardır ve o kararın cevabı veriden değil, alt grup değişkeninin ne olduğundan çıkar. Birleştirilmiş sonucu tek başına veren bir rapor, bu kararı okurdan saklamış olur.

Kendini sına

1. Toplam olasılık kuralını formülle yaz. Her terimdeki iki çarpan neyi temsil ediyor?
2. Açılıştaki binde 21'i hem formülle hem bin numuneyle hesapla. Üç oranın düz ortalaması neden yanlış cevap veriyor?
3. Parçalar bütünü kaplamadığında ne oluyor? Nöbet birimi örneğinde ağırlıkların toplamı kaç çıktı ve bu hangi hatanın adı?
4. Bir genel oran değiştiğinde üç açıklamayı yaz. Açılıştaki yükseliş hangisiydi?
5. Acil servisin hata oranı 0,04'e indiğinde ham oran ile standartlaştırılmış oran neden ters yönleri gösterdi?
6. Standart bileşimin seçimi sonucu nasıl etkiledi? Neden bildirilmeli?
7. Taşıma yolu örneğinde X iki alt grupta da daha iyiyken birleşimde neden daha kötü görünüyor? Toplam olasılık kuralıyla göster.
8. Hangi düzeyin kullanılacağı neye bağlı? A rozetli kartın bildirim kuralı ne?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste parçalardan bütüne gittin: her birimin oranını ve payını bilerek genel oranı kurdun. Açılıştaki yirmi bir hatalı numuneye ters yönden de bakılabilir: elinde hatalı etiketli bir numune varsa, onun acil servisten gelmiş olma olasılığı nedir? Sıradaki derste bu ters soruyu bir test sonucu için soracaksın ve bu dersin toplamının, orada bir kesrin paydası olarak geri döndüğünü göreceksin. Parçanın bütün içindeki payı orada önsel, parçadaki oran olabilirlik adını alıyor (L02-P02-M01-D07).