Bağımsızlık

Açılış sahnesi

Bir kliniğin haftalık toplantısında koordinatör, bir yılda doldurulan dört yüz ön görüşme formunu tek bir tabloya dökmüş. Danışanların 160'ında D vitamini sonucu düşük, 120'si kas ağrısından yakınıyor ve 64 kişide ikisi birden var. Masadaki biri hemen "64 kişi, ikisi belli ki birlikte gidiyor" diyor. Koordinatör başka bir soru soruyor: 64 çok mu, neye göre çok?

Bu soru dersin tamamını taşıyor. Bir sayının "çok" olduğunu söyleyebilmek için, iki durum birbirinden habersiz olsaydı kaç kişi bekleneceğini bilmen gerekir. O beklenen sayıyı kurmak, bağımsızlığı bir varsayım olmaktan çıkarıp bir sınamaya dönüştürmenin ilk adımıdır. Sınamanın bir sonucu da seni şaşırtacak: tablodaki bağın tamamı, iki durumdan hiçbiri olmayan üçüncü bir şeyden geliyor olabilir.

Bu derste ne olacak

Önce bağımsızlığı iki eşdeğer biçimiyle tanımlayacak ve örneklem uzayı dersindeki iki testin neden bağımsız çıktığını hatırlayacağız. Sonra açılıştaki tabloda beklenen sayıları hesaplayıp gözlenenle karşılaştıracağız. Ardından aynı kişiden alınan tekrarlı ölçümlerin neden bağımsız olmadığını ve bunun elindeki bilgiyi nasıl küçülttüğünü bir sayıyla göreceğiz. Son bölümde tabloyu mevsime göre ikiye bölecek ve bir bağın, üçüncü bir değişken bilindiğinde nasıl kaybolduğunu, başka bir durumda da nasıl yoktan doğduğunu hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Koşullu olasılığın diliyle yazıldığında tanım P(B | A) = P(B) olur: A'nın gerçekleştiği grupla sınırlandığında B'nin oranı, bütün uzaydaki oranıyla aynı kalır. Bu eşitliği çarpma kuralına yerleştirirsen ikinci biçim çıkar: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(A) × P(B). İki biçim aynı şeyi söyler. Birincisi "bilmek bir şey değiştirmedi" der, ikincisi "birlikte görülme sıklığı, tek tek sıklıkların çarpımı kadar" der.

Örneklem uzayı dersindeki iki test bu tanımın kusursuz bir örneğiydi. Bin numunede her test yüzde on oranında pozitif çıkıyordu ve ikisinin birlikte pozitif çıktığı numune sayısı 1000 × 0,10 × 0,10 = 10 idi. Birinci test pozitifken ikincinin pozitif olma oranı 10 ÷ 100 = 0,10, yani bütün numunelerdeki oranın aynısı. Ama o tablo bu eşitlik tutacak biçimde kurulmuştu; bağımsızlık orada bir bulgu değil, kurgunun kendisiydi. Gerçek bir veride aynı eşitliğin tutup tutmadığı ancak sayarak öğrenilir.

Bağımsızlık simetriktir. A, B'den bağımsızsa B de A'dan bağımsızdır, çünkü çarpım biçiminde A ile B'nin yeri değişince hiçbir şey değişmez. Bağımlılık da simetriktir ve bu yüzden yön bilgisi taşımaz. İki durumun birlikte gitmesi, hangisinin ötekine yol açtığını ya da ikisinin ortak bir kaynaktan mı beslendiğini söylemez.

Mekanizma

Bir tabloda bağımsızlığı sınamak

Açılıştaki dört yüz formu dört kutuya aç. D vitamini düşük ve kas ağrısı olan 64, D vitamini düşük ama ağrısız 96, D vitamini normal ama ağrılı 56, ikisi de olmayan 184 danışan. Kenar toplamları 160 ve 240, 120 ve 280; genel toplam 400. Şimdi bağımsızlığın ikinci biçimini kullan. İki durum bağımsız olsaydı ikisini birden taşıyan danışan sayısı 400 × 0,40 × 0,30 = 48 olurdu.

Gözlenen 64, beklenen 48. Kutuların geri kalanı da aynı kuralla hesaplanır, çünkü her kutunun beklenen sayısı satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplamdır: D vitamini düşük ve ağrısız kutu için 160 × 280 ÷ 400 = 112, ağrılı ama D vitamini normal kutu için 240 × 120 ÷ 400 = 72, dördüncü kutu için 168. Gözlenen ile beklenen arasındaki farklar sırasıyla +16, −16, −16 ve +16. Kenar toplamları sabit kaldığı için tek bir kutunun sapması ötekilerin sapmasını belirler; dört kutu aslında tek bir sayıyı dört kez söyler.

Aynı sonucu birinci biçimle de okuyabilirsin. D vitamini düşük olanlarda kas ağrısı oranı 64 ÷ 160 = 0,40; bütün danışanlarda 120 ÷ 400 = 0,30. D vitamini normal olanlarda ise 56 ÷ 240 ≈ 0,23. Bilmek oranı değiştirdi, demek ki bu tabloda iki durum bağımsız değil. Simetri de sayılarda görünüyor: ağrısı olanlarda D vitamini düşüklüğü 64 ÷ 120 ≈ 0,53, genel oran 0,40, ve iki yöndeki artış aynı katta, 0,40 ÷ 0,30 ≈ 1,33 ile 0,53 ÷ 0,40 ≈ 1,33.

Bu hesabın sınırı var ve dürüst olmak gerekiyor. Dört yüz kişilik bir tabloda 64 ile 48 arasındaki fark, yalnız rastlantıdan da doğabilir mi? Aynı oranlar kırk kişilik bir tabloda 6,4'e karşı 4,8 gibi bir farka inerdi ve o büyüklükte bir fark şansla kolayca oluşur. Farkın rastlantıyla açıklanıp açıklanamayacağını ölçen araç ki-kare ölçüsüdür ve bu tablonun beklenen sayıları orada doğrudan kullanılır (L02-P02-M02-D07). Buradan şu okuma kuralını al: veri bağımsızlığın bozulduğunu gösterebilir, ama bir fark bulunmaması bağımsızlığı kanıtlamaz, çünkü küçük bir tablo gerçek bir bağı göremeyecek kadar gürültülü olabilir.

Aynı kişiden iki ölçüm

Tablodaki her danışan bir kez sayıldı. Şimdi başka bir veri düşün: on danışanın açlık kan şekeri aynı hafta içinde ikişer kez ölçülmüş ve raporda yirmi değer var. Bu yirmi değer birbirinden bağımsız değildir. Aynı kişinin iki ölçümü aynı metabolizmayı, aynı alışkanlıkları, çoğu zaman aynı laboratuvarı paylaşır; birincisini bilmek ikincisi hakkında çok şey söyler.

Bunu bir sayıyla görebilirsin. Aynı kişinin iki ölçümü arasındaki benzerliği bir korelasyonla ifade et ve kurgu değer olarak 0,8 al. Kümelenmiş veride varyansın ne kadar büyüdüğünü veren tasarım etkisi, küme iki ölçümden oluştuğunda 1 + 0,8 = 1,8'e iner. Yirmi değer 20 ÷ 1,8 ≈ 11 bağımsız değer kadar bilgi taşıyor; on kişiden gelen verinin on bir değer eşdeğerine inmesi, ikinci ölçümün neredeyse hiç yeni bilgi getirmediğini söylüyor. Benzerlik sıfır olsaydı yirmi değerin yirmisi de sayılırdı, bir olsaydı yalnız on kişi kalırdı.

Bunun bedeli belirsizlikte ödenir. Standart hata etkin sayının kareköküyle küçülür. Tek bir ölçümün yayılımını bir birim kabul edersen, yirmi bağımsız değer varsayan bir rapor ortalamanın standart hatasını 1 ÷ √20 ≈ 0,22 bulur; gerçekte olması gereken ise 1 ÷ √11,1 ≈ 0,30. Oran √1,8 ≈ 1,34; rapordaki güven aralığı olması gerekenden yaklaşık dörtte bir daha dar çıkar. Kümelenmiş gruplar için tasarım etkisini ve etkin örneklem büyüklüğünü ayrıntıyla kuran dağılım varsayımı dersi, bu iki ölçümlük kümenin büyük gruplardaki karşılığını hesaplıyor (L02-P02-M02-D08).

Kartın bulgusu bir okuma kuralına dönüşüyor: dar bir güven aralığı her zaman çok veri anlamına gelmez. Aynı kişiden alınmış ölçümler, aynı ailedeki bireyler ya da aynı merkezde toplanan danışanlar bağımsız sayıldıysa aralık yapay olarak daralmıştır. Bir çalışmada "n" sayısını gördüğünde kişi mi, ölçüm mü saydığını sor.

Üçüncü bir değişken bilindiğinde

Açılıştaki tabloya bir sütun daha ekle: formun hangi mevsimde doldurulduğu. Dört yüz formun yarısı kışın, yarısı yazın gelmiş. Kış grubunda 200 danışanın 120'sinde D vitamini düşük, 100'ünde kas ağrısı var ve ikisi birden 60 kişide. Beklenen sayı 120 × 100 ÷ 200 = 60; gözlenenle birebir aynı. Yaz grubunda 40 kişide D vitamini düşük, 20 kişide ağrı var, ikisi birden 4 kişide ve beklenen 40 × 20 ÷ 200 = 4.

İki mevsimin ikisinde de iki durum bağımsız. Yine de iki grup birleştirildiğinde 60 + 4 = 64 kişi çıkıyor ve bağımsızlık 48 bekliyordu. Bağın tamamı mevsimden geliyor: kışın iki durum da daha sık, yazın ikisi de daha seyrek, ve mevsimleri karıştırınca iki durum birlikte yükselip alçalıyormuş gibi görünüyor.

Bu, karıştırıcı değişken kavramının sayıyla yazılmış hâlidir. Bir çözümlemede bir değişkene "düzeltmek", tabloyu o değişkenin düzeylerine bölüp her parçada bağımsızlığı yeniden sınamak demektir. Ama tersi de olabilir: birbirinden bağımsız iki durum, üçüncü bir şeye koşullanınca bağımlı hâle gelebilir. Bin kişilik bir nüfusta iki durumun her biri yüzde yirmi sıklıkta ve bağımsız olsun; ikisi birden 1000 × 0,20 × 0,20 = 40 kişide görülür. Bir merkez yalnız iki durumdan en az birini taşıyanları, yani 360 kişiyi kabul ediyorsa, merkezde ikinci durumun genel oranı 200 ÷ 360 ≈ 0,56, birinci durumu taşıyanlardaki oranı ise 40 ÷ 200 = 0,20 çıkar.

Nüfusta hiçbir bağ yokken merkezin kayıtlarında güçlü bir ters ilişki belirdi ve bunu üreten şey seçim ölçütünün ta kendisi. Koşullu olasılık dersinde seçilmiş grupların bir ilişkinin yönünü bile değiştirebildiğini okumuştun; bu hesap o cümlenin nasıl gerçekleştiğini gösteriyor. Koşullamak bazen bir ilişkiyi temizler, bazen yoktan üretir. Hangi değişkene koşullanacağına bu yüzden tablo değil, olayların nasıl bağlandığına dair bilgi karar verir.

Klinik gerçeklik

Bir raporda iki olasılığın çarpıldığını ya da iki bulgunun "birlikte görüldüğünü" okuduğunda ilk sorun bağımsızlığın varsayılıp varsayılmadığı olsun. Çarpma yapıldıysa varsayılmıştır ve gerekçesinin yazılıp yazılmadığına bakarsın. Birlikte görülme iddiası varsa, beklenen sayının ne olduğunu sor; 64 kişi ancak 48 ile yan yana konunca bir şey söyler.

Ardından gözlemlerin kümelenip kümelenmediğine bak. Aynı kişiden alınan tekrarlı ölçümler, aynı aileden gelen bireyler ve aynı yöntemle yapılan ölçümler, sayıları kadar bilgi taşımaz ve raporlanan aralığı olduğundan dar gösterir. Son olarak hangi değişkenlere koşullanıldığını ve grubun nasıl seçildiğini sor. Bir bağ üçüncü bir değişkenden gelebilir, bir seçim ölçütü de olmayan bir bağı üretebilir; ikisinin ayrımı tabloya değil, olayların nasıl birbirine bağlandığına dair bilgiye dayanır.

Kendini sına

1. Bağımsızlığın iki biçimini yaz. Çarpım biçimi koşullu biçimden nasıl türetiliyor?
2. Örneklem uzayı dersindeki iki testte bağımsızlık neden bir bulgu değil, kurgunun kendisiydi?
3. Açılıştaki tabloda dört kutunun beklenen sayılarını hesapla. Sapmalar neden aynı büyüklükte?
4. D vitamini düşük olanlarda kas ağrısı oranı ile genel oranı karşılaştır. İki yöndeki artış neden aynı katta?
5. Kırk kişilik bir tabloda aynı oranlar neden bağımsızlığın bozulduğunu göstermeye yetmeyebilir?
6. On danışandan ikişer ölçüm ve 0,8 benzerlikle etkin değer sayısı kaç? Benzerlik 0,5 olsaydı kaç olurdu?
7. Mevsime göre bölünen tabloda iki durum her mevsimde bağımsız; birleşik tabloda neden değil?
8. Bağımsız iki durum, seçilmiş bir merkezde nasıl ters ilişkili görünür? İkinci kanıt kartı bununla nasıl bağlanıyor?

Bir sonraki derse köprü

Mevsim örneğinde D vitamini düşüklüğü kışın 0,60, yazın 0,20 sıklıktaydı ve dört yüz formun tamamında 0,40 çıktı. Genel oranın iki parça oranından tam olarak nasıl kurulduğunu bu derste sormadık. Sıradaki derste bu soruyu toplam olasılık kuralıyla cevaplayacağız: genel oran parçaların ağırlıklı ortalamasıdır ve parçaların payı kaydığında, hiçbir parça değişmeden genel oran yer değiştirebilir. Bu kaymanın adı karışım etkisi (L02-P02-M01-D06).