Koşullu olasılık

Açılış sahnesi

Bir laboratuvarın çalışma odasında iki kişi aynı tabloya bakıyor. Tabloda iki bin numune var; bir durumun bulunup bulunmadığı ve yeni bir hızlı testin sonucu yan yana yazılmış. Test geliştiricisi "durumu olan yüz numunenin seksenini yakaladık" diyor ve testin yüzde seksen başarılı olduğunu söylüyor. Yanındaki hekim başka bir satıra bakıyor: testin pozitif çıktığı iki yüz yetmiş numuneden yalnız seksen tanesinde durum gerçekten var.

İkisi de aynı seksen numuneden söz ediyor ve ikisi de doğru sayıyor. Ama biri seksenini yüze, öteki iki yüz yetmişe bölüyor; birinin sonucu 0,80, ötekininki 0,30'a yakın. Hekimin elinde pozitif bir sonuç olan danışan için önemli olan ikinci sayı. Bu ders, iki cümlenin aynı sözcüklerle kurulup nasıl bu kadar farklı sayılar verdiğini ve farkın nereden geldiğini anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce koşullu olasılığı örneklem uzayı dersindeki laboratuvar formu üzerinden bir formüle bağlayacak ve formülün sayımla aynı sonucu verdiğini göreceğiz. Sonra açılıştaki iki bin numuneyle iki yönü ayrı ayrı hesaplayacak ve farkın paydalardan geldiğini sayılarla göstereceğiz. Ardından durumun sıklığı değiştiğinde bu farkın nasıl büyüdüğüne geçeceğiz. Son bölümde koşullanmanın hesapta değil, verinin toplanışında gerçekleştiği daha sessiz biçimine, seçilmiş gruplara bakacağız.

Sıfır noktası

Örneklem uzayını işleyen L02-P02-M01-D01'de bin numuneye iki test uygulanmıştı ve sonuç çiftleri 10, 90, 90 ve 810 numunede görülmüştü. Birinci testin pozitif çıktığı öğrenildiğinde uzay bu dört kutunun ikisine, 10 + 90 = 100 numuneye inmişti. İkinci testin de pozitif olma olasılığı bu yeni paydaya göre 10 ÷ 100 = 0,10 çıkmıştı. Koşullanmak, bilinen olayla uyumsuz sonuçları atıp olasılığı kalan grup içinde yeniden hesaplamaktır.

Aynı işlemi oranlarla da yazabilirsin. İki testin birlikte pozitif çıkma olasılığı 10 ÷ 1000 = 0,01, birinci testin pozitif çıkma olasılığı 100 ÷ 1000 = 0,10. Birinciyi ikinciye böldüğünde 0,01 ÷ 0,10 = 0,10 bulursun, sayımla aynı sonuç. Genel kural şudur: B'nin gerçekleştiği bilindiğinde A'nın olasılığı, P(A | B) = P(A ve B) ÷ P(B). Paydadaki P(B), uzayın daralıp kaldığı parçanın büyüklüğüdür; formül sayımın kısaltılmış yazısıdır.

Formülün dikey çizgisinden sonra ne yazıyorsa payda odur. Bu yüzden bir koşullu olasılık cümlesini okurken ilk iş, "hangi grup içinde?" sorusunun cevabını bulmaktır. Cümlenin geri kalanı, o grubun içinde neyin sayıldığını söyler.

Mekanizma

İki yön neden farklı

Açılıştaki tabloyu dört kutuya aç. İki bin numunenin yüzünde durum var ve test bunların sekseninde pozitif, yirmisinde negatif. Durumu olmayan 1.900 numunede test yüzde on oranında yanlış pozitif veriyor: 1900 × 0,10 = 190 numune pozitif, 1.710 numune negatif. Pozitiflerin toplamı 80 + 190 = 270 numune.

Şimdi iki yönü formülle hesapla. Test geliştiricisinin sorusu "durum varsa test pozitif mi?" ve paydası durumu olanlar: P(pozitif | durum) = (80 ÷ 2000) ÷ (100 ÷ 2000) = 0,04 ÷ 0,05 = 0,80. Hekimin sorusu "test pozitifse durum var mı?" ve paydası pozitif çıkanlar: P(durum | pozitif) = 0,04 ÷ (270 ÷ 2000) = 0,04 ÷ 0,135 ≈ 0,30. Pay iki hesapta da aynı, 0,04; yani iki cümle aynı seksen numuneyi sayıyor. Fark tümüyle paydada: birinde yüz numune, ötekinde iki yüz yetmiş.

O özel durumu formül gösteriyor. İki yönün payı her zaman ortak olduğu için, P(A | B) ile P(B | A) ancak paydalar eşitse, yani P(A) ile P(B) aynı büyüklükteyse eşit çıkar. Örneklem uzayı dersindeki iki test tam böyleydi: ikisi de numunelerin yüzde onunda pozitifti ve iki yön de 0,10 veriyordu. Açılıştaki tabloda ise durum 100 numunede, pozitiflik 270 numunede ve iki yön arasındaki oran 270 ÷ 100 = 2,7 kat. Duyarlılığı işleyen L01-P05-M02-D02 bu ayrımı "koşullu olasılığın yönü" diye adlandırmıştı; buradaki hesap onun aritmetik temeli.

Taban oran farkı belirliyor

Açılıştaki tabloda taban oran 100 ÷ 2000 = 0,05. Testin kendisine dokunmadan yalnız bu oranı değiştir ve iki bin numunenin yalnız yirmisinde durum bulunsun, yani taban oran 0,01 olsun. Test yirmi numunenin 20 × 0,80 = 16'sını yakalıyor. Durumu olmayan 1.980 numunenin 1980 × 0,10 = 198'i yanlış pozitif çıkıyor. Pozitiflerin toplamı 16 + 198 = 214 ve durumun pozitifler içindeki payı 16 ÷ 214 ≈ 0,075.

Birinci yön hâlâ 0,80, çünkü testin durumu olan numunelerdeki davranışı değişmedi. İkinci yön ise 0,30'dan 0,075'e düştü. Kuralı buradan okuyabilirsin: taban oran küçüldükçe iki yön arasındaki fark büyür. Nedeni sayılarda görünüyor. Durum ne kadar seyrekse durumu olmayanların grubu o kadar büyüktür ve onların küçük bir oranı bile, 198 numunede olduğu gibi, gerçek pozitiflerin sayısını geçer.

Kartın son cümlesi bu dersin de neden önce iki bin numuneyi sayıp sonra formülü yazdığını açıklıyor. "Durumu olan numunelerin yüzde sekseni pozitif, olmayanların yüzde onu" cümlesinden 0,30'u zihinden çıkarmak zor. "Seksen gerçek pozitif, yüz doksan yanlış pozitif" cümlesinden ise neredeyse kendiliğinden çıkar. Temel oran ihmalini bir düşünme yanlılığı olarak işleyen L01-P03-M03-D04, aynı hatanın zihnin hangi kısayolundan geldiğini anlatıyordu.

Koşullanmanın öteki yüzü: seçilmiş gruplar

Koşullu olasılık yalnız bir hesap aracı değildir; veri toplanırken de koşullanma olur. Bir grup belirli bir özelliğe göre seçildiyse, o grup içinde hesaplanan her olasılık o seçime koşulludur. Formülün diliyle, paydayı araştırmacı değil seçim süreci belirlemiştir ve bu payda çoğu zaman yazılmaz.

Somut karşılığı bir uzmanlık merkezidir. Merkeze başvuranlar arasında hesaplanan bir oran, başvurma koşuluna bağlıdır. Kişiler şikâyetleri ağırlaştığında ya da başka bir yerde çözüm bulamadıklarında başvuruyorsa, merkezdeki durum sıklığı ve belirtilerin birlikte görülme biçimi genel nüfustakinden farklı çıkar. Merkezde hesaplanan her sayı, "başvurmuş olmak" koşuluyla okunmalıdır.

Kartın "yön değişebilmektedir" ifadesi sert bir sonuç taşıyor: seçilim, genel nüfusta olmayan bir ilişki üretebilir. Mekanizması bu derste kurduğun şeyle aynıdır. Seçim ölçütü iki değişkene birden bağlıysa, seçilmiş grubun paydası ikisini birlikte süzer ve aralarında, süzmenin kendisinden doğan bir bağ görünür. Bu yüzden bir merkez çalışmasında "şu iki özellik birlikte görülüyor" cümlesini okurken, grubun nasıl oluştuğunu sonuç kadar dikkatle okumalısın.

Klinik gerçeklik

Bir koşullu olasılık cümlesiyle karşılaştığında önce yönünü bul: "A verildiğinde B" mi söyleniyor, yoksa "B verildiğinde A" mı? Test tanıtımları çoğunlukla birinci yönü, yani durumu olanlarda testin ne yaptığını verir; danışanın elindeki soru ise ikinci yöndür. Sonra paydayı adıyla söyle, hangi grup içinde bakıldığını. Bu iki adım, açılıştaki 0,80 ile 0,30'u karıştırmayı tek başına önler.

Ardından taban oranı sor, çünkü iki yön arasındaki fark onun küçüklüğüyle büyür ve aynı test farklı gruplarda farklı konuşur. Son olarak grubun nasıl seçildiğini sor: bir merkezde, bir başvuru listesinde ya da bir gönüllü grubunda hesaplanan oran o seçime koşulludur. Dört sorunun hepsi tek bir cümleye iner: hangisi verildi, hangisi soruluyor ve hangi grup içinde?

Kendini sına

1. Açılıştaki iki cümleyi ayır. Hangisi testin özelliği, hangisi danışanın sorusu? Paydaları kaç numune?
2. Örneklem uzayı dersindeki 0,10 sonucunu P(A | B) = P(A ve B) ÷ P(B) formülüyle yeniden hesapla.
3. İki yönün payı neden her zaman aynıdır? İki yön hangi koşulda eşit çıkar?
4. Açılıştaki testte yanlış pozitif oranı yüzde beşe inseydi, durum pozitifler içinde ne pay tutardı?
5. Taban oran ile iki yön arasındaki fark arasındaki kuralı yaz. 0,05'ten 0,01'e geçişte ne oldu?
6. Birinci kanıt kartı, bu modülün hesapları neden sayımla kurduğunu nasıl açıklıyor?
7. Seçilim koşullanması nedir? Bir uzmanlık merkezinde hesaplanan oran neden genel nüfusa taşınamaz?
8. "Aynı test, iki grup" vakasında test değişti mi? Ne değişti?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste koşullanmanın paydayı daralttığını ve bunun olasılığı çoğu zaman değiştirdiğini hesapladın: 0,05'lik taban oran, pozitif bir sonuç bilindiğinde 0,30'a çıktı. Ama örneklem uzayı dersindeki iki testte başka bir şey olmuştu. Birinci test pozitifken ikincinin pozitif olma olasılığı 0,10'du, bütün numunelerdeki olasılığı da 100 ÷ 1000 = 0,10. Payda daraldı, olasılık yerinden kıpırdamadı. Sıradaki derste bu durumun adını, bağımsızlığı kuracağız ve onun genellikle sınanan değil varsayılan bir özellik olduğunu göreceğiz.