Birleşim ve kesişim

Açılış sahnesi

Bir iş yerinin sağlık biriminde hemşire, bin çalışana uygulanan yıllık anketin özetini yazıyor. Çalışanların yüzde 30'u uyku yakınması, yüzde 25'i gündüz yorgunluğu bildirmiş. Rapora ilk cümle kolayca geliyor: "Çalışanların yüzde 55'inde bu iki yakınmadan en az biri var." Sonra bir satır daha ekleniyor, yüzde 50 baş ağrısı, ve aynı mantıkla üç yakınmadan en az birinin yüzde 105 çalışanda görüldüğü ortaya çıkıyor.

Yüzde 105 imkânsız, dolayısıyla bir yerde bir hata var. Hata üçüncü satırda başlamadı, birincide başladı: yüzde 55 de yanlıştı, yalnız yanlışlığı gözle görülmüyordu. Aynı kişi hem uyku yakınması hem gündüz yorgunluğu bildirebiliyor ve toplama, o kişiyi iki kez saydı. Bu ders iki olayı birleştirmenin iki temel işlemini, toplamayı ve çarpmayı, her birinin sessiz koşuluyla birlikte kuruyor.

Bu derste ne olacak

Önce birleşimi ve kesişimi tanımlayıp toplama kuralını örneklem uzayı dersinin iki testli formunda doğrulayacağız. Sonra açılıştaki anketi bin kişiyle sayıp çifte sayımın nereden geldiğini göreceğiz. Ardından çarpma kuralına ve onun sessiz koşulu olan bağımsızlığa geçecek, bu koşul bozulduğunda çarpımın ne kadar yanıldığını hesaplayacağız. Son bölümde modülün en ünlü sezgi hatasına ve "en az bir tane" hesabına geleceğiz.

Sıfır noktası

Birleşim ile kesişimin olasılıkları iki kuralla hesaplanır. Toplama kuralı birleşim içindir: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). İki olasılık toplanır ve ortak bölge bir kez çıkarılır; olaylar ayrıksa ortak bölge boş olduğu için yalnız toplam kalır. Çarpma kuralı kesişim içindir: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A), yani birincinin olasılığı çarpı birincisi gerçekleştiği bilindiğinde ikincinin olasılığı. Olaylar bağımsızsa ikinci çarpan sade P(B)'ye iner. Her iki kuralın da kısa hâli bir özel durumdur, genel hâl değil.

Toplama kuralını önce tanıdık bir yerde dene. Örneklem uzayını işleyen L02-P02-M01-D01'de bin numuneye iki test uygulanmıştı ve her test numunelerin yüzde 10'unda pozitif çıkıyordu. İki testin birden pozitif olduğu numune sayısı 10'du. Kuralla: 0,10 + 0,10 − 0,01 = 0,19. Oradaki sayım da en az bir pozitif çıkan 190 numune bulmuştu. Kural sayımın kısaltmasıdır; eksi terim, iki testin birden pozitif olduğu on numunenin iki kez sayılmasını önler.

Mekanizma

Toplama: çifte sayım

Açılıştaki ankete dön ve bin çalışanı say. Uyku yakınması 1000 × 0,30 = 300 kişide, gündüz yorgunluğu 1000 × 0,25 = 250 kişide var. Anket ikisini birden bildiren 150 kişi olduğunu da gösteriyor. Hemşirenin yüzde 55'i 300 + 250 = 550'den geliyordu ve bu 150 kişi o toplamda iki kez yer alıyor: bir kez uyku satırında, bir kez yorgunluk satırında.

Kuralla düzelt: 0,30 + 0,25 − 0,15 = 0,40. Sayımla aynı: 300 + 250 − 150 = 400 kişide en az bir yakınma var, 1000 − 400 = 600 kişide hiçbiri yok. Yüzde 55 ile yüzde 40 arasındaki fark, tam olarak iki kez sayılan yüz elli kişi. Toplama kuralının koşulu ayrıklıktır ve bu iki yakınma ayrık değil.

Çifte sayımın en hızlı kontrolü doğru cevabı bilmeyi gerektirmez: bir olasılık birden büyük olamaz, dolayısıyla toplam biri geçiyorsa hata kesindir. Üç yakınmanın 0,30 + 0,25 + 0,50 = 1,05 vermesi bu kontrolden geçemiyor. Boyut analizi dersindeki boyut kontrolü nasıl hangi sayılar konursa konsun yanlış olan bir formülü yakalıyorsa, bu sınır da çifte sayımı cevabı hesaplamadan yakalar. Ama kontrol tek yönlüdür. Yüzde 55 biri geçmiyordu ve yine de yanlıştı; sınırın altında kalan bir toplam, doğru olduğu anlamına gelmez.

Sağlıkta karşılığı doğrudan: birlikte görülebilen durumların oranları toplanamaz. Komorbidite ve multimorbiditeyi işleyen derste gördüğün gibi bir kişi birden çok durumu birden taşıyabiliyorsa, durum oranlarının toplamı kişi sayısını aşabilir. Bir raporda "yüzde X'inde şu, yüzde Y'sinde bu, yani yüzde X + Y'sinde bir sorun" cümlesiyle karşılaştığında ilk sorulacak şey, iki grubun örtüşüp örtüşmediğidir.

Çarpma: bağımsızlık varsayımı

Şimdi ters soruyu sor: iki yakınmayı birden bildiren kaç kişi var? En hızlı cevap çarpmaktır: 0,30 × 0,25 = 0,075, yani bin kişide 75. Anketteki gerçek sayı ise 150; çarpım gerçeğin yarısını veriyor. Hata, iki yakınmanın birbirinden bağımsız olduğunu varsaymaktan geliyor.

Genel kural bunu düzeltir. Uyku yakınması olan üç yüz kişiden yüz ellisi gündüz yorgunluğu da bildirmiş, yani P(yorgunluk | uyku) = 150 ÷ 300 = 0,50. Oysa bütün çalışanlarda yorgunluk oranı 0,25. Uykusu bozuk olanlarda yorgunluk iki kat sık, çünkü iki yakınma birbirine bağlı. Genel kuralla P(A ∩ B) = 0,30 × 0,50 = 0,15, sayımla tam uyuşuyor. Kısa kuralın, yani sade P(B) ile çarpmanın doğru çıkması için bu koşullu oranın 0,25 olması gerekirdi.

Aynı hata örneklem uzayı dersinin iki testinde olmamıştı, çünkü o testler bağımsız çalışacak biçimde kurgulanmıştı: 0,10 × 0,10 = 0,01 ve bin numunede tam on. Gerçek hayatta bağımsızlık çoğu zaman bir varsayımdır. Aynı kişide arka arkaya yapılan testler aynı biyolojik durumu ölçer, aile üyeleri ortak genler ve ortak bir ev paylaşır, aynı yöntemle yapılan ölçümler aynı sistematik hatayı taşır. Okuma kuralı basit: bir yerde olasılıklar çarpılmışsa, bağımsızlığın gerekçesi sorulur. Bu modülün bağımsızlık dersi o gerekçenin nasıl sınanacağını ayrıca işliyor.

Bileşik olay yanılgısı

Kesişimin bir özelliği matematiksel bir zorunluluktur: iki koşulu birden sağlayan kişiler, tek koşulu sağlayanların bir alt kümesidir. Bu yüzden bir kesişim, kendisini oluşturan olayların hiçbirinden daha olası olamaz. Ankette iki yakınmayı birden bildiren yüz elli kişi, uyku yakınması olan üç yüz kişinin de, yorgunluk bildiren iki yüz elli kişinin de içinde duruyor. Üç yakınmanın üçünü birden bildirenler de bu yüz ellinin içinde kalmak zorunda.

Sezgi ise çoğu zaman tersini söyler. "Bu çalışanın uykusu bozuk, gündüzleri yorgun ve bu yüzden baş ağrısı çekiyor" cümlesi, "bu çalışanın uykusu bozuk" cümlesinden daha inandırıcı gelir; ayrıntılı, tutarlı ve bir hikâyesi var. Ama olasılığı daha düşük, çünkü karşılanması gereken koşul sayısı daha fazla. İnandırıcılık ile olasılık bu noktada ters yönde ilerler.

Kartın son cümlesi bir dürüstlük notu: bulgu güçlü, yorumu tartışmalı ve akademi bu tartışmayı gizlemiyor. Kartın ortasındaki cümle ise pratik bir çıkış yolu gösteriyor. "Bin çalışandan kaçı üç yakınmayı birden bildirir, kaçı yalnız uykuyu?" diye sayı olarak sorulduğunda, alt kümenin daha küçük olduğu kendiliğinden görünür. Sözde bilimsel dili işleyen dersteki bilimsel süs de aynı mekanizmayı besler: her yeni teknik ayrıntı açıklamayı daha ikna edici, ama daha az olası yapar.

İkisi birlikte: "en az bir tane"

Birleşimi hesaplamanın ikinci bir yolu var ve çoğu zaman daha kolay: hiçbirinin olmama olasılığını bulup birden çıkarmak. Örneklem uzayı dersinin iki testinde hiçbir testin pozitif çıkmaması 0,90 × 0,90 = 0,81 ve en az birinin pozitif çıkması 1 − 0,81 = 0,19. Toplama kuralıyla, sayımla ve tümleyenle üç yoldan aynı sayı bulunuyor.

Ama tümleyen yolu da çarpma kullanıyor ve bu yüzden bağımsızlık koşulunu taşıyor. Ankette hiçbir yakınması olmayan kişi oranını bağımsızlık varsayarak hesaplarsan 0,70 × 0,75 = 0,525 bulursun ve en az bir yakınmayı 1 − 0,525 = 0,475 sanırsın. Gerçek sayım 600 kişiyi, yani 0,60'ı gösteriyordu ve doğru cevap 1 − 0,60 = 0,40. Yanlış bağımsızlık varsayımı, doğru bir yöntemin içine de sızabiliyor.

Bağımsız fırsatların sayısı arttıkça "en az bir tane" olasılığı hızla büyür. Çoklu test sorununu işleyen L01-P05-M03-D05 bunu bir laboratuvar panelinde hesapladı; alt grup avcılığı dersi aynı aritmetiği araştırma analizlerinde gösterdi. Ortak fikir şu: yeterince çok yere bakılırsa, bir yerde bir şey çıkar.

Klinik gerçeklik

Bir bileşik olasılık ifadesiyle karşılaştığında önce işlemi tanı. Oranlar toplandıysa olayların ayrık olup olmadığını sor; aynı kişi iki gruba birden girebiliyorsa toplam şişmiştir. Oranlar çarpıldıysa bağımsızlığın gerekçesini sor; iki durum birlikte görülme eğilimindeyse çarpım ortak grubu küçültmüştür. Toplam biri geçiyorsa hata kesindir, ama biri geçmemesi doğruluğun kanıtı değildir.

Sonra fırsat sayısını sor. Bir panelde, bir analizde ya da bir tarama listesinde kaç ayrı bakış yapıldıysa, "en az bir tane" bulunma olasılığı o kadar büyür. Son olarak ayrıntılı bir açıklama karşısında hikâyenin gücünü olasılığından ayır: her yeni ayrıntı açıklamayı daha ikna edici, ama daha az olası yapar.

Kendini sına

1. Birleşim ve kesişimi tanımla. Gündelik dildeki karşılıkları ne?
2. Toplama kuralını yaz ve örneklem uzayı dersinin iki testli formunda 0,19'u yeniden türet.
3. Açılıştaki yüzde 55 neden yanlış? Bin çalışanı sayarak doğru oranı bul.
4. "Toplam biri geçiyorsa hata kesin" kontrolü neden tek yönlü? Yüzde 55 örneğiyle açıkla.
5. Çarpma kuralının genel hâlini yaz. Ankette iki yakınmanın birden görülme oranını bu kuralla hesapla. Çarpım neden yarısını verdi?
6. Yanlış bağımsızlık varsayımının üç örneğini say.
7. Bileşik olay yanılgısı nedir? Üç yakınmayı birden bildirenlerin oranı neden yüzde 15'i geçemez?
8. "En az bir tane" hesabı tümleyen yoluyla yapılırken bağımsızlık varsayımı nereye sızıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste çarpma kuralının ikinci çarpanını, yani "birincisi gerçekleştiği bilindiğinde" olasılığı, bir kez hesapladın: uyku yakınması olan üç yüz kişiden yüz ellisi, 0,50. O hesapta payda binden üç yüze inmişti. Aynı yüz elli kişiyi bu kez yorgunluk bildiren iki yüz elli kişiye bölseydin 0,60 bulurdun; aynı pay, farklı payda, farklı sonuç. Sıradaki ders bu paydayı adlandırıyor ve iki yönün birbirine karıştırılmasının laboratuvarda nasıl çok farklı iki sayı ürettiğini hesaplıyor (L02-P02-M01-D04).