Olay ve olasılık

Açılış sahnesi

Bir aile hekimliği muayenehanesinde elli sekiz yaşında bir kadın, elindeki kâğıdı hekime uzatıyor. Bir risk hesaplayıcısının çıktısı: "Önümüzdeki beş yılda bu durumun tanısını alma olasılığınız yüzde 3." Kadının kız kardeşi de aynı hesaplayıcıyı başka bir sitede denemiş, aile öyküsü kutusunu işaretlemiş ve kendi kâğıdında yüzde 8 yazıyor. Kadın soruyor: "Hangisi benim olasılığım? Ben de o ailedenim."

İki kâğıttaki sayı da doğru hesaplanmış olabilir. Kadın aynı anda iki gruba ait: kendi yaşındaki kadınlara ve aile öyküsü olan kadınlara. Her grup kendi oranını veriyor ve iki oranın ikisi de bu kadına ait sayılabilir. Üstelik kadın beş yılın sonunda ya tanı almış olacak ya almamış olacak; tek bir kişinin başına yüzde 3'lük bir şey gelmez. Bu ders, bir olasılık cümlesinin tam olarak neyi söylediği hakkında.

Bu derste ne olacak

Önce olayı ve olasılığı tanımlayacak, olasılığın uyduğu üç kuralı bir laboratuvarın numune kayıtlarıyla deneyeceğiz. Sonra aynı sayının iki ayrı okumasını, sıklık ve inanç yorumlarını ayıracak, tek bir kişi için sıklığın neden yetmediğini göreceğiz. Ardından açılıştaki kadının iki sayısını elle hesaplayıp referans sınıfı sorununa geleceğiz. Son bölümde iki yorumun paylaştığı ortak aritmetiği ve sözcükle söylenen olasılığın neden bir sayı bildirmediğini ele alacağız.

Sıfır noktası

Örneklem uzayını işleyen L02-P02-M01-D01'de iki testin sonuç çiftlerini listelemiş ve "en az biri pozitif" sorusunun cevabını veren sonuçları, uzayın bir parçası olarak ayırmıştın. O parçanın adı burada konuyor.

Bir laboratuvarın kabul biriminde her gelen kan numunesi dört sonuçtan birine düşüyor: uygun, hemolizli, pıhtılı ya da etiketsiz. "Numune yetersiz" bir olaydır ve son üç sonucu kapsar; "numune uygun" ise tek bir sonuçtan oluşan bir olaydır. Bir olay, uzayın içinden hangi sonuçları seçtiğinle tanımlanır. Bu yüzden "olasılığı ne?" sorusu, önce "hangi sonuçlar sayılıyor?" sorusunun cevabını ister.

Hangi yorum benimsenirse benimsensin, olasılık üç kurala uyar. Her olasılık sıfır ile bir arasındadır; eksi bir olasılık ya da 1,2'lik bir olasılık yoktur. Örneklem uzayının tamamının olasılığı birdir, çünkü sonuçlardan biri mutlaka gerçekleşir. Aynı anda gerçekleşemeyen, yani ayrık olayların birleşiminin olasılığı, olasılıklarının toplamıdır. Laboratuvarda hemolizli numunelerin oranı 0,025, pıhtılıların 0,01 ve etiketsizlerin 0,005 ise, bir numune aynı anda yalnız birine düştüğü sürece yetersiz numune olasılığı 0,025 + 0,01 + 0,005 = 0,04 olur. Uygun numune olasılığı ikinci kuraldan gelir: 1 − 0,04 = 0,96. Üçüncü kural en sessiz koşulu taşıyan ve en sık yanlış uygulanan kuraldır; olaylar örtüştüğünde ne olduğu bir sonraki dersin konusu.

Mekanizma

İki yorum

Laboratuvarın yüzde 2,5'lik hemoliz oranı nereden geliyor? Kabul birimi her gün numune sayıyor. Pazartesi gelen 500 numunenin 14'ü hemolizli: 14 ÷ 500 = 0,028. Salı gelen 500 numunenin 11'i: 11 ÷ 500 = 0,022. İki günü birleştirince 25 ÷ 1000 = 0,025. Günlük oran oynuyor, ama sayım uzadıkça bir değere yerleşiyor. Olasılığın bu okuması, aynı koşulların tekrar tekrar yaşandığı bir süreci tarif ediyor.

Şimdi kabul biriminde tek bir tüpe bak. Bu sabah gelen, üzerinde hastanın adı yazan, henüz santrifüje girmemiş tek bir tüp. "Bu tüpün hemolizli olma olasılığı 0,025" dediğinde bir oran bildirmiyorsun, çünkü bu tüp bir kez gelecek ve ya hemolizli olacak ya olmayacak. Söylediğin şey, bu tüp hakkında elindeki bilgiyle ne kadar emin olduğun. Tüpün uzun bir taşıma yolundan geldiğini öğrenirsen tahminin değişir; tüpün kendisi değişmedi, senin bilgin değişti.

İki yorum çelişmiyor, farklı sorulara cevap veriyor. Sıklık yorumu "bu tür durumlarda ne kadar sık oluyor?" sorusunu cevaplar ve bir çalışmadan, bir kayıttan, bin numuneden gelen oran ona oturur. İnanç yorumu "bu belirli durum hakkında ne kadar eminiz?" sorusunu cevaplar ve bir hasta hakkında verilecek tek bir karar ona oturur. Sağlıkta ikisi de her gün kullanılır, çoğu zaman aynı cümlenin içinde ve fark edilmeden.

Açılıştaki kadına dön. Hesaplayıcının yüzde 3'ü bir gruptan geliyor: benzer kadınları yıllarca izleyen bir kayıtta, her yüz kadından yaklaşık üçü beş yıl içinde tanı almış. Bu sayı o kadına aktarıldığında aynı kalıyor, ama anlamı değişiyor. Grup için bir sıklıktı; kişi için bir inanç derecesi oluyor ve bu aktarma bir ek varsayım taşıyor: kadının o grubu temsil ettiği.

Referans sınıfı sorunu

Sıklık yorumunda bir oran hesaplanacaksa, hangi grup içinde hesaplanacağı seçilmek zorunda. Kadının kâğıdındaki yüzde 3, elli beş yaş üstü kadınlardan oluşan bin kişilik bir kayıttan gelsin: beş yılda 30 kadın tanı almış, 30 ÷ 1000 = 0,03. Kız kardeşinin kâğıdındaki yüzde 8, aynı yaş grubunda ve ailesinde bu durumun öyküsü olan yüz elli kadından gelsin: 12 kadın tanı almış, 12 ÷ 150 = 0,08. İkinci oran birincinin 0,08 ÷ 0,03 ≈ 2,7 katı.

Kadın iki sınıfa da giriyor: elli sekiz yaşında olduğu için birincisine, annesinde aynı tanı olduğu için ikincisine. İki hesap da doğru yapılmış; soru hangi sınıfın bu kadına daha çok benzediği. İkinci sınıf daha dar ve kadının taşıdığı bir özelliği daha hesaba katıyor, bu yüzden daha ilgili görünüyor. Ama dar sınıfın bir bedeli var ve bu bedel de elle hesaplanabilir.

Her iki grupta tek bir kadın daha tanı almış olsaydı ne değişirdi? Bin kişilik grupta oran 31 ÷ 1000 = 0,031 olur; tek kişinin etkisi 1 ÷ 1000 = 0,001. Yüz elli kişilik grupta oran 13 ÷ 150 ≈ 0,087 olur; tek kişinin etkisi 1 ÷ 150 ≈ 0,0067, yani geniş gruptakinin yaklaşık yedi katı. Dar sınıf daha ilgilidir ama daha az veri taşır ve her tek gözlem onu daha çok sarsar. Sınıfı daraltmaya devam edip "elli sekiz yaşında, annesinde öykü olan, sigara içmeyen, belirli bir kilo aralığındaki kadınlar" dersen, grupta belki on iki kişi kalır ve oran neredeyse rastlantıyla belirlenir. Bu yüzden referans sınıfı sorusunun tek bir doğru cevabı yoktur; her seçim ilgi ile kararlılık arasında bir yer seçer.

Aynı gerilim çalışma okumasında da karşına çıkar. Alt grup avcılığını işleyen L01-P06-M01-D04'te, her alt grubun ana çalışmadan daha az kişi içerdiğini ve bu yüzden sonucunun daha oynak olduğunu görmüştün. Referans sınıfını daraltmak da aynı riski taşır: daha az kişiyle hesaplanan oran, daha az güvenilir bir orandır. Örneklem uzayı dersindeki soru da burada yeniden beliriyor, çünkü referans sınıfını seçmek, olasılığın paydasını seçmektir.

İki yorumun ortak zemini

Yorum tartışması pratikte çoğu zaman sorun çıkarmaz, çünkü aritmetik ortaktır. Üç kural iki yorumda da aynıdır. Kadının tanı almama olasılığı sıklık okumasında da inanç okumasında da 1 − 0,08 = 0,92 çıkar. Bu modülün ilerleyen derslerinde kurulacak koşullu olasılık ve güncelleme hesapları da iki yorumda aynı biçimde çalışır. Fark sayının nereden geldiğinde ve neye karşılık geldiğindedir: bir kayıttaki orana mı, yoksa bir kişi hakkındaki bir güvene mi.

Akademinin Bayesçi düşünme modülü bu farkın üzerine kurulu. Orada inanç yorumu açıkça benimseniyor ve bir kişi hakkındaki ilk tahminin, yeni bir test sonucu geldiğinde nasıl güncelleneceği adım adım hesaplanıyor. O hesabın başlangıç noktası çoğu zaman bir grup oranıdır; yani referans sınıfı seçimi, güncellemenin de ilk kararıdır.

Kartın bulgusu bu dersin pratik bir sonucu. Hekim kadına "sizde olası değil" dese, kadın bunu yüzde 3 diye de, yüzde 8 diye de, yüzde 20 diye de duyabilir. Sözcük ne bir sıklık ne bir inanç derecesi bildirir; hangi sınıfın kullanıldığını da gizler. Sayıyı ve sınıfı birlikte söylemek, iki yorumun ortak zemininde kalmanın en basit yoludur.

Klinik gerçeklik

Bir olasılık ifadesiyle karşılaştığında önce onun bir sıklık mı yoksa bir inanç mı bildirdiğini sor. Bir kayıttan, bir çalışmadan ya da bir sayımdan geliyorsa sıklıktır; bir kişi hakkında söyleniyorsa, bir sıklığın o kişiye aktarılmış hâlidir ve aktarmanın varsayımı sorgulanmayı bekler. Sonra hesabın hangi grupta yapıldığını öğren: grubun kimlerden oluştuğu, kaç kişi olduğu ve kaç olay görüldüğü. Yüz elli kişilik bir gruptan gelen oran ile bin kişilik bir gruptan gelen oran aynı güvenle okunmaz.

Ardından o grubun karşındaki kişiyi temsil edip etmediğini düşün. Kişinin taşıdığı ve grubun hesaba katmadığı bir özellik varsa, örneğin aile öyküsü, başka bir referans sınıfı başka bir sayı verecektir; iki sayıyı birlikte bilmek, birini seçip ötekini unutmaktan daha dürüsttür. Son olarak sözcükle verilen bir olasılıkla karşılaşırsan sayısal karşılığını iste. "Hangi grup içinde?" sorusu bu dersin asıl ölçütüdür ve örneklem uzayı dersinin "hangi olasılıklar arasından?" sorusunun doğrudan devamıdır.

Kendini sına

1. Açılıştaki kadının iki sayısı nereden geliyor? Tek bir kişi için hangi yorum kaçınılmaz, neden?
2. Olay ve olasılığı tanımla. Laboratuvar örneğinde "numune yetersiz" olayı hangi sonuçları kapsıyor?
3. Üç kuralı yaz. Hemolizli, pıhtılı ve etiketsiz numune oranları 0,03, 0,02 ve 0,01 olsaydı uygun numune olasılığı kaç olurdu? Hangi koşul gerekiyor?
4. Pazartesi ile salı oranları neden farklı çıktı? Sıklık yorumu bu farkı nasıl açıklıyor?
5. Tekil olay sorunu nedir? Kabul birimindeki tek tüp örneğiyle açıkla.
6. Referans sınıfı nedir? Yüz elli kişilik grupta iki kadın daha tanı alsaydı oran kaç olurdu, bin kişilik grupta kaç?
7. B rozetli ilk kart "tek doğru olasılık yok" mu diyor? Ne diyor?
8. Vakadaki ikinci cümle hangi ek varsayımı taşıyor ve aile öyküsü bu varsayımı nasıl zayıflatıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste tek bir olaya sayı verdin ve üçüncü kuralı, ayrık olayların olasılıklarını toplamayı, hemolizli, pıhtılı ve etiketsiz numunelerle kullandın. O toplama bir numunenin aynı anda yalnız bir kusura düştüğü için doğruydu. Sıradaki derste iki olay aynı kişide birlikte görülebildiğinde ne olduğunu hesaplayacaksın: "ya da" ile "ve" arasındaki fark, birleşim ile kesişim, ve toplamanın aynı kişiyi iki kez saydığı çifte sayım.