Örneklem uzayı

Açılış sahnesi

Bir laboratuvarda aynı numuneye iki ayrı test uygulanıyor ve teknisyen sonuç formunu doldurmadan önce bir an duruyor: formda kaç kutu olmalı? Birinci test pozitif ya da negatif çıkabilir, ikinci test de öyle. Sonuç çiftleri ++, +−, −+ ve −− olmak üzere dört tanedir; 2 × 2 = 4. Ama formu hazırlayan kişi "numune yetersiz, test tekrarlanamadı" kutusunu unutmuşsa, o sabah gelen yetersiz numuneler bu dört kutudan birine yazılmak zorunda kalır.

Bir olasılık sorusu sorulmadan önce cevaplanması gereken soru budur: neler olabilir? Bu soruya verilen cevap sonraki her hesabı belirler ve olasılık hatalarının büyük bölümü hesapta değil, burada yapılır. Olabilecekler eksik sayıldıysa, doğru yapılan her işlem yanlış bir sonuca gider. Bu ders o listenin kurulması hakkında; listenin adı örneklem uzayı.

Bu derste ne olacak

Önce deneyi, sonucu ve örneklem uzayını iki testin sonuç çiftleri üzerinden kuracak, bir olasılığı basit bir sayımla hesaplayacağız. Sonra sayımın hangi koşulda bozulduğunu, sonuçlar eşit olasılıklı olmadığında ne olduğunu bin kişilik bir grupla göreceğiz. Ardından örneklem uzayının bir keşif değil bir model kararı olduğunu ve olasılığın paydasının tam olarak bu uzay olduğunu ele alacağız.

Sıfır noktası

Açılıştaki laboratuvarda deney, aynı numuneye iki testin uygulanmasıdır. Tek bir sonuç, örneğin +− çiftidir: birinci test pozitif, ikinci negatif. Örneklem uzayı dört çiftin hepsidir ve küme olarak {++, +−, −+, −−} diye yazılır.

Örneklem uzayının iki koşulu var ve ikisi de kolay atlanır. Birincisi tüketici olmasıdır: gerçekleşebilecek her sonuç listede bulunmalıdır. İkincisi ayrık olmasıdır: iki sonuç aynı anda gerçekleşememelidir; bir numune hem +− hem −− olamaz. İkisi birden sağlandığında sonuçların olasılıkları toplamı bire eşit olur. Sağlanmadığında toplam bozulur ve bu, bir hatanın en hızlı işaretidir.

Şimdi bir soru sor: iki testten en az biri pozitif mi? Bu sorunun cevabını veren sonuçlar ++, +− ve −+; yani uzayın bir parçası, bir alt kümesi. Sıradaki derste bu alt kümeye olay adı verilecek. Dört sonucun eşit olasılıklı olduğunu varsayarsan olasılık, bu alt kümedeki sonuç sayısının uzaydaki sonuç sayısına oranıdır: 3 ÷ 4 = 0,75. İki testin de negatif olma olasılığı, geri kalan tek sonuç −−, 1 ÷ 4 = 0,25; ikisinin toplamı 0,75 + 0,25 = 1.

Mekanizma

Sayım ne zaman bozulur

Az önceki hesap sessiz bir varsayım taşıyordu: dört sonuç eşit olasılıklı. Gerçek bir grupta bu varsayım nadiren doğrudur. Her iki testin de bir grupta yaklaşık yüzde 10 oranında pozitif çıktığını ve basitlik için birbirinden bağımsız çalıştığını varsay; bağımsızlığın ne demek olduğu bu modülün ileriki bir dersinde ayrıca işleniyor. Bin numunede iki testin de pozitif çıktığı çift 1000 × 0,1 × 0,1 = 10, +− çifti 1000 × 0,1 × 0,9 = 90, −+ çifti yine 90, −− çifti 1000 × 0,9 × 0,9 = 810 numunede görülür. Toplam 10 + 90 + 90 + 810 = 1000.

Aynı dört sonuç, aynı alt küme. Ama en az bir pozitif çıkan numune sayısı 10 + 90 + 90 = 190 ve olasılık 190 ÷ 1000 = 0,19. Sayımla bulunan 0,75 ile gerçek 0,19 arasındaki fark, dört kat. Sonuçları saymak ancak sonuçlar eşit olasılıklıysa işe yarar; değilse her sonucun ağırlığını, yani kaç kişide görüldüğünü saymak gerekir.

Bu ayrım basit ama önemli. Örneklem uzayı hangi sonuçların mümkün olduğunu söyler, her birinin ne kadar sık olduğunu söylemez. Uzayı doğru kurmak ilk adımdır, her sonuca doğru ağırlığı vermek ikincisidir ve ikisi ayrı hatalara açıktır.

Örneklem uzayı bir karar

Aynı gerçek durum farklı örneklem uzaylarıyla tarif edilebilir ve seçim, ne sorabileceğini belirler. İki testi "kaç test pozitif çıktı?" diye kaydetmeye karar verdiğini düşün. Uzay artık üç sonuçtan oluşur: sıfır, bir ya da iki pozitif. Bin numunede bunlar 810, 90 + 90 = 180 ve 10 numuneye karşılık gelir.

Kaba uzayda "tam bir pozitif" tek bir sonuçtur; ince uzayda bu sonuç +− ve −+ diye ikiye ayrılır. Kaba uzayla "birinci test mi pozitifti, ikinci mi?" sorusunu soramazsın, çünkü o bilgi kayıtta yok. Kaba uzayda sonuçları sayarak olasılık vermeye kalkan biri de her birine 1 ÷ 3 verir ve gerçek dağılımdan, 0,81, 0,18 ve 0,01'den, çok uzaklaşır. İki uzayda hesaplar farklı çıkabilir, hesap yanlış olduğu için değil, sorulan soru farklı olduğu için.

Değişken ve denklem dersinde her modelin yazılı olmayan varsayımlar taşıdığını görmüştün. Örneklem uzayında yazılmayan şey, listeye alınmayan sonuçtur.

Açılıştaki formda "numune yetersiz" kutusu yoksa bu tam olarak olur. Bin numunenin otuzu yetersizse geriye 970 gerçek sonuç kalır ve bunların 970 × 0,81 ≈ 786'sı −− çıkar. Form otuz yetersizi de −− kutusuna yazdırınca bu kutu yaklaşık 816 olarak kaydedilir; öteki üç kutu biraz küçülür ve dördünün toplamı yine bin eder. İçeriden hiçbir tutarsızlık işareti gelmez; eksik bir uzayda toplam yine bir eder. Tek koruma dışarıdan gelir: "başka ne olabilir?" sorusunu ayrıca sormak.

Örneklem uzayı, paydadır

Bir olasılık, istenen sonuçların sayısının bütün olası sonuçların sayısına oranı olarak kurulduğunda, o "bütün olası sonuçlar" tam olarak örneklem uzayıdır. 3 ÷ 4 hesabında payda dört sonuçlu uzaydı, 190 ÷ 1000 hesabında bin numunenin tamamı. Örneklem uzayı, olasılığın paydasıdır.

Bu cümle akademinin payda vurgusuyla olasılık kuramını birleştirir. Oran ve yüzdeyi işleyen derste bir yüzdeyi sorgularken "neyin yüzdesi?" diye sormayı öğrenmiştin; bir olasılığı sorgularken aynı soru "hangi olasılıklar arasından?" olur. Tanısal okuryazarlık programındaki derslerin dayandığı ilke de buydu: bir testin ne söylediği, hangi grup içinde, yani hangi örneklem uzayında bakıldığına bağlıdır.

Koşullanma uzayı daraltıyor

Bir bilgi edinildiğinde örneklem uzayının bir bölümü elenir. Birinci testin pozitif çıktığını öğrendiysen, −+ ve −− artık mümkün değildir ve uzay {++, +−} çiftine iner. Bin numunede bu, 10 + 90 = 100 numune demektir. İkinci testin de pozitif olma olasılığı artık bu yeni paydaya göre hesaplanır: 10 ÷ 100 = 0,10.

Koşullu olasılık dersinin (L02-P02-M01-D04) tamamı bu işlemin adı ve kuralları. Burada yalnız şunu gör: payda binden yüze indi ve aynı on numune, bin içinde binde on, yüz içinde yüzde on oldu.

Kartın son cümlesi bir yöntem veriyor. Olasılık sorularını çözerken önce olası sonuçları yaz, sonra her birinin kaç kişide görüldüğünü yaz, hesabı ancak ondan sonra yap. Bu derste 10, 90, 90 ve 810 sayılarını yazmak, 0,75 ile 0,19 arasındaki farkı görünür kıldı.

Klinik gerçeklik

Bir raporda ya da makalede bir olasılık ifadesiyle karşılaştığında önce hangi sonuçların sayıldığını sor ve listeyi kendin yaz. Sonra listede olmayan bir sonuç olup olmadığını düşün: geçersiz test, tamamlanamayan izlem, ölçülemeyen değer. Bunlar yazılmadıysa bir yere karışmışlardır ve çoğu zaman en sessiz kategoriye, "olmadı" ya da "negatif" kutusuna düşerler.

Ardından sonuçların ayrık olup olmadığına ve her birinin gerçekten eşit olasılıklı mı yoksa farklı sıklıkta mı olduğuna bak. Son olarak paydayı adlandır: bu olasılık hangi uzayda, hangi grup içinde hesaplandı? "Başka ne olabilir?" sorusu bu dersin asıl ölçütüdür, çünkü eksik bir uzayı içeriden gösteren hiçbir işaret yoktur.

Kendini sına

1. Bir olasılık hesabından önce cevaplanması gereken soru ne? Aynı numuneye üç test uygulanırsa örneklem uzayında kaç sonuç olur?
2. Örneklem uzayının iki koşulunu yaz. Sağlandığında ne oluyor?
3. İki testin sonuç çiftlerinde "ikisi de aynı sonucu verdi" sorusuna karşılık gelen alt kümeyi yaz. Sonuçlar eşit olasılıklıysa olasılığı kaç?
4. Her test yüzde 10 pozitif çıkıyorsa, bin numunede aynı sorunun cevabı kaç olur? Sayım neden farklı sonuç verdi?
5. Ayrıntı düzeyi ne belirliyor? "Kaç test pozitif?" uzayında hangi soru sorulamaz?
6. Eksik uzay hatası neden içeriden yakalanmıyor? Yetersiz numune örneğiyle açıkla.
7. Birinci testin pozitif olduğu bilindiğinde uzay nasıl daralır? İkinci testin pozitif olma olasılığını hesapla.
8. Vakadaki izlem kaybı, oranı hangi aralıkta oynatıyor? Uzaya alınmayan sonuç nereye karışıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste neyin olabileceğini listeledin ve listedeki bir parçaya, "en az bir pozitif" sonuçlarına, bir sayı vermeyi denedin. Sıradaki derste o parça olay adını alıyor ve ona verilen sayının, olasılığın, ne anlama geldiği tartışılıyor. "Bu kişinin olasılığı yüzde on" cümlesinin bir sıklık mı yoksa bir inanç derecesi mi bildirdiği, tek bir kişi için sıklığın neden yetmediği ve hesabın hangi grup, hangi referans sınıfı içinde yapıldığı orada ayrılacak (L02-P02-M01-D02).