Ağ modülleri

Açılış sahnesi

Aylık vaka toplantısında hekim, bir danışanın üç aylık semptom günlüğünden çizilmiş yeni bir ağı ekrana yansıtıyor. Bu kez beş değil dokuz semptom var ve on üç kenar. Ekranın solunda uyku bozukluğu, yorgunluk, baş ağrısı ve odaklanma güçlüğü birbirine sık bağlı bir öbek oluşturuyor; sağda şişkinlik, karın ağrısı, dışkılama düzensizliği ve iştah değişimi ikinci bir öbek. Kaygı ise ortada duruyor: bir kenarı sola, iki kenarı sağa gidiyor.

Toplantıdaki asistan hemen bir yorum yapıyor: "Demek ki iki ayrı sorun var, bir uyku ekseni, bir sindirim ekseni." Yorum makul görünüyor, ama iki ayrı şeyi birbirine karıştırıyor. Birincisi ekranda gerçekten iki öbek görünmesi; bu bir hesap sonucu ve hesaplanabilir. İkincisi o öbeklerin danışanın bedeninde iki ayrı işleyişe karşılık gelmesi; bu bir iddia ve kendi kanıtını istiyor. Bu ders o iki şeyi ayırmayı ve ilkini sayılarla yapmayı anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce modülü ve modülerliği tanımlayıp dokuz semptomlu ağda iki farklı bölünmenin modülerliğini elle hesaplayacağız. Sonra aynı ağdan yönteme ve çözünürlüğe göre farklı modüllerin çıktığını göreceğiz. Ardından dersin en sert bulgusuna geleceğiz: rastgele kurulmuş ağlarda da modül çıkıyor ve bulunan bir bölünme ancak rastgele bir ağla karşılaştırıldığında anlam kazanıyor. Son bölümde modülün neden bir sonuç değil, bir hipotez olduğunu ele alacağız.

Sıfır noktası

Modül aramanın iyi bir gerekçesi var. Yüzlerce düğümlü bir ağ, birkaç gruba ayrıldığında konuşulabilir hâle gelir; bu, vektör ve matris dersindeki boyut indirgemesiyle aynı kazanç ve aynı riski taşıyor. Modüler bir yapının somut sonuçları da var. Modüller arası kenarlar seyrek olduğu için bir modül içindeki aksama ötekilere sınırlı yayılır ve bir modül, ötekileri bozmadan değişebilir. Bu yüzden modüller arası az sayıdaki kenar kritiktir. Merkezilik ölçülerinde köprü düğüm olarak bulduğun kaygı, bu ağda da tam o konumda duruyor.

Mekanizma

Bir bölünmeyi elle puanlamak

Modülerliğin fikri iki sayının farkıdır: kenarların ne kadarı modüllerin içinde kalıyor ve kenarlar rastgele dağılsaydı ne kadarının içeride kalması beklenirdi. Ağda 13 kenar var ve her kenarın iki ucu olduğu için 2 × 13 = 26 kenar ucu. Dereceler şöyle: uyku 4, yorgunluk 3, baş ağrısı 2, odaklanma 2, kaygı 3, şişkinlik 2, karın ağrısı 4, dışkılama 3, iştah 3.

Birinci bölünmede kaygıyı uyku öbeğine koy. Uyku modülünde uyku, yorgunluk, baş ağrısı, odaklanma ve kaygı var; içeride 6 kenar kalıyor. Sindirim modülünde 5 kenar içeride. İki modülün içinde 6 + 5 = 11 kenar var, yani 11 ÷ 13 ≈ 0,846. Dışarıda kalan 13 − 11 = 2 kenar, kaygının sindirime giden iki kenarı: kaygı–karın ağrısı ve kaygı–iştah.

Rastgele beklenen kısım derecelerden gelir. Kenar uçları rastgele eşleşseydi, bir kenarın iki ucunun da aynı modüle düşme olasılığı, o modülün kenar ucu payının karesi kadar olurdu. Uyku modülünün dereceleri 4 + 3 + 2 + 2 + 3 = 14, payı 14 ÷ 26 ≈ 0,54 ve karesi ≈ 0,29. Sindirim modülünün dereceleri 2 + 4 + 3 + 3 = 12, payı 12 ÷ 26 ≈ 0,46 ve karesi ≈ 0,21. Kesirleri yuvarlamadan toplarsan beklenen içeride kalma oranı 0,290 + 0,213 = 0,503. Modülerlik 0,846 − 0,503 ≈ 0,34.

İkinci bölünmede kaygıyı sindirim öbeğine taşı. Uyku modülünün içinde 5, sindirim modülünün içinde 7 kenar kalıyor; 12 ÷ 13 ≈ 0,923 ve dışarıda yalnız uyku–kaygı kenarı var. Dereceler bu kez 11 ile 15; (11 ÷ 26)² ≈ 0,179 ve (15 ÷ 26)² ≈ 0,333, beklenen 0,179 + 0,333 = 0,512. Modülerlik 0,923 − 0,512 ≈ 0,41. Kaygının iki kenarı sindirime, biri uykuya gittiği için ikinci bölünme daha yüksek puan alıyor; bu ders için denenen iki modül bulma algoritması da bu ağda bu bölünmeyi seçti.

Hesabın bir inceliği var. Bütün ağı tek bir modül sayarsan 13 ÷ 13 = 1 kenarın hepsi içeride kalır, ama beklenen de 1 olur ve modülerlik 1 − 1 = 0 çıkar. Ölçüt, kenarları içeride tutmayı değil, beklenenin üstünde içeride tutmayı ödüllendiriyor; bu yüzden "her şeyi tek kümeye koy" hilesi işe yaramıyor.

Aynı ağ, farklı modüller

Modül bulma bir algoritma işidir ve algoritmalar farklı sonuç verebilir. İlk kaynak yöntem farkı: farklı algoritmalar farklı ölçütleri en iyiler ve sınırları farklı yerlerden çizer. İkinci kaynak kararsızlık: bazı algoritmalar rastgele bir başlangıçtan yola çıkar ve aynı ağda iki kez çalıştırıldığında kısmen farklı bölünme verebilir. Üçüncü kaynak, çoğu yöntemin taşıdığı bir ayardır.

Dokuz semptomlu ağda çözünürlük ayarı yükseltildiğinde aynı yöntem üç modül buluyor: uyku öbeği, şişkinlik–karın ağrısı–dışkılama üçlüsü ve kaygı ile iştahtan oluşan bir ikili. Bu üçlü bölünmenin olağan modülerliği yaklaşık 0,34 ve ikinci bölünmenin 0,41'inden düşük. Ama yüksek çözünürlük zaten daha küçük modülleri ödüllendirmek için seçildi; hangi bölünmenin "doğru" olduğu, hangi büyüklükte bir yapı arandığına bağlı.

Kartın notu bir tanı aracı veriyor: yöntemler örtüşüyorsa yapı sağlam, ayrışıyorsa yapı zayıf. Dokuz semptomlu ağda bütün bölünmeler uyku öbeğinde anlaşıyor ve yalnız kaygının nereye konacağında ayrışıyor. Bu ayrışma bir kusur değil, bir bilgi: kaygı iki öbeğin arasında duran bir köprü ve herhangi bir modüle ait olduğu kesin değil.

Rastgele ağlarda da modül çıkıyor

Bu, dersin en sert bulgusu ve atlanması en kolay olanı. Modül bulma algoritmaları her ağda bir bölünme bulur, hiçbir yapısı olmayan rastgele bir ağda bile, çünkü rastgelelik de düzensiz kümelenmeler üretir. Bir bölünme bulmak, yapı olduğunu göstermez.

Bunu dokuz semptomlu ağla sınayabilirsin. Bu ders için yapılan bir denemede bilgisayar dokuz düğüm ve on üç kenarlı, tek parça 852 rastgele ağ kurdu ve her birinde aynı yöntemle en iyi bölünmeyi aradı. Rastgele ağların ortalama modülerliği yaklaşık 0,22 çıktı, yani sıfır değil; yapısız ağlar da bölünüyor. Bizim ağın 0,41'ine ulaşan ya da onu geçen rastgele ağ ise binde dört kadardı.

Boş modelin nasıl kurulduğu sonucu değiştiriyor. İkinci bir denemede rastgele ağlar dokuz semptomun derecelerini koruyarak kuruldu, yani uyku yine 4, baş ağrısı yine 2 kenarlıydı. Bu kez ortalama modülerlik yaklaşık 0,28'e çıktı ve 0,41'e ulaşan ağların oranı yüzde dört dolayına yükseldi. Aynı gözlenen değer, bir boş modelle karşılaştırıldığında çok sıra dışı, ötekine göre daha az sıra dışı görünüyor.

Kartın notundaki son cümleyi az önce sayılarla gördün. Bu yapı akademide tanıdık: vaka serisi dersinde karşılaştırma grubu olmayan bir sonucun yorumlanamadığını görmüştün. Burada karşılaştırma grubu rastgele bir ağdır ve karşılaştırmasız bir modülerlik değeri de yorumlanamaz. Dokuz düğüm gibi küçük bir ağda rastgele ağların dağılımı geniş olduğu için, bu karşılaştırma daha da gereklidir.

Modül bir hipotez

Şimdi açılıştaki asistanın cümlesine dönelim. Ağda iki modül bulundu ve modülerlik rastgele beklenenin belirgin biçimde üstünde. Bu, danışanın bedeninde bir uyku ekseni ile bir sindirim ekseni bulunduğunu gösterir mi?

Hipotez üretme ile sınama ayrımı burada geçerli (L01-P02-M01-D06). Modül bulma bir keşif yöntemidir: veriye bakar ve örüntü arar. Keşifle bulunan bir örüntü bir hipotez üretir, bir sonuç değil. Semptom ağındaki kenarlar yalnız birlikte görülmeyi gösterdiği için, iki öbek ortak bir işleyişi de, danışanın günlüğü doldururken semptomları gruplayarak yazmasını da yansıtabilir.

Doğrulama yolu belli: modül, kurulduğu veriden bağımsız bir veride de çıkıyor mu? Diferansiyel denklem fikrini işleyen derste bir modelin ancak kurulurken kullanılmayan bir veri üzerinde öngörü yaptığında sınanmış sayıldığını görmüştün (L02-P01-M03-D06). Aynı danışanın sonraki üç aylık günlüğünde uyku öbeği yine ayrı bir modül olarak çıkıyorsa hipotez güçlenir; kaygı bu kez uyku tarafına geçiyorsa, köprü konumunun ne kadar oynak olduğu bir kez daha görünür.

Klinik gerçeklik

Bir ağ çözümlemesinde "iki modül bulundu" cümlesini gördüğünde önce hangi yöntemin ve hangi çözünürlüğün kullanıldığını sor. Sonra bulunan modülerliğin rastgele bir ağda beklenenle karşılaştırılıp karşılaştırılmadığına ve boş modelin nasıl kurulduğuna bak. Dokuz semptomlu ağdaki gibi 0,41'lik bir değer, bir boş modele göre binde dört, ötekine göre yüzde dört dolayında bir sıradışılık anlamına gelebiliyor.

Ardından başka yöntemlerin ya da çözünürlüklerin ne verdiğini sor: bölünmelerin örtüştüğü kısım sağlam, ayrıştığı kısım zayıftır ve köprü düğümler çoğu zaman o ayrışan kısımdadır. Son soru dersin ölçütü: modül bağımsız bir veride tekrarlandı mı? Tekrarlanana kadar bir modül, danışanın bedeni hakkında bir bulgu değil, onun hakkında sorulacak bir sorudur.

Kendini sına

1. Modül ve modülerliği tanımla. Modülerlik hangi iki sayının farkı?
2. Birinci bölünmede içeride kalan oranın 11 ÷ 13, beklenen oranın yaklaşık 0,50 olduğunu derecelerden hesapla.
3. Kaygı sindirim öbeğine taşınınca modülerlik neden yükseliyor? Kaygının kenarlarını sayarak açıkla.
4. Bütün ağı tek modül saymak neden 0 modülerlik veriyor?
5. Farklı bölünmelerin üç kaynağını say. Çözünürlük seçimi neden bildirilmeli?
6. Vakadaki üç bölünmede hangi modül değişmiyor, hangi sınır oynuyor? Bu ne söylüyor?
7. Rastgele ağların ortalama modülerliği neden sıfır değil? İki boş model neden farklı sonuç verdi?
8. Modül neden bir hipotez? Açılıştaki asistanın iddiasını sınamak için ne gerekir?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülde bir ağın ölçülerini, dereceden merkeziliğe ve modüllere kadar, hep sana hazır verilmiş bir ağ üzerinde hesapladın. Sıradaki derste ağı kendin çizeceksin: kurgu bir sistem tanımından yola çıkıp düğümü, kenarın anlamını, yönü ve eşiği senin seçmen gerekecek. Aynı tanımdan iki farklı ağ çıktığını ve tek bir kenar kararının en yüksek dereceli düğümü başka bir bileşene taşıyabildiğini orada kendi elinle göreceksin.