Merkezilik ölçüleri

Açılış sahnesi

Perşembe öğleden sonra polikliniğin küçük toplantı odasında üç kişi aynı semptom ağına bakıyor. Bu kez ağ, üç günlük eşikle çizilmiş: tahtadaki dört kenara yorgunluk ile baş ağrısı ve kaygı ile yorgunluk arasındaki iki zayıf bağlantı da eklenmiş. Hekim "uyku merkezde, üç bağlantısı var" diyor. Psikolog başını sallamıyor: yorgunluğun da, kaygının da üçer bağlantısı var. Diyetisyen bambaşka bir şey söylüyor: sindirim şikâyetinden ağın geri kalanına giden her yol kaygıdan geçiyor.

Üçü de aynı çizime bakıyor ve üçü de haklı. Aralarındaki anlaşmazlık bir veri anlaşmazlığı değil, "merkez" sözcüğünün ne demek olduğu üzerine bir anlaşmazlık. Bu derste o sözcüğün dört ayrı tanımını aynı beş semptomlu ağda elle hesaplayacaksın ve sıralamaların tam olarak nerede ayrıldığını göreceksin.

Bu derste ne olacak

Önce merkeziliği tanımlayıp beşlik eşikle çizilen seyrek ağda dört ölçüyü tek tek hesaplayacağız: derece, arasındalık, yakınlık ve özvektör. Sonra üç günlük eşikle çizilen yoğun ağa geçip dört ölçünün farklı düğümleri öne çıkardığını sayılarla göreceğiz. Ardından iki okuma sorununa geleceğiz: ölçülerin eksik veriye eşit duyarlı olmaması ve ölçünün sonuç görüldükten sonra seçilmesi.

Sıfır noktası

Komşuluk matrisinde uykunun "önemli" olmasının iki anlamı ortaya çıkmıştı: çok komşusu olmak ve başka düğümler arasındaki yolların üzerinde durmak. Bunlara iki anlam daha eklenebilir. Bir düğüm ötekilerin hepsine kısa mesafede olduğu için önemli olabilir, ya da önemli düğümlere bağlı olduğu için. Her anlam ayrı bir ölçü üretir ve her ölçü ayrı bir soruyu cevaplar.

Mekanizma

Seyrek ağda dört hesap

Beşlik eşikle çizilen ağda dört kenar var: yorgunluk–uyku, uyku–baş ağrısı, uyku–kaygı ve kaygı–sindirim. Derece merkeziliği en basit ölçü ve "kaç komşusu var?" sorusunu cevaplar. Matrisin satır toplamlarından okunur: yorgunluk 1, uyku 3, baş ağrısı 1, kaygı 2, sindirim 1. Yalnız yerel bilgiyi kullanır, ağın geri kalanına hiç bakmaz ve üç uç düğümü birbirinden ayıramaz.

Arasındalık merkeziliği "bu düğüm başkalarının arasında mı duruyor?" sorusunu cevaplar ve hesabı bir sayımdır. Beş düğümden 5 × 4 ÷ 2 = 10 düğüm çifti çıkar. Her çift için en kısa yolu yaz ve yolun ortasından hangi düğümlerin geçtiğini say. Uyku beş çiftin yolunda duruyor: yorgunluk–baş ağrısı, yorgunluk–kaygı, yorgunluk–sindirim, baş ağrısı–kaygı ve baş ağrısı–sindirim. Kaygı üç çiftin yolunda: yorgunluk–sindirim, baş ağrısı–sindirim ve uyku–sindirim. Uç düğümlerin arasındalığı 0, çünkü hiçbir yol onların içinden geçmiyor.

Yakınlık merkeziliği "bir şey buradan başlarsa ötekilere ne kadar çabuk ulaşır?" sorusunu cevaplar. Bir düğümden öteki dört düğüme olan uzaklıkları topla ve bire böl. Uyku için uzaklıklar 1, 1, 1 ve 2, toplam 5, yakınlık 1 ÷ 5 = 0,20. Kaygı için 1 + 1 + 2 + 2 = 6 ve 1 ÷ 6 ≈ 0,17. Yorgunluk ile baş ağrısı için toplam 8 ve 1 ÷ 8 = 0,125. Sindirim için 1 + 2 + 3 + 3 = 9 ve 1 ÷ 9 ≈ 0,11. Derecenin ayıramadığı üç uç düğümü yakınlık ayırıyor: sindirim, ağın geri kalanından bir adım daha uzakta.

Özvektör merkeziliği ve döngü

Dördüncü soru "önemli düğümlere mi bağlı?" sorusudur ve içinde bir döngü taşır. Bir düğümün önemi komşularının önemine bağlı, onlarınki de kendi komşularına. Döngüyü başlatmak için her düğüme 1 puan ver ve her düğümün yeni puanını komşularının puanlarının toplamı yap. Bu işlem, puan vektörünü komşuluk matrisiyle çarpmaktır. İlk adımda puanlar dereceye dönüşür: 1, 3, 1, 2, 1. İkinci adımda her düğüm komşularının derecelerini toplar: kaygı için 3 + 1 = 4, uyku için 1 + 1 + 2 = 4 ve ikisi eşitlenir.

Adımları sürdürdükçe puanların oranı bir yöne yerleşir ve o yön, özdeğer ve özvektör sezgisinde gördüğün baskın yöndür (L02-P01-M04-D03). Özvektör merkeziliği komşuluk matrisinin baskın özvektörüdür; baskın özdeğer bu ağda yaklaşık 1,85. En büyük değer 1 olacak biçimde ölçeklenen vektör şu: uyku 1, kaygı 0,77, yorgunluk ile baş ağrısı 0,54, sindirim 0,41. Sonucu elle sınayabilirsin. Uykunun komşularının toplamı 0,54 + 0,54 + 0,77 = 1,85 ve bu 1,85 × 1'e eşit. Kaygının komşuları 1 + 0,41 = 1,41 veriyor, 1,85 × 0,765 ≈ 1,41. Her düğümün puanı, komşularının puanları toplamının baskın özdeğere bölümü; döngü böyle kapanıyor.

Seyrek ağda dört ölçü aynı birinciyi veriyor: uyku. Kaygı dördünde de ikinci. Ayrışma yalnız alt sıralarda görünüyor: derece üç uç düğümü eşit sayıyor, yakınlık ve özvektör sindirimi ayrıca geriye itiyor.

Bu yapı, akademide üçüncü kez karşına çıkıyor. Morbidite ile mortalite arasında sonlanım seçerken, integral sezgisinde bir maruziyeti tepe değer ya da eğri altındaki alan olarak özetlerken ve burada merkezilik ölçüsü seçerken aynı şey oluyor: sonlanım seçimi, maruziyet ölçüsü seçimi ve merkezilik ölçüsü seçimi. Üçünde de özet ölçüsü bir varsayım taşıyor.

Yoğun ağda sıralamalar ayrılıyor

Şimdi açılıştaki ağa, üç günlük eşikle çizilen altı kenarlı ağa geç. Yorgunluk artık baş ağrısına ve kaygıya da bağlı. Dereceler yorgunluk 3, uyku 3, baş ağrısı 2, kaygı 3, sindirim 1. Derece ölçüsüyle üç düğüm birinciliği paylaşıyor ve hekimle psikoloğun anlaşmazlığı buradan geliyor.

Arasındalıkta bir incelik var. Baş ağrısından kaygıya artık iki eşit uzunlukta yol gidiyor, biri uykudan, biri yorgunluktan. Bu durumda çift, puanını iki yol arasında böler: uyku ½, yorgunluk ½ alır. Baş ağrısı–sindirim çifti de iki yola sahip ve aynı biçimde bölünür. Toplamda uyku ½ + ½ = 1, yorgunluk da 1 alıyor. Kaygı ise yorgunluk–sindirim, uyku–sindirim ve baş ağrısı–sindirim çiftlerinin tek geçidi olarak 3 alıyor. Diyetisyenin gördüğü bu: kaygı arasındalıkta tek başına birinci.

Yakınlıkta yorgunluk, uyku ve kaygının uzaklık toplamı 5, üçünün yakınlığı 1 ÷ 5 = 0,20 ve yine eşitler. Özvektör ise sırayı başka türlü kuruyor. Baskın özdeğer yaklaşık 2,64 ve ölçeklenmiş vektör yorgunluk 1, uyku 1, kaygı 0,88, baş ağrısı 0,76, sindirim 0,33. Kaygı burada üçüncü, çünkü komşularından biri ağın en zayıf düğümü olan sindirim.

Kartı vakayla birlikte oku. Kaygının derecesi yorgunluk ve uykuyla aynı, ama arasındalığı üç katı. Derece ile arasındalık ayrıştığında orada bir köprü düğüm vardır: kaygı, sindirimi ağın geri kalanına bağlayan tek geçit. Kaygı–sindirim kenarı kalkarsa sindirim ağdan kopar; yorgunluğun herhangi bir kenarı kalksa ağ tek parça kalır. Bu yüzden bir çözümlemede "en merkezi düğüm" bildirildiğinde ilk soru, hangi ölçüyle hesaplandığıdır.

Eksik veriye duyarlılık

Biyolojik ağların eksik olduğunu ve eksikliğin rastgele dağılmadığını düğüm, kenar ve ağ dersinde çalışma yanlılığı adıyla görmüştün. Merkezilik ölçüleri bu eksikliğe eşit ölçüde duyarlı değil ve bunu iki ağı karşılaştırarak ölçebilirsin. Seyrek ağdan yoğun ağa geçerken yalnız iki zayıf kenar eklendi. Uykunun derecesi değişmedi, 3'te kaldı. Arasındalığı ise 5'ten 1'e düştü, çünkü yorgunluğun yeni kenarları uykunun tuttuğu yolların çoğuna ikinci bir güzergâh açtı.

Derece yalnız düğümün kendi kenarlarına bakar ve uzaktaki bir değişiklikten etkilenmez. Arasındalık bütün ağdaki en kısa yolları sayar ve uykuya dokunmayan iki kenar onun puanını beşte bire indirebilir. Özvektör de bütün ağı hesaba katar. Uykunun özvektör puanı birinci sırayı korudu, ama yorgunluk 0,54'ten 1'e çıkıp onunla eşitlendi. Günlüğe birkaç gün daha az yazılmış bir semptom, eşiğin altında kalıp yol tabanlı ölçüleri baştan değiştirebilir.

Bu kartı çalışma yanlılığıyla birleştirince bir düğümün merkezî görünmesinin üç açıklaması çıkıyor. Düğüm gerçekten merkezî olabilir, çok araştırıldığı için çok bağlantılı görünüyor olabilir ya da seçilen ölçü onu öne çıkarıyor olabilir. Ağ tek başına üçünü birbirinden ayırmıyor; ayırmak için verinin nasıl toplandığını ve hangi ölçünün neden seçildiğini bilmek gerekiyor.

Ölçüyü sonradan seçmek

Son ve en ciddi sorun bu. Dört ölçü birkaç satır kodla hesaplanıyor ve dördüne birden bakmak kolay. Sonra hangisinin istenen düğümü öne çıkardığına bakılıp yalnız o bildiriliyor. Yoğun ağda kaygıyı birinci göstermek isteyen arasındalığı, yorgunluğu birinci göstermek isteyen özvektörü seçer ve iki rapor da hesap olarak doğrudur.

Bu, alt grup avcılığının ağdaki karşılığı: birincil sonlanım sonuç vermeyince sonuç veren bir alt grup aramak ile istenen düğümü öne çıkaran ölçüyü aramak aynı harekettir (L01-P06-M01-D04). Çözüm de aynı. Hangi ölçünün kullanılacağı sonuç görülmeden belirlenir ve bildirilir; kanıt ağırlığı dersindeki "ölçütü önce yaz" kuralının burada ölçütü merkezilik ölçüsüdür (L01-P06-M03-D04).

Klinik gerçeklik

Bir ağ çözümlemesinde "merkezdeki düğüm" ifadesini gördüğünde önce hangi ölçünün kullanıldığını sor; yazılmamışsa sonuç okunamaz. Sonra öteki ölçülerin ne dediğine bak. Vakadaki kaygı gibi, derecesi sıradan ama arasındalığı yüksek bir düğüm, ağda bir köprü olduğunu söyler ve bu bir kusur değil, bir bulgudur. Ölçülerin ayrışması, çözümlemenin en çok bilgi veren yeridir.

Ardından ölçünün önceden seçilip seçilmediğini ve ağın ne kadar tam olduğunu sor. Yol tabanlı ölçüler eksikliğe daha duyarlı olduğu için, eşiğin biraz aşağısında kalmış iki kenar arasındalık sıralamasını değiştirebilir; seyrek ağdan yoğun ağa geçişte uykunun 5'ten 1'e düşmesi bunun ölçüsüydü. Açılıştaki toplantıya bu gözle dönersen üç uzmanın anlaşmazlığı çözülüyor: her biri ayrı bir soruyu cevaplamıştı ve doğru ilk adım, danışan için hangi sorunun sorulduğunu önce söylemek.

Kendini sına

1. "En önemli düğüm" sorusunun neden tek cevabı yok? Dört ölçüyü ve cevapladıkları soruları yaz.
2. Seyrek ağda kaygının arasındalığı neden 3? Hangi üç çiftin en kısa yolu kaygıdan geçiyor?
3. Seyrek ağda baş ağrısının yakınlığını uzaklıkları toplayarak hesapla. Derece neden uç düğümleri ayıramıyor, yakınlık neden ayırabiliyor?
4. Özvektör merkeziliğindeki döngü nasıl kapanıyor? Seyrek ağda sindirimin puanının 0,77 ÷ 1,85 ≈ 0,41 olduğunu göster.
5. Yoğun ağda baş ağrısı–kaygı çiftinin puanı neden uyku ile yorgunluk arasında ikiye bölünüyor?
6. Vakada kaygı hangi ölçüde tek başına birinci, hangisinde üçüncü? Derece ile arasındalığın ayrışması ne söylüyor?
7. İki zayıf kenar eklendiğinde uykunun derecesi ve arasındalığı nasıl değişti? Hangi ölçü eksik veriye daha duyarlı?
8. Sonradan ölçü seçimi hangi hatanın ağdaki karşılığı? Çözümü ne?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste tek tek düğümlere puan verdin ve kaygının sindirimi ağın geri kalanına bağlayan bir köprü olduğunu buldun. Sıradaki derste bakış tek düğümden düğüm kümelerine, yani kendi içinde yoğun, dışarıyla seyrek bağlı modüllere kayıyor. Orada bir kümenin ağda görünmesi ile o kümenin biyolojik bir birime karşılık gelmesinin neden iki ayrı iddia olduğunu ve aynı ağdan, kullanılan yönteme göre farklı modüllerin çıkabildiğini göreceksin.