Düğüm, kenar ve ağ

Açılış sahnesi

Bir fonksiyonel tıp polikliniğinde hekim, görüşmenin sonunda beyaz tahtaya beş sözcük yazıyor: yorgunluk, uyku bozukluğu, baş ağrısı, kaygı ve sindirim şikâyeti. Sonra danışanın otuz günlük semptom günlüğüne bakarak aralarına dört çizgi çekiyor. Uyku bozukluğu üç çizgiyle yorgunluğa, kaygıya ve baş ağrısına bağlanıyor, kaygı da bir çizgiyle sindirim şikâyetine. Tahtadaki şekil ikna edici görünüyor; her şey uykunun etrafında toplanmış gibi.

Oysa o dört çizgi günlükte hazır durmuyordu. Hangi semptomun ayrı bir nokta sayılacağına, iki semptomun kaç gün birlikte görülürse çizgiyi hak edeceğine hekim karar verdi. Aynı günlükten farklı kararlarla bambaşka bir şekil çıkabilirdi. Bu ders, ağların dilini ve bir ağı kuran kararları sayılarla görünür kılmayı anlatıyor; buradaki semptom ağı öğretim için kurulmuş bir örnek, bir tanı aracı değil.

Bu derste ne olacak

Önce ağın temel sözcüklerini kurup tahtadaki beş semptomla olası kenar sayısını, yoğunluğu ve dereceyi elle hesaplayacağız. Sonra bir ağı kurarken verilen dört kararı göreceğiz ve eşiği oynatınca aynı günlükten nasıl farklı ağlar çıktığını sayacağız. Ardından derece dağılımının neden çoğu zaman eşitsiz olduğuna ve ortalama derecenin neden yanılttığına geçeceğiz. Son bölümde en az konuşulan soruya geleceğiz: eksik veri, bir ağın ölçülerini nasıl değiştiriyor?

Sıfır noktası

Bir ağ iki tür parçadan oluşur: noktalar ve onları birleştiren çizgiler. Tahtadaki beş semptom birer nokta, aralarındaki dört çizgi ise birer bağlantıdır. Biyolojide noktalar moleküller, genler, hücre türleri ya da organlar olabilir; çizgiler bir etkileşimi, bir etkiyi ya da yalnız birlikte görülmeyi gösterebilir. Neyin nokta, neyin çizgi olacağı ağı çizen kişinin seçimidir.

Bir ağın ne kadar sık dokunduğunu anlamak için önce kaç kenar olabileceğini hesaplarsın. Yönsüz bir ağda her düğüm öteki n − 1 düğümün her birine bağlanabilir, ama her kenar iki kez sayılmış olur; bu yüzden n düğümlü bir ağda en fazla n × (n − 1) ÷ 2 kenar vardır. Beş semptom için bu 5 × 4 ÷ 2 = 10 eder. Tahtada 4 kenar çizildiğine göre ağın yoğunluğu 4 ÷ 10 = 0,4; olası bağlantıların onda dördü çizilmiş.

Mekanizma

Ağ dili ve derece

Ağı okumanın en basit ölçüsü bir düğüme kaç kenar değdiğidir. Tahtada uyku bozukluğunun üç, kaygının iki, yorgunluğun, baş ağrısının ve sindirim şikâyetinin birer kenarı var. Dereceleri toplarsan 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8 bulursun ve bu, kenar sayısının tam iki katıdır: 2 × 4 = 8. Her kenarın iki ucu vardır ve her uç bir düğümün derecesine bir ekler, bu yüzden bu eşitlik her yönsüz ağda geçerlidir.

Yorgunluk ile sindirim şikâyeti arasında doğrudan bir kenar yok, ama bir yol var: yorgunluktan uykuya, uykudan kaygıya, kaygıdan sindirime. Bu yol üç kenar kullandığı için uzunluğu 3'tür. Tahtadaki beş düğümün her birinden ötekilere böyle bir yol bulunduğu için ağ tek parçadır. Bir kenar silindiğinde bu değişebilir ve ağ birbirine hiç ulaşamayan parçalara bölünebilir.

Dört kurulum kararı

Tahtadaki ağ dört kararın ürünüdür. İlki düğümün neyi temsil ettiğidir: aynı danışanın durumu semptomlar düzeyinde, fizyolojik sistemler düzeyinde ya da tek tek ölçümler düzeyinde çizilebilir ve bir ölçekte merkezde duran bir düğüm ötekinde hiç görünmeyebilir. İkincisi kenarın ne anlama geldiğidir. Tahtadaki çizgiler iki semptomun aynı günlerde görülmesini gösteriyor; bu, bir semptomun ötekine yol açtığını değil, yalnız birlikte görüldüklerini söyler ve kenar anlamlarının en zayıfıdır.

Üçüncü karar kenarın yönüdür. Yönsüz bir çizgi "bu ikisi birlikte görülüyor" der, uykudan yorgunluğa çizilmiş bir ok ise "uyku bozukluğu yorgunluğa yol açıyor" der ve bu çok daha güçlü bir iddiadır. Değişkenleri ve denklemleri işleyen L02-P01-M02-D01'de kurulan yönlendirme kabulü burada aynen geçerlidir: yön veriden çıkmaz, modeli kuran kişi tarafından kabul edilir. Bir ağdaki oklar bu kabullerin toplamıdır.

Dördüncü karar, bir bağlantının çizilecek kadar güçlü sayılacağı eşiktir. Hekim otuz günde en az beş gün birlikte görülen semptomları bağladı; günlükte her çiftin birlikte görüldüğü gün sayısı şöyleydi: uyku ile yorgunluk 18, uyku ile kaygı 12, uyku ile baş ağrısı 7, kaygı ile sindirim 6, yorgunluk ile baş ağrısı 4 ve kaygı ile yorgunluk 3. Beşlik eşik ilk dört çifti tahtaya taşıdı, son ikisini dışarıda bıraktı. Parçalı fonksiyonları işleyen L02-P01-M02-D06'daki tanımsal eşik uyarısı burada da geçerlidir, çünkü bu çizgi doğada değil, çizen kişinin kararındadır.

Kartın notu bir okuma kuralı veriyor. Bir ağ görselinin altında yöntem ve eşik yazmıyorsa, ağın kendisi okunamaz; vakadaki gibi 0,2 ile 0,6 arasında gidip gelen bir yoğunluğun hangisinin gösterildiği bilinemez. Eşiğin veriye bakıldıktan sonra, istenen görüntüyü verecek biçimde seçilmesi ayrı bir risktir. Bu yüzden eşiğin veriyi görmeden önce belirlenip yazılması önerilir.

Eşitsiz derece dağılımı

Birçok biyolojik ağda dereceler eşit dağılmaz: az sayıda düğüm çok sayıda bağlantı taşır, düğümlerin çoğu az bağlantılıdır. En uç hâli bir yıldız biçimidir. On düğümlü bir ağda bir düğüm öteki dokuzunun hepsine bağlıysa ve başka kenar yoksa, 9 kenar vardır ve dereceler bir tane 9 ile dokuz tane 1'dir. Olası kenar sayısı 10 × 9 ÷ 2 = 45 olduğundan yoğunluk 9 ÷ 45 = 0,2 çıkar.

Bu ağın ortalama derecesini hesaplayalım: derece toplamı 9 + 9 × 1 = 18, yani yine 2 × 9, ve ortalama 18 ÷ 10 = 1,8. Oysa on düğümün dokuzunun derecesi 1'dir ve 1,8 dereceli tek bir düğüm yoktur. Ortalama, çarpık bir dağılımda tipik düğümü tarif etmez; bu tür dağılımlarda ortanca ya da dağılımın kendisi daha çok şey söyler. Güç yasası biçimindeki dağılımlarla aynı aileden gelen bu eşitsizlik, "ortalama düğüm şu kadar bağlantılı" cümlesini çoğu zaman anlamsız kılar.

Eksik veri sorunu

Biyolojik ağların hiçbiri tam değildir. Bazı etkileşimler henüz ölçülmemiştir, bazı düğümler henüz bilinmez ve bazı alanlar ötekilerden çok daha yoğun çalışılmıştır. Semptom ağında bile danışanın günlüğe yazmadığı bir şikâyet tahtada hiç görünmez. Asıl sorun, bu eksikliğin rastgele dağılmamasıdır.

Sonuç doğrudan: bir düğüm merkezde görünüyorsa, bunun bir nedeni gerçekten merkezde olması, bir başka nedeni de çok araştırılmış olmasıdır. Tahtada uyku bozukluğunun üç kenarı olması, kısmen danışanın uykuyu her gün not edip öteki şikâyetleri ancak ara sıra yazmasından da gelebilir. İki açıklama ağın kendisinden ayırt edilemez. Yayın yanlılığını işleyen L01-P02-M04-D07'deki yapının ağ tarafı budur: görünürlük, yaygınlık demek değildir.

Kartı derece hesabıyla birlikte oku. Bir düğümün derecesi, onu inceleyen çalışma sayısıyla birlikte artıyorsa, yüksek derece kısmen bir ölçüm yoğunluğu işaretidir. Bu, derecenin işe yaramadığı anlamına gelmez; yüksek dereceli bir düğüm gördüğünde "bu düğüm ne kadar incelenmiş?" sorusunu da sorman gerektiği anlamına gelir.

Klinik gerçeklik

Bir ağ görseliyle karşılaştığında önce düğümlerin neyi, hangi ölçekte temsil ettiğini sor. Sonra kenarların anlamına bak: fiziksel bir etkileşimi mi, bir etkiyi mi, yoksa yalnız birlikte görülmeyi mi gösteriyor, ve oklar varsa yön nereden gelmiş? Ardından eşiği ve nasıl seçildiğini ara; olası kenar sayısını n × (n − 1) ÷ 2 ile hesaplayıp yoğunluğu kendin bulmak, ağın ne kadar seçici çizildiğini hemen gösterir. Son olarak verinin ne kadar tam olduğunu ve eksikliğin nereye yığıldığını sor.

Dördüncü soru dersin ölçütüdür. Ağdaki bir boşluk bağlantının yokluğu da olabilir, bilginin yokluğu da, ve ikisi çizimde aynı görünür. Semptom ağı gibi kişiye özgü bir çizimde bu soru "danışan neyi not etti, neyi etmedi?" diye sorulur; bir veri tabanından çizilmiş biyolojik ağda ise "hangi düğüm ne kadar çalışıldı?" diye.

Kendini sına

1. Düğüm, kenar ve ağı tanımla. Tahtadaki ağın en büyük varsayımı ne?
2. Yedi düğümlü yönsüz bir ağda en fazla kaç kenar olabilir? Ağda 7 kenar varsa yoğunluğu kaçtır?
3. Tahtadaki ağda derece toplamı neden kenar sayısının iki katıdır? 6 kenarlı bir ağda derece toplamı kaç olur?
4. Dört kurulum kararını say. Kenarın üç olası anlamından hangisi en zayıf ve neden?
5. Yönlü kenar neden daha güçlü bir iddia? Yön nereden geliyor?
6. Vakada eşik yedi gün olsaydı kaç kenar çizilirdi, yoğunluk ve bağlı bileşen sayısı ne olurdu?
7. Yıldız ağında ortalama derece neden tipik düğümü tarif etmiyor?
8. Çalışma yanlılığı nedir? Tahtadaki uyku düğümü için nasıl bir soru doğurur?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste ağı bir çizim olarak kurdun ve yorgunluktan sindirime giden üç kenarlı yolu gözle izledin. Beş düğümde bu kolay, beş yüz düğümde imkânsızdır. Sıradaki derste aynı ağı satırları ve sütunları düğümler olan bir tabloya, komşuluk matrisine çevireceğiz. Bu çeviri, iki düğüm doğrudan bağlı olmasa da birbirine kaç adımda ulaştığını hesapla bulmayı mümkün kılıyor.