Matris çarpımı sezgisi

Açılış sahnesi

Bir kliniğin takip listesinde 150 kişi var ve ay başında her birinin yanına tek bir işaret konuyor: belirtisiz ya da belirtili. Bu ay 100 kişi belirtisiz, 50 kişi belirtili. Kayıtlar geçmiş aylardan bir örüntü gösteriyor: belirtisizlerin %80'i ertesi ay da belirtisiz kalıyor, %20'si belirtili oluyor; belirtililerin ise %10'u belirtisize dönüyor, %90'ı belirtili kalıyor. Hemşire soruyor: "Gelecek ay kaç kişi belirtisiz olacak?"

Cevap tek bir gruba bakarak çıkmıyor, çünkü gelecek ayın belirtisizleri iki kaynaktan geliyor: belirtisiz kalanlar ve belirtiden dönenler. Hesap 0,8 × 100 + 0,1 × 50 = 80 + 5 = 85. Aynı biçimde belirtililer 0,2 × 100 + 0,9 × 50 = 20 + 45 = 65. Bu iki satırlık hesap bir matris çarpımıdır ve bu ders, onu bir kural olarak değil bir anlam olarak okumayı öğretiyor.

Bu derste ne olacak

Önce matrisi bir tablo olarak değil, bir durumu başka bir duruma çeviren bir dönüşüm olarak okuyacağız ve matrisi bir vektörle elle çarpacağız. Sonra iki dönüşümü arka arkaya uygulamanın ne demek olduğunu ve sıranın neden önemli olduğunu sayılarla göreceğiz. Son bölümde aynı dönüşümü ay ay tekrar uygulayıp takip listesinin nereye gittiğine bakacağız. Her hesabı sen de kâğıt üzerinde yap.

Sıfır noktası

Vektör ve matris dersinde bir vektörü, birlikte ele alınan sıralı sayılar olarak tanımladık. Takip listesinin bu ayki durumu da böyle bir vektör: (100, 50), yani 100 belirtisiz, 50 belirtili. Aylık geçiş oranları ise dört sayılık bir tabloya yazılıyor.

Bu tablo yalnız dört sayı değil, bir dönüşümün tarifi: bu ayın durumunu gelecek ayın durumuna çeviriyor. Sütunlar girdileri, satırlar çıktıları temsil ediyor. Birinci satırdaki 0,1, bu ayın belirtililerinden gelecek ayın belirtisizlerine ne kadar katkı geldiğini söylüyor. Her sütunun toplamı 1, çünkü bu ay kimse listeden çıkmıyor; herkes iki durumdan birine gidiyor.

Tanımdaki "doğrudan" sözcüğü dersin merkezinde. Katsayı tek bir adımı, yani bu aydan gelecek aya geçişi anlatıyor. İki ay sonrasına giden dolaylı yollar tabloda görünmüyor; onları elde etmek için matrisi kendisiyle çarpmak gerekiyor ve bu modülün komşuluk matrisi dersi aynı fikri ağlardaki yolları saymak için kullanıyor.

Mekanizma

Çarpım ne yapıyor

Açılıştaki hesabı şimdi kural olarak yaz. Matrisin birinci satırını vektörle eşleştir, karşılıklı sayıları çarp ve topla: 0,8 × 100 + 0,1 × 50 = 85. İkinci satır için aynısını yap: 0,2 × 100 + 0,9 × 50 = 65. Sonuç vektörü (85, 65) ve toplamı yine 150, çünkü kimse kaybolmadı. Kuralı tek cümleyle söyleyebilirsin: her çıktı, bütün girdilerin ağırlıklı toplamıdır.

Bu okumanın gücü şurada: çıktının her bileşeni, girdinin bütün bileşenlerinden katkı alıyor. Gelecek ayın belirtisizleri yalnız bu ayın belirtisizlerine değil, belirtililerine de bağlı. "Her şey her şeyi etkiliyor" cümlesinin hesap karşılığı bu ve katkıların büyüklüğü katsayılarda yazılı. Katsayılardan biri sıfır olsaydı, o girdi o çıktıyı doğrudan hiç etkilemezdi.

İki dönüşüm arka arkaya

Klinik bir program başlatıyor: ay sonunda belirtili olan herkes programa davet ediliyor ve bunların yarısı belirtisize geçiyor. Bu da bir dönüşüm. Belirtisizler olduğu gibi kalıyor, belirtililerin yarısı belirtisize ekleniyor. Matrisi birinci satırda (1, 0,5), ikinci satırda (0, 0,5).

İki dönüşüm arka arkaya uygulanabilir ve bunun iki sırası var. Önce aylık geçiş, sonra program: geçiş (100, 50)'yi (85, 65)'e çeviriyor, program da belirtililerin yarısını, yani 32,5 kişiyi aktarıyor. Sonuç (85 + 32,5, 32,5) = (117,5, 32,5). Önce program, sonra aylık geçiş: program (100, 50)'yi (125, 25)'e çeviriyor, geçiş ardından 0,8 × 125 + 0,1 × 25 = 102,5 belirtisiz ve 0,2 × 125 + 0,9 × 25 = 47,5 belirtili veriyor.

Aynı iki dönüşüm, aynı başlangıç ve 117,5'e karşı 102,5 belirtisiz. Fark şuradan geliyor: program ay sonunda uygulandığında ay içinde yeni belirtili olmuş 20 kişiye de ulaşıyor. Başta uygulandığında ise programla belirtisize geçen 25 kişinin %20'si ay içinde yeniden belirtili oluyor. Sistem ikinci dönüşümü birincinin bıraktığı durumda karşılıyor ve o durum her sırada farklı.

İki matrisin çarpımı tam olarak bu birleştirmenin tek matrislik yazımı. Sağdaki matris önce uygulanır, bu yüzden "önce geçiş, sonra program" programın matrisi soldayken yazılır. Bu çarpımın birinci satırı (0,9, 0,55), ikinci satırı (0,1, 0,45) çıkıyor. Ters sıradaki çarpım ise birinci satırda (0,8, 0,45), ikinci satırda (0,2, 0,55) veriyor. Sayılarda 3 × 5 = 5 × 3 olduğu için bu şaşırtıcı görünür; dönüşümlerde sıranın sonucu değiştirmesi kural, değiştirmemesi istisnadır.

Bu, L02-P01-M02-D06'da parçalı fonksiyonlarla kurulan başlangıç düzeyine bağımlılığın çok değişkenli hâli: bir etki sistemin o anki konumuna bağlıysa, sıra da bir değişkendir. Okuma sonucu açık: bir çalışmada birden çok değişiklik birlikte uygulanmışsa, hangi sırayla uygulandığı bir yöntem bilgisidir ve sonucu etkileyebilir.

Tekrarlı uygulama

Programı bir kenara bırakıp yalnız aylık geçişi tekrar tekrar uygula. İkinci ay (85, 65)'ten başlıyorsun: 0,8 × 85 + 0,1 × 65 = 68 + 6,5 = 74,5 belirtisiz ve 150 − 74,5 = 75,5 belirtili. Üçüncü ay 0,8 × 74,5 + 0,1 × 75,5 = 59,6 + 7,55 = 67,15 belirtisiz. Her adımda durum güncelleniyor ve yeni durum bir sonraki adımın girdisi oluyor.

Belirtisizlerin sayısı 100, 85, 74,5, 67,15 diye iniyor ama giderek yavaşlıyor. Liste bir dengeye yaklaşıyor: 50 belirtisiz, 100 belirtili. Bu dengede belirtisizden belirtiliye geçen 0,2 × 50 = 10 kişi, belirtiliden dönen 0,1 × 100 = 10 kişiyle tam dengeleniyor. Dengeden sapmaya bak: 50, 35, 24,5, 17,15. Her ay sapma bir önceki ayın 0,7 katı; 50 × 0,7 = 35, 35 × 0,7 = 24,5.

Bu, bir sistemin adım adım ilerlemesinin matris hâli ve L02-P01-M03-D06'daki diferansiyel denklemlerin ayrık adımlı karşılığı. Oradaki üç temel davranış burada da ortaya çıkabiliyor: bu örnekteki gibi bir hedefe yaklaşma, kendi büyüklüğüyle orantılı büyüme ya da azalma ve geri bildirimle salınım. Hangisinin olacağı matristen okunabiliyor. Takip listesinde sapmayı her ay küçülten 0,7 de matrisin içinde saklı bir sayı.

Kartın son cümlesi bu dersi akademinin omurgasına bağlıyor. Mekanizmayı anlatan dersin cümlesi, biyolojinin bir zincir değil bir ağ olduğunu söylüyordu; matris çarpımı o cümleye bir hesap yolu veriyor. Bir bileşene yapılan müdahale bir sonraki adımda katkı katsayıları üzerinden öteki bileşenlere yayılıyor. Tekrarlı uygulamayla da doğrudan bağlantısı olmayan bileşenlere ulaşıyor.

Klinik gerçeklik

Çok bileşenli bir sistem ya da müdahaleyle karşılaştığında önce kaç bileşen olduğunu ve hangilerinin birbirine doğrudan bağlı olduğunu sor; bir tablo ya da matris çiziliyorsa her katsayının neyi neye bağladığını oku. Ardından bildirilen etkilerin doğrudan mı dolaylı mı olduğunu ayır, çünkü tek adımlık bir matris yalnız doğrudan katkıları gösterir. Birden çok değişiklik varsa sıranın bildirilip bildirilmediğine bak; takip listesinde aynı iki değişiklik 15 kişilik bir fark üretti. Son olarak aynı işlem tekrar edilirse sistemin nereye gittiğini sor: bir dengeye mi yaklaşıyor, büyüyor mu, yoksa salınıyor mu?

Bu son iki soru modülün geri kalanını açıyor. Dolaylı yolların nasıl sayıldığı komşuluk matrisi dersinde, uzun vadeli davranışın matristen nasıl okunduğu da hemen sıradaki derste ele alınıyor. Bu dersten götürmen gereken sezgi tek: çarpım bir birleştirmedir ve sırası vardır.

Kendini sına

1. Takip listesi (120, 30) ile başlasaydı gelecek ay kaç kişi belirtisiz, kaç kişi belirtili olurdu? Toplamı kontrol et.
2. Matristeki 0,1 neyi tarif ediyor? Neden "doğrudan" bir katkı?
3. Matris–vektör çarpımını bir cümlede yaz.
4. Önce geçiş sonra program ile önce program sonra geçiş neden farklı sonuç veriyor? Farkı kendi cümlenle açıkla.
5. Program belirtililerin yarısı yerine tamamını taşısaydı iki sıranın sonuçları ne olurdu?
6. Sıra bağımlılığı hangi dersteki kavramın çok değişkenli hâli?
7. Dengede neden 50 belirtisiz, 100 belirtili kişi var? Geçişleri hesaplayarak göster.
8. B rozetli kart hangi cümlenin ölçülmüş hâli ve matris çarpımı ona ne ekliyor?

Bir sonraki derse köprü

Takip listesinde dengeden sapma her ay aynı oranla küçüldü: 50, 35, 24,5, yani her adımda 0,7 katı. Liste de hep aynı dengeye doğru ilerledi: bir belirtisize karşı iki belirtili. Sıradaki ders bu iki şeyin matrisin içinde nerede saklı olduğunu soruyor: bir dönüşümün yönünü değiştirmediği özel doğrultular ve o doğrultulardaki büyüme ya da sönme oranları. Karmaşık bir sistemin uzun vadede neden tek bir basit örüntüye oturduğunu bu iki kavram açıklıyor (L02-P01-M04-D03).