Vektör ve matris

Açılış sahnesi

Pazartesi sabahı bir yaşam tarzı programının kayıt masasında iki danışanın formu yan yana duruyor. Her formda üç ölçüm var: bel çevresi santimetre olarak, dinlenik nabız dakikadaki vuru sayısı olarak, günlük yürüyüş bin adım olarak. A danışanında 98, 66 ve 8; B danışanında 90, 76 ve 6. Programın yalnız birkaç yeri var ve koordinatör "önce riski yüksek olanı alalım" diyor. Bir stajyer hemen iki formun sayılarını topluyor: A için 98 + 66 + 8 = 172, B için 90 + 76 + 6 = 172.

Eşitlik bir rastlantı ve toplamın kendisi bir anlam taşımıyor. Stajyer adımları bin yerine tek tek yazsaydı toplamlar 98 + 66 + 8.000 = 8.164 ile 90 + 76 + 6.000 = 6.166 olurdu ve sonuç birim seçimine göre değişirdi. Bu ders, bir kişiyi tek sayı yerine birkaç sayıyla birlikte tutmanın yolunu ve o sayıları bir puana indirirken gizlice verilen kararları anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce vektörü ve matrisi tanımlayıp kayıt masasındaki formları bu dille yazacağız. Sonra farklı birimlerdeki ölçümlerin neden doğrudan toplanamadığını ve ölçeklemenin bu sorunu nasıl çözdüğünü elle hesaplayacağız. Ardından iki farklı ağırlık seçimiyle bileşik puan kuracağız ve iki danışanın sırasının ters döndüğünü göreceğiz. Son bölümde boyut indirgemenin meşru tarafına ve sınırına bakacağız.

Sıfır noktası

Glikoz ve insülin dinamiklerinde düzeyin yanına denetleyiciyi de yazmak, tek sayının yerine iki sayı kullanmak demekti. Kayıt masasında bu sayı üç, gerçek bir değerlendirmede onlarca. Bu sayıları dağınık bir liste olarak değil, sırası belli tek bir nesne olarak tutmanın adı vektördür.

A danışanı (98, 66, 8), B danışanı (90, 76, 6) vektörüdür ve ikisinin boyutu 3. Sıra anlamlıdır: birinci konum her zaman bel çevresi, ikinci nabız, üçüncü adım. İki vektörü alt alta yazdığında iki satır ve üç sütunlu bir matris elde edersin; programa yüz kişi başvursaydı matris yüz satır olurdu. Buradaki "boyut" sözcüğü boyut analizindeki boyuttan farklı: orada bir niceliğin türüydü, örneğin uzunluk ya da zaman; burada kaç ayrı nicelik olduğu. Aynı sözcük iki ayrı kavramı taşıyor ve bu derste ikisi de iş görüyor.

Mekanizma

Birlikte tutmanın kazancı

Ölçümleri bir vektör olarak düşünmenin ilk kazancı, durumun tek bir nesneye dönüşmesi: bir kişi üç boyutlu bir uzayda bir nokta olur. İkinci kazanç, değişimin bir yöne dönüşmesi. A danışanı üç ay sonra (94, 64, 10) ölçülürse fark (94 − 98, 64 − 66, 10 − 8) = (−4, −2, 2) olur ve bu tek vektör hangi ölçümün hangi yönde ne kadar değiştiğini birlikte söyler.

Üçüncü kazanç, iki kişi arasındaki benzerliğin hesaplanabilmesi, ama burada ilk sorun ortaya çıkıyor. A ile B arasındaki fark (98 − 90, 66 − 76, 8 − 6) = (8, −10, 2). Bu üç sayı santimetre, vuru ve bin adım cinsinden ve onları tek bir uzaklıkta birleştirmek, açılıştaki toplamla aynı soruna çarpar. Hangi uzaklık, hangi birimle?

Farklı birimler doğrudan toplanamıyor

Boyut analizinin kuralı burada devrede: yalnız aynı boyuttaki nicelikler toplanabilir (L02-P01-M01-D07). Santimetre ile vuru sayısını toplamak, metre ile saniyeyi toplamak kadar geçersiz. Açılıştaki iki toplamın birim değişince 172 = 172'den 8.164'e karşı 6.166'ya dönmesi bu geçersizliğin sayısal izi: birimi değiştirmek, bir ölçümün toplamdaki ağırlığını bin katına çıkardı.

Çözüm, her ölçümü birimsiz bir sayıya çevirmek. En yaygın yol, değerden grubun ortalamasını çıkarıp grubun standart sapmasına bölmek; ortaya çıkan sayıya z-puanı denir ve kişinin grubun ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler. Başka bir yol, değeri bir referans değere bölmektir. Her iki yolda da birimler pay ile paydada birbirini götürür.

Programa başvuran grupta bel çevresinin ortalaması 90, standart sapması 8 olsun; nabzın ortalaması 70, standart sapması 8; adımın ortalaması 7, standart sapması 2 bin. A danışanının bel z-puanı (98 − 90) ÷ 8 = 1,0, nabzı (66 − 70) ÷ 8 = −0,5, adımı (8 − 7) ÷ 2 = 0,5. B danışanının bel z-puanı (90 − 90) ÷ 8 = 0, nabzı (76 − 70) ÷ 8 = 0,75, adımı (6 − 7) ÷ 2 = −0,5. Artık iki vektör (1,0; −0,5; 0,5) ve (0; 0,75; −0,5) ve her konum aynı dilde: grubun içindeki konum.

Ölçekleme masum bir teknik adım değil. Nabzın standart sapmasını başka bir referans gruptan 8 yerine 4 olarak alsaydın, B'nin nabız z-puanı (76 − 70) ÷ 4 = 1,5 olurdu, yani iki katına çıkardı. Ölçekleme yöntemi ve referans grubu, hangi ölçümün sonuçta ne kadar ağırlık taşıyacağını belirliyor. Yayılımı dar ölçülen bir ölçüm, ölçeklendiğinde büyür; eşit ölçekleme de bir karardır, tarafsız bir işlem değil.

Bileşik puan ve ağırlık kararı

Koordinatörün sorusu hâlâ açık: riski yüksek olan hangisi? Bu soruyu cevaplamak için vektörü tek bir sayıya indirmek gerekir.

Önce yön kararı veriliyor: bu kurguda bel çevresi ve nabız arttıkça risk artıyor, adım arttıkça azalıyor, bu yüzden adım z-puanı eksi işaretle giriyor. Sonra ağırlık kararı. Üç ölçüme eşit ağırlık verirsen, yani her birine üçte bir, A'nın puanı (1,0 − 0,5 − 0,5) ÷ 3 = 0, B'nin puanı (0 + 0,75 + 0,5) ÷ 3 ≈ 0,42 olur. B önce alınır.

Şimdi bel çevresine 0,6, nabza ve adıma 0,2 ağırlık ver. A'nın puanı 0,6 × 1,0 + 0,2 × (−0,5) − 0,2 × 0,5 = 0,6 − 0,1 − 0,1 = 0,4. B'nin puanı 0,6 × 0 + 0,2 × 0,75 − 0,2 × (−0,5) = 0,15 + 0,1 = 0,25. Bu kez A önce alınır. Aynı iki vektör, aynı ölçekleme ve tek fark ağırlık kararı; sıralama ters döndü. Hangi ağırlığın doğru olduğu vektörlerin içinde yazmıyor, dışarıdan bir kanıta ya da bir değer yargısına dayanmak zorunda.

Kartın önerdiği duyarlılık çözümlemesini az önce yaptın: iki ağırlık seçimini denedin ve sıralamanın dayanıklı olmadığını gördün. Sıralama iki seçimde de aynı kalsaydı karar ağırlığa duyarsız olurdu ve daha güvenle kullanılabilirdi. Bir puan gördüğünde sorulacak soru buradan çıkıyor: hangi bileşenlerden, hangi ölçeklemeyle ve hangi ağırlıklarla oluştu?

Puanın kaybettikleri

Bileşik puanın kazancı gerçek: karşılaştırma kolaylaşıyor, sıralama yapılabiliyor, karar tek bir eşiğe bağlanabiliyor. Kaybı da gerçek ve en önemlisi, aynı puanın çok farklı durumlardan gelebilmesi. Bir vektör üç sayı taşırken puan bir sayı taşır; aradaki iki sayılık bilgi indirgeme sırasında atılır. Ters fonksiyon dersindeki bire birlik ölçütüyle söylersen, bileşik puan bire bir değildir ve puandan vektöre geri dönülemez (L02-P01-M02-D07).

Vakadaki eşitlik bir başka kaybı da gösteriyor. Toplama işlemi, bir ölçümdeki kötülüğün başka bir ölçümdeki iyilikle telafi edilebileceğini varsayıyor: A danışanının eşit ağırlıklı puanında bel çevresindeki 1,0, nabzın ve adımın iyi değerleriyle sıfırlandı. Bazı durumlarda bu telafi geçerli değildir ve bir bileşendeki uç değer tek başına önemlidir. Bu, bileşik sonlanımlarda karşılaştığın sorunla aynı aileden: birden çok olay tek bir sonlanımda birleştiğinde hangisinin sonucu taşıdığı görünmez olur (L01-P01-M03-D08). Bir özet ne kadar topluysa, içine bakmak o kadar gerekli.

Boyut indirgemenin meşru tarafı

İndirgeme her zaman kayıp değil. Çok sayıda ölçüm birbiriyle ilişkiliyse, aralarında gerçek bir örüntü vardır ve o örüntü daha az sayıda değişkenle tarif edilebilir. Kayıt masasında bel çevresi ile nabız birlikte yükselip alçalıyorsa, ikisini ayrı ayrı izlemek yerine ortak bir eksen izlemek bilgi kaybettirmeden işi kolaylaştırır.

Kartın son cümlesi bir aşırı yorumu kesiyor. Veride güçlü bir ortak eksen bulmak, o eksenin arkasında tek bir mekanizma bulmak demek değil; istatistiksel bir bileşen bir hesap sonucudur, biyolojik bir birim olduğu ayrıca gösterilmelidir. Aynı ayrım bu modülün ilerleyen derslerinde, ağlardaki kümeler için yeniden karşına çıkacak.

Klinik gerçeklik

Bir bileşik puanla ya da çok ölçümlü bir değerlendirmeyle karşılaştığında önce kaç ölçümden oluştuğunu ve bu ölçümlerin hangi birimlerde olduğunu sor. Sonra nasıl ölçeklendiklerine bak: hangi referans grubun ortalaması ve yayılımı kullanıldı? Açılıştaki gibi ham sayılar toplanmışsa puan, birim seçiminin bir yan ürünüdür. Ardından ağırlıkların ne olduğunu ve nereden geldiğini öğren; eşit ağırlık da bir cevaptır ve gerekçe ister.

Son soru bu dersin ölçütü: aynı puan hangi farklı durumlardan gelebilir? C ile D danışanı aynı puanı aldı ama programın onlara önereceği şey aynı olmayabilir. Mümkünse puanın yanında vektörün kendisini de iste; A ile B'nin sırasını ağırlık kararının belirlediğini gördükten sonra, tek sayıyı tek başına okumak için bir neden kalmıyor.

Kendini sına

1. Vektör, boyut ve matrisi tanımla. Buradaki "boyut", boyut analizindeki boyuttan nasıl ayrılıyor?
2. Açılıştaki ham toplamlar adım birimi değişince neden 172 = 172'den 8.164'e karşı 6.166'ya dönüyor? Hangi kural çiğneniyor?
3. A danışanının üç ay sonraki vektörü (94, 64, 10). Değişim vektörünü yaz ve üç ölçümün hangi yöne gittiğini söyle.
4. Ortalama 90 ve standart sapma 8 iken bel çevresi 86 olan bir kişinin z-puanını hesapla.
5. Nabzın standart sapması 4 alınınca B'nin nabız z-puanı neden iki katına çıkıyor? Bu, ölçekleme hakkında ne söylüyor?
6. Ağırlıklar 0,6, 0,2, 0,2 iken A ve B'nin puanlarını yeniden hesapla. Eşit ağırlıkla karşılaştırınca ne değişti?
7. Vakadaki C ve D neden aynı puanı alıyor? Puan hangi bilgiyi atıyor?
8. İkinci kanıt kartının kestiği aşırı yorum ne?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste bir durumu sıralı sayılardan oluşan bir vektör olarak yazdın ve bir matrisi kişilerin alt alta dizildiği bir tablo olarak kurdun. Sıradaki derste matris başka bir kimliğe bürünüyor: bir vektörü alıp yeni bir vektöre çeviren bir dönüşüm. Tablonun sütunlarının girdileri, satırlarının çıktıları temsil ettiğini ve iki dönüşümü arka arkaya uygularken sıranın neden sonucu değiştirdiğini orada elle hesaplayacaksın.