Maksimum ve minimum

Açılış sahnesi

Sabah sekizde bir dahiliye servisinde hemşire, gece boyunca dört saatte bir ölçülen vücut sıcaklıklarını çizelgeye geçiriyor. Önceki günün altı değeri şöyle: saat 08.00'de 36,5, 12.00'de 36,8, 16.00'da 37,1, 20.00'de 36,9, gece yarısı 36,6 ve sabaha karşı 04.00'te 36,2 derece. Sağlıklı insanlarda da sıcaklık gün içinde böyle dalgalanır; tipik olarak sabaha karşı en düşük, öğleden sonra ya da akşamüstü en yüksek düzeydedir. Çizelgeye bakan herkes aynı soruyu sorar: gün içindeki en yüksek sıcaklık kaçtı ve ne zamandı?

İlk cevap kolay görünür: 37,1 derece, saat 16.00. Ama bu cevap yalnız ölçülen altı anın en yükseğini söylüyor. Gerçek tepe 16.00 ile 20.00 arasında bir yerde, termometrenin hiç görmediği bir anda olmuş olabilir. Bu ders uç noktaları bulmayı, bulunan noktaya ne kadar güvenileceğini ve en zor soruyu ele alıyor: birden çok şey önemliyse "en iyi" kimin için en iyi?

Bu derste ne olacak

Önce uç noktanın türevle bağını küçük sayılarla elle kuracağız. Sonra yerel ile genel uç noktayı ayırıp dar bir veri aralığının seni nasıl yanıltabileceğini göreceğiz. Ardından tepenin sivri mi yayvan mı olduğuna geçeceğiz. Son bölümde iki sonlanımlı bir modelde tek bir en iyi noktanın neden kalmadığını ağırlıklarla hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Önce sözcükleri yerine oturtalım. Bir eğrinin en yüksek değerine maksimum, en düşük değerine minimum denir; ikisinin ortak adı uç noktadır. Sıcaklık çizelgesinde ölçülen en yüksek değer 37,1, en düşük değer 36,2 derece. Aradaki fark 37,1 − 36,2 = 0,9 derece, yani günlük dalgalanmanın genişliği.

Uç noktanın en önemli özelliği, türevle olan bağıdır. Bir tepeye çıkarken eğim pozitif, tepeden inerken negatiftir; tam tepede eğri ne yükselir ne alçalır ve teğeti yataydır. Bu yüzden uç noktalarda türev sıfırdır. Sıcaklık serisinde bunu kaba biçimde de görebilirsin: 12.00'den 16.00'ya değişim 37,1 − 36,8 = +0,3 derece, 16.00'dan 20.00'ye değişim 36,9 − 37,1 = −0,2 derece. Ortalama değişimin işareti artıdan eksiye döndüğüne göre, tepe bu iki aralığın arasında bir yerdedir.

Mekanizma

Tepeyi elle bulmak

Somut bir eğri üzerinde çalışalım: y = 10 + 8x − 2x². Bu bir ikinci derece fonksiyon; x² teriminin katsayısı eksi olduğu için eğri önce yükselir, sonra alçalır. Birkaç değeri hesaplayalım: x = 1 için y = 10 + 8 − 2 = 16, x = 2 için y = 10 + 16 − 8 = 18, x = 3 için y = 10 + 24 − 18 = 16. Tepe x = 2'de görünüyor ve iki yanındaki değerlerin eşit olması eğrinin orada simetrik olduğunu söylüyor.

Şimdi eğimi, türevin sezgisel tanımıyla, çok küçük bir aralıktaki ortalama değişim olarak ölçelim. x = 1 çevresinde 0,9 ile 1,1'i al: y(0,9) = 10 + 7,2 − 1,62 = 15,58 ve y(1,1) = 10 + 8,8 − 2,42 = 16,38. Değişim 16,38 − 15,58 = 0,80, aralık 0,2, eğim 0,80 ÷ 0,2 = 4; eğri burada hâlâ tırmanıyor. Aynı işlemi x = 2 çevresinde yaparsan y(1,9) = 10 + 15,2 − 7,22 = 17,98 ve y(2,1) = 10 + 16,8 − 8,82 = 17,98 çıkar. Değişim sıfır, eğim sıfır: tepedesin.

Burada dikkat isteyen bir nokta var: bu bağ tek yönlüdür. Uç noktada türev sıfırdır, ama türevin sıfır olduğu her nokta uç nokta değildir. y = x³ eğrisine bak: x = 0'da eğim sıfır, fakat y(−0,1) = −0,001 ve y(0,1) = +0,001. Eğri orada bir an düzleşip yükselmeye devam ediyor; ne tepe var ne çukur. Türevin sıfır olması uç noktayı aramak için iyi bir işarettir, onu kanıtlamaz.

Dar aralığın tepesi

Yerel ile genel uç nokta arasındaki fark, elindeki verinin genişliğiyle doğrudan ilgilidir. y = x³ − 3x eğrisini düşün ve yalnız x = −2 ile x = 1,5 arasını ölçebildiğini varsay. Değerler şöyle: y(−2) = −8 + 6 = −2, y(−1) = −1 + 3 = 2, y(1) = 1 − 3 = −2 ve y(1,5) = 3,375 − 4,5 = −1,125. Bu aralıkta en yüksek değer x = −1'de 2'dir ve dürüstçe "maksimum bulundu" diyebilirsin.

Aralığı x = 3'e kadar uzattığında tablo değişir: y(3) = 27 − 9 = 18. Bulduğun tepe yerel bir tepeydi; gerçek en yüksek değer, hiç ölçmediğin bölgede ve dokuz kat daha yüksek. Açılıştaki sıcaklık serisinde de aynı mantık işler: 37,1 altı ölçüm anının en yükseğidir, günün değil. Veri dar bir aralıktaysa, bulduğun uç nokta yalnız o aralığın uç noktasıdır ve aralığın dışını tahmin etmek dışdeğerleme olur.

İki yönde de kötü

Bir niceliğin hem çok düşük hem çok yüksek olması sorun üretiyorsa, ilişki U biçimlidir; bu kavramı ters fonksiyonları işleyen L02-P01-M02-D07 kurmuştu. Böyle bir ilişkide en iyi konum ortada bir yerdedir ve "ne kadar az o kadar iyi" cümlesi geçerliliğini yitirir. Aynı sonuç eşiğin iki yanındaki iki farklı durumdan gelebilir. Bir grupta kişilerin bir kısmı en iyi noktanın altında, bir kısmı üstündeyse, herkese aynı yönde uygulanan bir değişikliğin ortalama etkisi iki zıt etkinin karışımı olur ve gruptaki hiç kimseyi tarif etmeyebilir.

Kartın son bölümü bir aşırı yorumu engelliyor. Gözlemsel veride bir U biçimi görmek, "orta düzeyi hedefle" sonucunu kendiliğinden vermez. Düşük uçtaki risk o değeri düşüren başka bir hastalıktan geliyor olabilir; o zaman değeri yükseltmek riski değiştirmez. Eğrinin biçimi bir soru açar, cevabını vermez.

Tepe ne kadar sivri

Bir uç noktanın konumu kadar çevresinin biçimi de bilgi taşır. Tepesi aynı yerde ve aynı yükseklikte duran iki eğriyi karşılaştıralım: yayvan olanı y = 18 − 0,5 × (x − 2)², sivri olanı y = 18 − 8 × (x − 2)². İkisi de x = 2'de 18 değerine ulaşıyor. Şimdi hedeften yarım birim sap, x = 2,5'e git; (x − 2)² = 0,25 olur.

Yayvan eğride kayıp 0,5 × 0,25 = 0,125, yani değer 17,875'e iner; bu tepenin 0,125 ÷ 18 ≈ %0,7'si kadar. Sivri eğride kayıp 8 × 0,25 = 2, değer 16'ya iner ve bu tepenin 2 ÷ 18 ≈ %11'i. Aynı sapma birinde fark edilmez, ötekinde belirgin bir kayıp üretir. Bu farkı ölçen şey, eğrinin tepede ne kadar büküldüğüdür; türevin değişim hızını anlatan ikinci türev fikri L02-P01-M03-D02'de kurulmuştu ve burada sivri eğrinin bükülmesi yayvan olanınkinin 8 ÷ 0,5 = 16 katıdır.

Yassı bir optimumda kesin nokta pek önemli değildir, bir aralık yeterlidir; keskin bir optimumda ise hedefe yakınlık önem kazanır. Yassı optimumun bir tuzağı da vardır, çünkü "en iyi noktayı bulduk" iddiası ölçüm belirsizliğinden küçük kalabilir. Sıcaklık serisine dönelim ve 12.00, 16.00 ve 20.00 ölçümlerinden geçen bir parabol kuralım; hesap tepeyi yaklaşık 16.24'e ve 37,1025 dereceye yerleştirir. Bu tahmin ölçülen tepeden 37,1025 − 37,1 = 0,0025 derece yüksek, oysa termometre 0,1 derecelik adımlarla okuyor; tahmin edilen fark cihazın ayırma gücünün 0,1 ÷ 0,0025 = 40'ta biri kadar. Dört ondalıklı bir tepe değeri bildirmek, verinin taşımadığı bir kesinliği iddia etmek olurdu.

Kimin için en iyi

Buraya kadar tek bir çıktı varsaydık. Gerçekte çoğu zaman birden çok sonlanım izlenir ve her birinin kendi optimumu vardır. Optimumlar farklı yerlerdeyse hepsini birden en yükseğe taşıyan bir nokta kalmaz.

Seçimi belirleyen şey, iki sonlanıma verilen ağırlıktır. İkisi eşit önemdeyse toplam puana bakarsın: x = 2'de 16 + 20 = 36, x = 3'te 19 + 19 = 38, x = 4'te 20 + 16 = 36 ve en iyi nokta x = 3 olur. Birinci sonlanım kişi için üç kat önemliyse puan 3 × A + B olur ve hesap değişir: x = 3'te 3 × 19 + 19 = 76, x = 3,5'te 3 × 19,75 + 17,75 = 77, x = 4'te 3 × 20 + 16 = 76. Bu durumda en iyi nokta x = 3,5'e kayar; genel kural olarak ağırlıklı optimum iki tepe noktasının ağırlıklı ortalamasıdır, (3 × 4 + 1 × 2) ÷ 4 = 3,5.

Vakadaki ödünleşim eğrisi x = 2 ile x = 4 arasındaki noktalardır; bu aralıkta sağa her adım A'yı artırır, B'yi azaltır. Dışarıdaki her nokta içerideki bir noktanın gerisinde kalır ve hesapla elenir. İçerideki seçim ise bir tercihtir: 3 mü 3,5 mi sorusunu hiçbir ek ölçüm cevaplamaz. Görüş ayrılıklarını türlerine ayıran L01-P06-M03-D05'in diliyle bu bir değer anlaşmazlığıdır, olgu anlaşmazlığı değil, ve daha çok veri onu kapatmaz.

Kart, sonlanımların sık sık farklı yönlere çektiğini söylüyor; vakadaki hesap ise o durumda "en iyi" sözcüğünün bir ağırlık seçmeden anlam taşımadığını gösteriyor. Ağırlık kişinin neye değer verdiğinden gelir. Aynı iki eğriye bakıp farklı noktalarda duran iki kişi hesap hatası yapmış olmaz.

Klinik gerçeklik

Bir "en iyi düzey" iddiasıyla karşılaştığında önce hangi sonlanım için en iyi olduğunu sor, çünkü bir sonlanımın tepesi ötekinin çukuru olabilir. Ardından tepenin sivri mi yayvan mı olduğuna bak: yayvansa tek bir hedef sayı yerine bir aralık konuşmak daha dürüsttür. Sonra verinin hangi aralıktan geldiğini sor; o aralığın dışında daha yüksek ya da daha düşük bir nokta olabilir. En son, başka sonlanımların ne dediğine bak.

Bu son soru dersin asıl sonucunu taşır. Sonlanımlar çatışıyorsa hesap sana ödünleşim aralığını verir, içinden birini seçmeyi vermez. O seçim, iki sonlanımı yaşayacak olan kişiyle birlikte yapılır.

Kendini sına

1. Uç noktalarda türev nedir? Tersi neden doğru değil? y = x³ örneğiyle açıkla.
2. y = 10 + 8x − 2x² için y(2,9) ve y(3,1)'i hesapla; bu iki değerden x = 3 çevresindeki eğimi bul. Eğri orada yükseliyor mu alçalıyor mu?
3. y = x³ − 3x eğrisinde yalnız −2 ile 1,5 arasını ölçen biri hangi maksimumu bulur? Aralık 3'e uzayınca ne değişir?
4. B rozetli U biçimi kartının engellediği aşırı yorum nedir?
5. Yayvan ve sivri eğride x = 3'e (hedeften bir birim) sapınca kayıplar ne olur? Oranları kaç?
6. Sıcaklık örneğinde tepe değeri neden dört ondalıkla bildirilmemeli?
7. Vakada ikinci sonlanım üç kat önemliyse, yani puan A + 3 × B ise, en iyi nokta nereye kayar?
8. Vakadaki seçim neden veriden çıkmıyor? Ödünleşim eğrisi hangi aralık?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste elinde hazır bir eğri vardı ve onun en yüksek, en düşük noktalarını aradın. Sıradaki derste eğrinin kendisi elinde olmadığında ne yapılacağına geçiyoruz: bir niceliğin nerede olduğunu değil, her an hangi kurala göre değiştiğini yazan bir denklem kurmaya. Diferansiyel denklem fikri bu bakış değişikliğidir ve orada aynı kuralın, farklı bir başlangıç koşulundan farklı bir seyir üretebildiğini göreceksin.