Birikim ve alan

Açılış sahnesi

Bir hastanenin teknik servisinde görevli, çatıdaki su deposunun göstergesini sabah sekizde okuyor: 800 litre. Akşam sekizde yeniden bakıyor ve yine 800 litre görüyor. Deftere "gün boyu değişiklik yok" yazmak üzereyken şebekeden gelen borunun sayacına göz atıyor. Sayaç, depoya saatte 200 litre su girdiğini gösteriyor.

On iki saatte depoya 12 × 200 = 2400 litre su girmiş ve düzey hiç kıpırdamamış. Bu ancak aynı sürede aynı miktarın servislere akıp gitmesiyle mümkün. Deponun içindeki su gün boyunca 2400 ÷ 800 = 3 kez baştan sona yenilenmiş; sabit gösterge bu hareketin hiçbirini göstermiyor. Bu ders, sabit bir düzeyin neden hareketsizlik anlamına gelmediğini ve bir düzeyin arkasındaki akışların nasıl hesaplandığını anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce havuz ile akışı ayırıp denge denklemini kuracağız; bu modülün geri kalanının en çok kullandığı kalıp bu. Sonra değişen bir akışın zaman içinde ne kadar biriktirdiğini dikdörtgenlerle, adım adım incelterek hesaplayacağız. Ardından kararlı durumu, devir hızını ve bir düzey değişiminin hangi akıştan geldiğinin neden belirsiz kaldığını sayılarla göreceğiz. Son bölümde aynı girişin, uzaklaştırma yavaşladığında neden daha yüksek bir düzeye oturduğunu hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Depo örneğinde iki farklı türden nicelik var. Göstergedeki 800 litre bir miktardır; belli bir anda deponun içinde ne olduğunu söyler. Sayaçtaki saatte 200 litre ise bir hızdır; birim zamanda ne kadarının içeri girdiğini söyler. İkisinin birimi de bunu açık eder: biri litre, öteki litre bölü saat.

Havuz ile akış arasındaki fark bir boyut farkıdır ve ölçtüğün şeyin hangisi olduğunu birimi söyler. Havuzdaki değişim, giren ile çıkan akışın farkıyla belirlenir. Depoya saatte 250 litre girip 200 litre çıksaydı, net değişim 250 − 200 = 50 litre bölü saat olurdu. Üç saat sonunda depoda 800 + 3 × 50 = 950 litre bulunurdu.

Mekanizma

Birikim bir alandır

Akış sabit olduğunda birikimi bulmak kolaydır: saatte 200 litrelik bir giriş dört saatte 200 × 4 = 800 litre biriktirir. Bunu bir grafikte düşün: yatay eksende zaman, dikey eksende akış. Genişliği 4, yüksekliği 200 olan bir dikdörtgen çizilir ve alanı tam olarak birikmiş miktardır. Akış eğrisinin altındaki alan, havuza giren toplam miktardır.

Akış değiştiğinde de aynı fikir işler, yalnız hesap bir adım uzar. Bir pompanın saat 0'da sıfırdan başlayıp dört saat boyunca düzgünce hızlandığını, sonunda saatte 400 litreye ulaştığını düşün; her saat başında akış 0, 100, 200, 300 ve 400 litre bölü saattir. Aralığı birer saatlik dilimlere böl ve her dilimde akışı o dilimin başındaki değerle sabit say: 1 × (0 + 100 + 200 + 300) = 600 litre. Dilimin sonundaki değeri kullanırsan 1 × (100 + 200 + 300 + 400) = 1000 litre bulursun; gerçek birikim bu ikisinin arasındadır.

Dilimleri yarım saate indirelim. Başlangıç değerleriyle toplam 0,5 × (0 + 50 + 100 + 150 + 200 + 250 + 300 + 350) = 0,5 × 1400 = 700, bitiş değerleriyle 0,5 × (50 + 100 + … + 400) = 0,5 × 1800 = 900 olur. Alt ve üst tahmin arasındaki fark 400'den 200'e indi ve ikisi de 800'e yaklaşıyor. Eğrinin altındaki şekil bir üçgen olduğu için tam alan 4 × 400 ÷ 2 = 800 litredir. Dilimleri incelttikçe toplamın gerçek alana yaklaşması, integral sezgisini işleyen L02-P01-M03-D03'teki fikrin sayılarla hâlidir.

Bu iki hesabın yan yana konması bir şey daha gösteriyor. Sabit 200 litre bölü saatlik akış da, sıfırdan 400'e tırmanan akış da dört saatte 800 litre biriktirdi. Biri baştan sona orta düzeyde, öteki önce düşük sonra yüksek aktı; eğrilerin biçimi farklı, altlarındaki alan aynı. Havuzdaki miktar hangi yoldan gelindiğini hatırlamaz, yalnız toplamı taşır.

Kararlı durum

Açılıştaki depoya dönelim. Giren ve çıkan akış eşit olduğunda denge denklemi sıfır değişim verir ve düzey sabit kalır. Bu durumun bir adı var ve bu modülün sonraki derslerinde sık sık karşına çıkacak.

Kararlı durum hiçbir şeyin olmadığı durum değildir, olanların birbirini götürdüğü durumdur. İki depoyu karşılaştır: ikisinde de 800 litre su var, ama birinden saatte 200 litre geçiyor, ötekinden yalnız 50. Göstergeler aynı sayıyı okur, oysa birinci depo 800 ÷ 200 = 4 saatte, ikincisi 800 ÷ 50 = 16 saatte bir tamamen yenilenir. Düzeye bakarak iki depoyu ayırt edemezsin.

Bundan iki sonuç çıkar. Birincisi, bir sistemin ne kadar zorlandığı düzeyden okunamaz; parçalı fonksiyonları işleyen L02-P01-M02-D06'daki telafi tam budur, düzey sabit kalır çünkü sistem giderek daha çok çalışıyordur. İkincisi, bozulma önce akışta görünür, düzeyde sonra. Çıkan akış saatte 200'den 180'e düşerse depo saatte 20 litre dolmaya başlar ve göstergedeki fark ancak birkaç saat sonra dikkat çekecek büyüklüğe ulaşır; tek bir düzey ölçümü bu yüzden geç bir bilgidir.

Kartın son cümlesi dersin pratik çıktısıdır: düzeyden akışa geçmek ek bilgi gerektirir. Depo örneğinde bu ek bilgi borudaki sayaçtı. Biyolojik bir havuzda böyle bir sayaç çoğu zaman yoktur ve akış, zaman içinde tekrarlanan ölçümlerden ya da dinamik testlerden çıkarılır.

Bir düzey değişiminin üç açıklaması

Kandaki bir maddenin ölçüldüğünü düşünelim; sayılar öğretim içindir, gerçek bir maddeye ait değildir. Üç litrelik bir hacimde 30 birim madde varsa ölçülen konsantrasyon 30 ÷ 3 = 10 birim bölü litredir. Bir sonraki ölçümde 12 çıkıyor. Bu yükselmenin en az üç açıklaması var ve üçü de aynı sayıyı üretir.

Birinci açıklamada giren akış artmıştır: üretim ya da alım hızlanmış, havuzdaki miktar 36 birime çıkmıştır ve 36 ÷ 3 = 12 olur. İkinci açıklamada giren hiç değişmemiş ama çıkan yavaşlamıştır; atılım azaldığı için yine 36 birim birikmiş ve yine 12 ölçülmüştür. Üçüncü açıklama en çok atlanandır: madde miktarı 30 birimde kalmış ama hacim 2,5 litreye inmiştir. Sonuç 30 ÷ 2,5 = 12, yani akışlar hiç değişmeden düzey yüzde yirmi yükselmiştir.

Konsantrasyon bir orandır ve oranı okurken paydaya bakmak gerekir; oranların paydasını işleyen L02-P01-M01-D02'deki kural burada havuzun hacmi olarak geri döner. Payda görünmüyorsa aranır. Üç açıklamayı ayıran şey ölçümün kendisi değil, ölçüme eklenen başka bilgidir.

Uzaklaştırma yavaşlayınca

Birçok biyolojik havuzda çıkan akış sabit değildir, havuzda ne kadar madde varsa onunla orantılıdır: çok varken çok, az varken az çıkar. Bunu çıkan = k × düzey biçiminde yazabilirsin; k, havuzun saatte ne kadarlık bir kesrinin uzaklaştırıldığını söyler. Kararlı durumda giren çıkana eşit olduğu için giren = k × düzey, yani düzey = giren ÷ k olur. Depo diliyle, saatte 200 litre giriş ve k = 0,25 ise düzey 200 ÷ 0,25 = 800 litreye oturur.

Şimdi girişe hiç dokunmadan yalnız uzaklaştırmayı yarıya indir, k = 0,125 olsun. Yeni kararlı düzey 200 ÷ 0,125 = 1600 litre, yani öncekinin iki katıdır. Giriş aynı kaldığı hâlde düzey iki katına çıktı; yalnız düzeye bakan biri bunu "daha çok giriyor" diye okuyabilir.

Kart ile hesap aynı şeyi söylüyor. Uzaklaştırma kapasitesi kişiden kişiye değiştiği için, aynı giriş bir kişide 800'e, ötekinde 1600'e oturabilir. Düzey, giriş ile kapasitenin birlikte ürünüdür ve ikisinden hangisinin farklı olduğunu tek başına söylemez.

Klinik gerçeklik

Bir düzey ölçümüyle karşılaştığında önce ölçtüğün şeyin bir havuz mu yoksa bir akış mı olduğunu birimden oku. Düzey sabitse, bunun hareketsizlik değil giren ile çıkanın eşitlenmesi olduğunu hatırla ve akışların ne durumda olduğunu sor. Düzey değiştiyse değişimin girenden mi, çıkandan mı, yoksa paydadaki hacimden mi geldiğini sor. Devir hızını da düzeyden okuyamayacağını unutma.

Bu soruların üçüncüsü dersin ölçütüdür ve tek bir ölçümle cevaplanamaz. Cevaba zaman içinde tekrarlanan ölçümlerle, akışı doğrudan gösteren ek bilgilerle ya da hacmin değişip değişmediğini söyleyen verilerle yaklaşılır. O bilgi yoksa dürüst yorum, üç açıklamanın hâlâ açık olduğunu söylemektir.

Kendini sına

1. Havuz ile akışı ayır. Depo örneğinde hangisi hangisi ve birimleri ne?
2. Saatte 300 litre girip 180 litre çıkan bir depoda, beş saatte düzey ne kadar değişir?
3. Sıfırdan başlayıp dört saatte saatte 400 litreye düzgünce çıkan akışın birikimini birer saatlik dilimlerle alttan ve üstten tahmin et. Tam değer kaç?
4. Kararlı durumun merkezi cümlesini yaz. 800 litrelik bir depodan saatte 100 litre geçiyorsa devir süresi kaç saattir?
5. B rozetli ilk kartın pratik çıktısı ne? Depo örneğinde "ek bilgi" neydi?
6. Üç litrede 30 birim olan bir maddenin hacmi 2 litreye inerse, madde miktarı değişmeden konsantrasyon kaç olur?
7. Giriş saatte 200 litre, k = 0,5 ise kararlı düzey kaçtır? k yarıya inerse ne olur?
8. "Ölçüm sabitse sorun yok" neden yanlış?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste giren ile çıkanın eşitlendiği noktayı, yani eğrinin düzleştiği yeri gördün. Sıradaki derste düzleşen başka bir tür noktaya bakacağız: bir eğrinin tepesine ya da çukuruna, en yüksek ve en düşük değere. O derste türevin tepede neden sıfıra indiği hesaplanıyor ve daha zor bir soru açılıyor. Birden çok sonlanım aynı anda izlendiğinde "en iyi" nokta tek başına bir hesap sonucu olmaktan çıkıyor.