Türev sezgisi

Açılış sahnesi

Bir aile sağlığı merkezinde öğleden sonra, kolundan arı sokan bir çocuk gözlemde. Hemşire, sokmanın çevresindeki kızarıklığın sınırını her saat başı kalemle işaretliyor ve çapını cetvelle ölçüp çizelgeye yazıyor: birinci saatte 0,8 cm, ikincide 2,8, üçüncüde 5,4, dördüncüde 8,0. Dördüncü ölçümden sonra annenin sorusuna şöyle cevap veriyor: "Büyüme yavaşlıyor." Anne rahatlıyor, çünkü duyduğu cümle "iyileşiyor".

Oysa çizelgeye bakınca kızarıklık hâlâ büyüyor. Üçüncü saatten dördüncüye çap 8,0 − 5,4 = 2,6 cm arttı ve bir sonraki saatte de artacak. Yavaşlayan şey kızarıklığın kendisi değil, büyümenin hızı; hemşirenin cümlesi doğru, annenin anladığı yanlış. Bu ders o ayrımı sayılarla kuruyor ve türev, tam olarak bu ayrımın adı.

Bu derste ne olacak

Önce ortalama değişim hızını hesaplayacak, aralığı bir saatten yarım saate ve altı dakikaya daraltarak anlık hıza, yani türeve yaklaşacağız. Sonra türevin işaretinin ve büyüklüğünün ne söylediğini, kızarıklığın tepe yaptığı anda türevin neden sıfıra indiğini göreceksin. Ardından açılıştaki cümlenin cevabı olan ikinci türeve ve dönüm noktasına geleceğiz. Son bölüm, gerçek ölçümlerde türev almanın gürültüyü nasıl büyüttüğünü hesaplıyor.

Sıfır noktası

Anlık ve ortalama değişim dersinde ortalama hızı iki ölçüm arasındaki farkın aradaki süreye bölünmesi olarak tanımlamıştın. Buna kısaca Δy ÷ Δx dersin: Δy çaptaki değişim, Δx geçen süre. Birimi de bu bölmeden gelir; santimetre bölü saat, yani cm/saat. Boyut analizi dersindeki kontrol burada da çalışır: bir hızın birimi her zaman ölçülen niceliğin birimi bölü bağımsız değişkenin birimidir ve bir türev "cm" diye bildiriliyorsa bir yerde hata vardır.

Türev bu yüzden bir formülden önce bir bakıştır. Eğriye bir noktada yeterince yaklaştığında eğri düzleşir ve o küçük düz parçanın eğimi türevi verir. Doğrusal fonksiyon dersindeki yerel doğrusallığın doğrudan sonucu budur (L02-P01-M02-D02): düzgün her eğri, dar bir pencerede neredeyse bir doğrudur.

Mekanizma

Aralığı daraltmak

İkinci saatteki anlık hızı bulmak istiyorsun. Elinde yalnız saat başı ölçümler varsa, ikinci ile üçüncü saat arasındaki ortalama hızı hesaplarsın: (5,4 − 2,8) ÷ 1 = 2,6 cm/saat. Bu, bir saatlik aralığın ortalamasıdır ve o saatin içinde hız değişmiş olabilir. Hemşire yarım saat sonra da ölçseydi çap 4,0625 cm olacaktı ve ortalama hız (4,0625 − 2,8) ÷ 0,5 = 2,525 cm/saat çıkacaktı.

Aralığı altı dakikaya, yani 0,1 saate indir. Çap 2,1 saatte 3,0429 cm ve ortalama hız (3,0429 − 2,8) ÷ 0,1 = 2,429 cm/saat. Üç tahmin sırayla 2,6, 2,525 ve 2,429; aralık daraldıkça sayılar bir değere doğru iniyor. O değer 2,4 cm/saat ve ikinci saatteki türev budur. Kuraldan doğrudan hesap da aynı sonucu verir, ama bu derste önemli olan formül değil, türevin nereden geldiği: aralığı daralttığın ortalama hızların yaklaştığı sayı.

İşaret, büyüklük ve tepe

Türevin işareti yönü söyler. Birinci saatten altıncıya kadar anlık hız pozitif ve kızarıklık büyüyor; yedinci saatte −2,1 cm/saat ve kızarıklık küçülüyor. Altıncı saatte hız sıfır. Bunu aralık daraltarak da görebilirsin: çap 5,9 saatte 10,7911, 6,1 saatte 10,7909 cm ve ortalama hız (10,7909 − 10,7911) ÷ 0,2 = −0,001 cm/saat, sıfırdan ayırt edilemeyecek kadar küçük. Eğri tepede ne yükselir ne alçalır ve teğeti yataydır. Maksimum ve minimum dersi (L02-P01-M03-D05) bu bağı ayrıntısıyla işleyecek ve tersinin neden her zaman doğru olmadığını da gösterecek.

Türevin işareti ise niceliğin kendisi hakkında hiçbir şey söylemez. Birinci saatte çap yalnız 0,8 cm ama 1,5 cm/saat hızla büyüyor; yedinci saatte çap 9,8 cm ama küçülüyor. Hangisi daha iyi durumda? Soru iki ayrı bilgiyi birbirine karıştırıyor.

Türevin büyüklüğü ise hızı söyler: üçüncü saatteki 2,7 cm/saat, birinci saatteki 1,5 cm/saatin neredeyse iki katı. İki eğriyi karşılaştırırken daha dik olan daha hızlı değişir, ama grafik okuma dersindeki uyarı burada da geçerli: dikliğin gözle algısı çerçevenin en–boy oranına bağlıdır. Eğim sayıyla okunur.

İkinci türev: açılıştaki cümle

Tablonun son sütununa bir kez daha bak. Anlık hız birinci saatten üçüncüye 1,5'ten 2,7'ye çıkıyor, sonra 2,4'e, 1,5'e ve sıfıra iniyor. Hızın kendisi de değişiyor ve bu değişimin de bir hızı var.

Üçüncü saatten dördüncüye hız 2,7'den 2,4'e düştü; ortalama olarak (2,4 − 2,7) ÷ 1 = −0,3; hız her saat 0,3 cm/saat azalıyor ve birimi cm/saat². İkinci türev negatif, birinci türev hâlâ pozitif: çap artıyor ve artış yavaşlıyor. Hemşirenin cümlesi tam olarak buydu. Dört durum mümkün ve her biri iki işaretin bir bileşimi: artan ve hızlanan (ikisi de pozitif), artan ve yavaşlayan (birincisi pozitif, ikincisi negatif), azalan ve hızlanan (ikisi de negatif), azalan ve yavaşlayan (birincisi negatif, ikincisi pozitif). "Yavaşlıyor" sözcüğü bir yön bildirmez, bir ivme bildirir.

Kurgu kızarıklıkta dönüm noktası üçüncü saatte. Oraya kadar hız artıyor, oradan sonra azalıyor; bu yüzden en hızlı büyüme de tam dönüm noktasında, 2,7 cm/saat. Tepe ise üç saat sonra geliyor. Dönüm noktası bir tepe değildir ve ikisi sık karıştırılır: dönüm noktasında nicelik hâlâ artıyor, yalnız artış yavaşlamaya başlıyor.

Kartın son cümlesi bu dersin gerekçesi: ayrım öğrenilebiliyor, ama kendiliğinden gelmiyor.

Türevin gerçek verideki sınırı

Buraya kadar çap bir kurala uyuyordu ve her değer kusursuzdu. Gerçek bir cetvelle, kalemle çizilmiş bir sınırı ölçmek ise hata taşır. Her ölçümün ±0,1 cm kadar yanılabildiğini varsay. İki ölçüm arasındaki farkta hata en kötü durumda 0,2 cm olur. Bir saatlik aralıkta bu hız tahminine 0,2 ÷ 1 = 0,2 cm/saat hata ekler; gerçek hız 2,4 iken bu küçük bir pay.

Aralığı 0,1 saate daraltınca aynı 0,2 cm'lik hata 0,2 ÷ 0,1 = 2 cm/saatlik bir hıza dönüşür, yani ölçmeye çalıştığın 2,4 cm/saatle neredeyse aynı büyüklükte. Kusursuz eğride aralığı daraltmak seni gerçeğe yaklaştırıyordu. Gürültülü veride aynı daraltma hatayı büyütüyor: bölen küçüldükçe paydaki küçük hata büyük bir hıza dönüşüyor.

Pratik sonuç, bir hız tahmininin düzey tahmininden daha geniş bir belirsizlikle okunması gerektiğidir ve grafiklerde bu belirsizlik çoğu zaman çizilmez. Anlık ve ortalama değişim dersinin örnekleme aralığı kararı da buradan yeniden görünüyor: aralık, yakalamak istediğin değişim kadar dar, ölçüm hatasını büyütmeyecek kadar geniş seçilir.

Klinik gerçeklik

Bir değişim bildirimiyle karşılaştığında önce sorulan şeyin düzey mi, yön mü olduğunu ayır. "Değer yüksek" ile "değer yükseliyor" iki ayrı bilgidir ve birinden ötekine geçilemez. Ardından türevin işaretine bak, yani niceliğin artıp artmadığına; sonra ikinci türeve, yani artışın hızlanıp hızlanmadığına. Açılıştaki anne üçüncü adımı birinci adım sandı: "yavaşlıyor" sözcüğünü "azalıyor" diye duydu.

Son soru, önündeki sayının bir hız tahmini olup olmadığıdır. Öyleyse ölçümlerin ne sıklıkta yapıldığını ve ölçüm hatasının ne kadar olduğunu sor, çünkü sık ölçümden hesaplanan bir hız, aynı ölçümlerin kendisinden çok daha oynaktır. Hemşirenin çizelgesinde bir saatlik aralık anlamlı bir hız veriyordu; altı dakikalık aralık ise çoğunlukla cetvelin hatasını ölçerdi.

Kendini sına

1. Türevi bir eğim olarak tanımla. Doğrusal fonksiyon dersindeki hangi fikrin sonucu?
2. İkinci saatteki ortalama hızı 1, 0,5 ve 0,1 saatlik aralıklarla yeniden hesapla. Sayılar hangi değere yaklaşıyor ve birimi ne?
3. Çizelgede birinci ve yedinci saati düzey ile yön bakımından karşılaştır.
4. Altıncı saatte türev neden sıfır? 5,9 ve 6,1 saatlerindeki çaplarla göster.
5. Dört durumu yaz. Hemşirenin cümlesi hangisi ve anne onu hangisi sandı?
6. Dönüm noktası ile tepeyi ayır. Kurgu kızarıklıkta ikisi arasında kaç saat var?
7. Ölçüm hatası ±0,2 cm olsaydı 0,1 saatlik aralıkta hız tahminine en kötü durumda ne kadar hata eklenirdi? (0,4 ÷ 0,1 = 4 cm/saat.)
8. B rozetli kartın son cümlesi bu dersin neden var olduğunu nasıl açıklıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste bir eğrinin her noktasındaki eğimi okudun: nicelik ne yönde ve ne hızla değişiyor. Sıradaki derste aynı eğrinin altına bakacaksın. Hız bilindiğinde, bir aralık boyunca biriken toplam da hesaplanabilir ve bu toplam, eğri altındaki alandır. Orada tepe değeri ile toplam birikimin iki ayrı soru olduğunu göreceksin: tepesi altı kat yüksek bir eğri ile alçak ve uzun bir eğrinin altındaki alan eşit çıkabilir.