Doz–yanıt grafikleri

Açılış

Bir araştırma laboratuvarında teknisyen, hücre kültürü plakasının yedi sütununa artan düzeyde bir uyaran ekliyor: birinci sütuna 1 birim, ikinciye 2, sonra 4, 8, 16, 32 ve 64. Ertesi sabah her sütunda yanıt veren hücrelerin yüzdesini okuyor ve noktaları grafiğe işliyor. İlk iki sütun arasında yanıt 20'den 33'e sıçrarken son iki sütun arasında 89'dan 94'e zar zor kıpırdıyor. Aynı "iki katına çıkarma" işlemi, eğrinin bir yerinde çok şey, başka bir yerinde neredeyse hiçbir şey değiştirmiyor.

Bu bir uygulama görevi ve modülün sekiz dersi bu tek eğrinin üzerinde buluşuyor. Önce eğrinin biçimini elle hesaplayacak, sonra dört okuma sorusu kuracak, en sonunda da kurgu bir grafiği söküp neyin okunabildiğini ve neyin okunamadığını ayıracaksın. Süre yaklaşık kırk dakika.

Eğrinin biçimi

Açılıştaki noktalar basit bir kuraldan geliyor: yanıt = 100 × x ÷ (4 + x). Buradaki 100, yanıtın ulaşabileceği üst sınır; 4 ise yanıtın bu sınırın yarısına ulaştığı maruziyet düzeyi. Kontrol et: x = 4 için 100 × 4 ÷ 8 = 50. x = 1 için 100 × 1 ÷ 5 = 20, x = 2 için 200 ÷ 6 ≈ 33,3, x = 16 için 1600 ÷ 20 = 80, x = 64 için 6400 ÷ 68 ≈ 94,1.

Şimdi maruziyeti her bölgede iki katına çıkar. 1'den 2'ye geçiş yanıtı 20'den 33,3'e, yani 13,3 puan artırıyor. 4'ten 8'e geçiş 50'den 66,7'ye, 16,7 puan. 16'dan 32'ye geçiş 80'den 88,9'a, 8,9 puan. 32'den 64'e geçiş ise yalnız 5,2 puan. Aynı katlanma, eğrinin ortasında en çok, üst ucunda en az kazanç veriyor ve yüksek bölgede her yeni katlanma bir öncekinden daha azını getiriyor.

Parçalı fonksiyon dersindeki iki terim burada yeniden görünüyor. Eğrinin üst ucu bir doygunluk bölgesi: maruziyet artmaya devam ediyor, yanıt neredeyse durmuş. Alt ucu ise bir eşik gibi görünüyor: yanıt düşük ve yavaş başlıyor, sonra hızlanıyor. Bu formülde gerçek bir eşik yok, ama grafik eşikli bir sistemden gelmiş gibi okunabiliyor ve iki durumu birbirinden ayırmak ancak alt bölgede yeterince ölçümle mümkün. Buradan dersin ilk sonucu çıkıyor: "daha çok, daha iyi" cümlesi eğrinin yalnız orta bölgesinde geçerli; alt uçta yanıt küçük, üst uçta kazanç tükenmiş.

Yatay eksen neden logaritmik

Aynı yedi noktayı önce doğrusal bir eksene yerleştir. 0 ile 64 arasındaki eksende ilk dört nokta, yani 1, 2, 4 ve 8, sol kenarda eksenin sekizde birine sıkışıyor ve yanıtın 20'den 66,7'ye çıktığı bütün hareket orada bir yığın gibi görünüyor. Geri kalan uzun bölümde eğri neredeyse yatay. Grafiğe bakan biri bilgi taşıyan bölgeyi göremiyor.

Aynı noktaları logaritmik eksene koyduğunda her katlanma eşit bir adım kaplıyor: 1'den 2'ye, 32'den 64'e aynı uzunluk. Eğri o zaman tanıdık S biçimini alıyor ve ortası 4'te duruyor. Bir simetri de ortaya çıkıyor: ortadan iki katlanma aşağıdaki 1'de yanıt 20, iki katlanma yukarıdaki 16'da 80; ikisi de 50'den 30 puan uzakta. Logaritma dersinde gördüğün kural bu: logaritmik eksende eşit görünen iki aralık eşit miktar farkı değil, eşit kat farkı taşır. Eksen etiketine bakmadan eğrinin dikliği yorumlanamaz.

Dört okuma

Bir — eğri kimin?

Bir doz–yanıt eğrisi tek bir kişinin değil, bir grubun ortalama davranışını çiziyor. Açılıştaki plakada bile her nokta binlerce hücrenin ortalaması; bir insan grubunda her nokta farklı kişilerin ortalaması. Gruptaki yayılım eğrinin kendisinde görünmüyor.

Bu yüzden ilk soru, eğrinin kimde kurulduğudur. Eğrinin çıkarıldığı grup, onu okuyan kişiyi kapsamıyor olabilir; yarıya ulaşma düzeyi 4 olan bir ortalama, bazı kişilerde 2, bazılarında 8 olan bireysel eğrilerin karışımından da çıkabilir.

İki — dikliğin anlamı

Eğrinin dik olması ilişkinin güçlü olduğu anlamına gelmiyor, küçük maruziyet farklarının büyük yanıt farkı ürettiği anlamına geliyor. Bunun pratik karşılığı bir belirsizlik. Maruziyeti ±1 birim hatayla bildiğini düşün. Orta bölgede, 3 ile 5 arasında, yanıt 42,9 ile 55,6 arasında değişiyor: 12,7 puanlık bir belirsizlik. Üst bölgede, 31 ile 33 arasında, yanıt 88,6 ile 89,2 arasında: yalnız 0,6 puan.

Aynı ±1 birimlik hata, dik bölgede yirmi kattan fazla daha büyük bir sonuç farkına dönüştü. Yatık bölgede ise ters bir sorun var: yanıt maruziyet hakkında neredeyse hiçbir şey söylemiyor. Ters fonksiyon dersindeki fikirle, platoda yanıttan geriye doğru maruziyeti okumaya çalışmak pratikte işe yaramıyor.

Üç — plato ne söylüyor

Plato, yanıtın üst sınırına yaklaşıldığını söylüyor. Sınırın nerede olduğunu gösteriyor ama neden orada olduğunu göstermiyor: kapasite dolmuş olabilir, zincirdeki başka bir basamak sınırlayıcı hâle gelmiş olabilir. Grafik bu iki açıklamayı ayırt etmiyor.

Plato bir güvenlik bilgisi de değil. İstenen yanıtın platoya girmesi, başka eğrilerin de orada durduğu anlamına gelmiyor. Maruziyet artmaya devam ederken istenen yanıt yerinde sayabilir ve başka bir yanıt yükselmeye devam edebilir; bu bizi son okumaya götürüyor.

Dört — tek eğri yetmiyor

Bir yanıt eğrisi tek başına karar bilgisi vermiyor, çünkü her uygulamanın birden çok eğrisi var: istenen yanıt için bir eğri, istenmeyen etkiler için ayrı eğriler. Kurgu örneğe ikinci bir eğri ekle: aynı üst sınır, ama yarıya ulaşma düzeyi 32. Maruziyet 8'de istenen yanıt 66,7 iken istenmeyen etki 100 × 8 ÷ 40 = 20. Maruziyet 16'ya çıkınca istenen yanıt 80'e, istenmeyen etki ise 1600 ÷ 48 ≈ 33,3'e çıkıyor. İstenen yanıt 13,3 puan kazanırken istenmeyen etki 13,3 puan kazandı.

Bu örnekte iki eğrinin ortaları 4 ile 32, yani 32 ÷ 4 = 8 kat, logaritmik eksende üç katlanma uzakta. İkinci eğrinin ortası 8'de olsaydı mesafe tek bir katlanmaya inerdi ve maruziyet 8'de istenen yanıt 66,7 iken istenmeyen etki 50 olurdu. Bu dersin merkezî fikri bu hesaptan çıkıyor: bir eğriye bakarak karar verilemez, karar iki eğri arasındaki mesafeyle ilgilidir. Yarar ile zararın birlikte tartılması fikrinin grafik hâli bu; tek başına yarar eğrisi yararın bedelini göstermiyor.

Kartın notu bir aşırı yorumu engelliyor. Doz–yanıt örüntüsünün görülmesi nedensel bir ilişkiyi destekler, görülmemesi ise onu çürütmez; eğri üst uçta düzleşmiş ya da U biçimli olabilir.

Uygulama — bir eğriyi sök

Aşağıdaki grafik kurgudur ve üzerinde sayı yok. Okurken yukarıdaki dört soruyu ve grafik okuma dersindeki kontrol sırasını birlikte kullan.

Grafik açıklaması

Yatay eksen: uygulanan miktar, logaritmik ölçek.

Dikey eksen: yanıt oranı, yüzde.

Eğri: S biçimli, alt bölgede düz, orta bölgede dik, üst bölgede plato.

Noktalarda hata çubukları var; türü belirtilmemiş.

Grafik altında: "Yanıt, uygulanan miktarla birlikte artmaktadır."

Görev: Bu grafikte ne okunabiliyor, ne okunamıyor? Her okunamayan şey için nedenini bir cümleyle yaz.

Çözüm

Okunabilenler kısa bir liste: alt bölgede yanıtın yavaş başladığı, orta bölgenin dik olduğu, üst bölgede bir platonun bulunduğu ve ilişkinin doğrusal olmadığı. Bunların hepsi eğrinin biçiminden geliyor ve eksen logaritmik olduğu için bölgeler birbirinden ayrı görünüyor.

Okunamayanlar daha uzun. Hata çubuğunun türü yazılmadığı için belirsizliğin büyüklüğü bilinmiyor; grafik okuma dersinde gördüğün gibi standart sapma, standart hata ve güven aralığı aynı çubukla çizilebilir ve çubukların örtüşmesine bakıp fark kararı verilemez. Kaç gözlem olduğu yazmıyor. Eğrinin kimde ölçüldüğü belirtilmemiş, bu yüzden aktarılabilirliği bilinmiyor.

Üç eksik daha var. Grafik ortalamayı çiziyor, bireysel yayılımı çizmiyor; ikinci kanıt kartının söylediği gibi aynı miktara verilen yanıt kişiden kişiye değişiyor. Yalnız tek bir eğri var, dolayısıyla eğriler arası mesafe hakkında hiçbir bilgi yok ve grafik bir yarar–zarar sorusunu cevaplayamıyor. Son olarak eğrinin gözlenen aralığın dışında ne yaptığı bilinmiyor; doğrusal fonksiyon dersindeki dışdeğerleme uyarısı burada da geçerli.

Geriye grafik altındaki cümle kalıyor: "Yanıt, uygulanan miktarla birlikte artmaktadır." Bu cümle eğrinin yalnız orta bölgesi için doğru. Alt bölgede artış çok küçük, platoda neredeyse sıfır; kurgu eğride 32'den 64'e katlanma yalnız 5,2 puan getirmişti. Açıklama, grafiğin üç bölgesinden birini bütününe genellemiş. Sonuçta altı eksik ve bir aşırı genelleme buldun, üstelik eğrinin kendisi doğru çizilmiş.

İkinci görev — kendi eğrin

Bir ilişki grafiği bul; doz–yanıt eğrisi olması gerekmiyor, bir büyüme eğrisi ya da yaşa göre bir ölçüm grafiği de olur. Önce grafik okuma dersindeki kontrol sırasını uygula: eksen etiketleri, birimler, ölçek türü, başlangıç noktası, neyin çizildiği ve belirsizlik gösterimi.

Sonra bu dersin dört sorusunu ekle: eğri kimin, diklik ne söylüyor, plato var mı ve kaç eğri var? Mümkünse eğrinin üzerinde iki katlanma seç, biri alt ya da orta bölgede, biri üst bölgede, ve her birinin yanıtı kaç puan değiştirdiğini kabaca oku. Son adımda grafiğin yanındaki açıklama cümlesini al ve grafiğin hangi bölgesi için doğru olduğunu yaz. Bu son adım çoğu zaman bir uyuşmazlık buluyor.

Modülün kapanışı

Dokuz derste tek bir soruyu işledik: iki nicelik arasındaki ilişki hangi biçimde? Doğrusal fonksiyon her yerde aynı eğimi, üstel fonksiyon her adımda aynı katı, logaritma katlanmaların sayısını, güç yasaları bir niceliğin ötekinin kuvvetiyle değişmesini anlattı. Parçalı fonksiyon ilişkinin bölgelere ayrılabildiğini, ters fonksiyon bir ilişkinin geriye doğru okunup okunamayacağını gösterdi; grafik okuma bütün bunların nasıl çizildiğini sordu.

Bu derste hepsi aynı eğride buluştu. Tek bir formül orta bölgede doğrusala yakın davrandı, logaritmik eksende S biçimini aldı, alt ucunda eşiğe benzedi, üst ucunda doygunluğa ulaştı ve platoda tersinden okunamaz oldu. Modülün ortak bulgusu şu: biçim bir ayrıntı değil, iddianın kendisidir. Aynı yedi noktaya doğrusal, parçalı ya da doygunluklu bir model yaklaşık olarak uydurulabilir ve üç model gözlenen aralığın dışında çok farklı öngörülerde bulunur.

Bu derste hep iki nokta arasındaki kazancı hesapladın: 1'den 2'ye 13,3 puan, 32'den 64'e 5,2 puan. Ama eğrinin belirli bir noktasındaki dikliği, yani o andaki değişimin kendisi, iki nokta arasındaki ortalamadan farklı bir soru. Sıradaki modül ilişkilerin biçiminden değişimin kendisine geçiyor ve ilk dersi bu ayrımla açılıyor: iki ölçüm arasındaki ortalama değişim ile tek bir andaki anlık değişim ve iki noktanın aradaki yol hakkında neyi gizlediği (L02-P01-M03-D01).