Grafik okuma

Açılış sahnesi

Bir aile hekimliği toplantısında perdeye iki sütun yansıyor. Soldaki sütun bir semt polikliniğinde ölçülen açlık kan şekeri ortalamasını, sağdaki komşu semtteki polikliniğin ortalamasını gösteriyor; her birinde yirmi beş kişi ölçülmüş. Sağdaki sütun belirgin biçimde daha uzun ve tepelerindeki küçük çubuklar birbirine hiç değmiyor. Salondaki herkes aynı şeyi düşünüyor: iki semt arasında açık bir fark var.

Eksenin kenarındaki küçük yazıları okuyan tek kişi başka bir şey görüyor. Dikey eksen sıfırdan değil 90'dan başlıyor, ortalamalar 100 ve 106 ve çubukların altında "ortalama ± standart hata" yazıyor. Aynı veri başka üç kararla çizilseydi salon bambaşka bir izlenimle ayrılacaktı. Bu ders, bir grafiğin sana gösterdiği izlenimi, o izlenimi üreten kararlardan ayırmayı öğretiyor.

Bu derste ne olacak

Önce bir grafiğe bakarken izlenimden önce yapılacak kontrollerin sırasını kuracağız. Sonra izlenimi değiştiren üç sunum kararına geçeceğiz ve eksen kesmenin görsel oranı ne kadar büyüttüğünü elle hesaplayacağız. Ardından grafiklerde en çok yanlış okunan öğeye, hata çubuğuna geleceğiz: standart sapmayı standart hataya çevireceğiz ve iki aralığın örtüşmesinin neden "fark yok" demek olmadığını sayıyla göstereceğiz. Son bölümde bir grafiğin hiç söylemediklerini toplayacağız.

Sıfır noktası

Bir tabloda her sayıya tek tek bakarsın ve "bu ne kadar?" diye sorarsın. Grafikte ise izlenim bir anda gelir: yükseliyor, düşüyor, fark var, fark yok. Bu hız grafiğin gücü, ama aynı zamanda zayıflığı, çünkü izlenim etiketler okunmadan oluşuyor. Bir kez oluştuktan sonra etiketlere bakmak onu nadiren düzeltiyor; göz ilk gördüğüne tutunuyor.

Bu sıranın tek bir amacı var: izlenimi, izlenim oluşmadan önce denetlemek. Açılıştaki salonda altı kontrolün dördü yapılmadı. Başlangıç noktasına bakılmadı, çubuğun ne çizdiği okunmadı ve sonuç, verinin değil çizim kararlarının ürünü olan bir kesinlik duygusu oldu.

Mekanizma

İzlenimi değiştiren üç karar

İlk karar eksenin başlangıç noktası. Aynı toplantıda gösterilen bir önceki slaytta aynı polikliniğin iki yıllık ortalaması vardı: geçen yıl 95, bu yıl 100. Eksen 90'dan başladığı için sütun boyları 95 − 90 = 5 ve 100 − 90 = 10 birim çizilmiş. Gözün gördüğü oran 10 ÷ 5 = 2, yani bu yılın sütunu geçen yılınkinin iki katı. Gerçek oran ise 100 ÷ 95 ≈ 1,05; artış yüzde beş dolayında. Eksen sıfırdan başlasaydı iki sütun neredeyse eşit boyda duracaktı.

Bu her zaman bir çarpıtma değil. Bazı ölçümlerde sıfır anlamsızdır ve dar bir aralık göstermek, önemli olan küçük değişimi görünür kılar; vücut sıcaklığını sıfırdan başlayan bir eksende izlemek her ateşi silerdi. Ayırt edici olan, kesmenin belirtilip belirtilmediği. Eksende bir kırılma işareti ya da açık bir başlangıç değeri varsa okuyucu oranı kendisi düzeltebilir; yoksa gördüğü iki katı veriye bağlar.

İkinci karar ölçek türü. Logaritma dersinde gördüğün gibi logaritmik eksende her on kat aynı uzunlukta bir adım kaplar, bu yüzden büyük değişimler küçük görünür. Doğrusal eksende ise katlanarak büyüyen bir sürecin erken aşamaları sakin görünür, sonra eğri birden dikleşir. İki eksen türü de kendi yanlış okumasını üretiyor ve hangisinin kullanıldığı ancak etiketten öğreniliyor.

Üçüncü karar en–boy oranı. Aynı veri, geniş ve alçak bir çerçevede yataya yakın, dar ve yüksek bir çerçevede dik görünür. Eğim algısı doğrudan çerçevenin biçimine bağlı ve bu bilgi hiçbir eksende yazmıyor. Üç kararın ortak noktası, hiçbirinin veriyi değiştirmemesi, hepsinin izlenimi değiştirmesi.

Ne çizilmiş

İzlenimi belirleyen ikinci mesele, çizilen şeyin ham veri mi yoksa ondan türetilmiş bir değer mi olduğu. Düşen bir eğri, niceliğin azaldığını da gösterebilir, artış hızının yavaşladığını da; ikisi çok farklı bilgilerdir ve başlık çoğu zaman bunu ayırmaz. Birikimli bir grafik ise hiçbir zaman düşmez. Orada düşüş olmaması bir bulgu değil, birikimin tanımıdır.

Üçüncü sık karışma mutlak sayı ile oran arasında. L02-P01-M01-D02'nin sorusu burada da geçerli: payda ne? Bir semtte 40, ötekinde 20 yüksek şeker vakası görülmesi, birinci semtte 4.000, ikincisinde 1.000 kişi yaşıyorsa ters bir tablo verir: 40 ÷ 4.000 = 0,01 ile 20 ÷ 1.000 = 0,02, yani ikinci semtte oran iki kat. Üç karışmanın da çözümü aynı soru: dikey eksende tam olarak ne yazıyor?

Hata çubuğu: en çok yanlış okunan öğe

Açılıştaki sütunların tepesindeki küçük çubuklar üç farklı şeyden biri olabilirdi ve üçünün genişliği birbirinden çok farklı. Aynı ortalamanın çevresine çizilen çubuğun ne anlattığı, çubuğun kendisinden okunamaz.

Şimdi açılıştaki veriyi kullanalım. Her poliklinikte standart sapma 10 ve kişi sayısı 25. Standart hata, standart sapmanın kişi sayısının kareköküne bölünmesiyle bulunur: √25 = 5 ve 10 ÷ 5 = 2. Yani aynı grafik, standart sapma çubuğuyla çizilirse her ortalama ± 10, standart hata çubuğuyla çizilirse ± 2 uzanıyor. Çubuklar arasındaki fark 10 ÷ 2 = 5 kat ve bu fark tamamen çizim kararından geliyor; veri aynı yirmi beş kişi.

Aynı iki çizimi poliklinikler için yan yana koy. Standart sapma çubuklarıyla birinci poliklinik 90 ile 110, ikincisi 96 ile 116 arasına uzanır ve çubuklar büyük ölçüde üst üste biner. Standart hata çubuklarıyla birincisi 98 ile 102, ikincisi 104 ile 108 arasında kalır ve aralarında boşluk açılır. Salondaki "çubuklar birbirine değmiyor" izlenimi, çizene standart hatayı seçtiren karardan doğmuştu. Kişi sayısı 100 olsaydı standart hata 10 ÷ √100 = 1 olacak, çubuk daha da daralacaktı; standart sapma ise yine 10 kalacaktı. Bir ortalama, etrafındaki yayılımın hangi ölçüyle çizildiği yazılmadan okunamıyor.

Örtüşen aralıklar, anlamlı fark

Kartın son cümlesinin bir de öteki yüzü var ve onu en iyi sayı gösteriyor. Güven aralığı (%95), ortalamadan yaklaşık 1,96 standart hata aşağı ve yukarı uzanır: 1,96 × 2 = 3,92. Birinci poliklinik için aralık 96,08 ile 103,92, ikincisi için 102,08 ile 109,92. İki aralık 102,08 ile 103,92 arasında örtüşüyor ve grafiğe bakan biri kolayca "fark kesin değil" der.

Oysa sorulması gereken, iki ortalama arasındaki farkın kendi belirsizliği. İki bağımsız grubun farkının standart hatası, iki standart hatanın karelerinin toplamının kareköküdür: √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,83. Farkın kendisi 106 − 100 = 6. Farkın %95 aralığı 1,96 × √8 ≈ 5,54 aşağı ve yukarı uzanır, yani 0,46 ile 11,54 arasında. Aralık sıfırı içermiyor; iki aralık örtüştüğü hâlde fark %5 düzeyinde anlamlı.

Bunun nedeni basit bir eşitsizlik. İki aralığın yarı genişliklerini toplarsan 3,92 + 3,92 = 7,84 elde edersin, ama farkın aralığının yarı genişliği yalnız 5,54, çünkü karelerin toplamının kökü, sayıların toplamından küçüktür. Bu yüzden iki aralığın hafifçe örtüşmesi farkın rastlantı olduğunu göstermez. L01-P06-M01-D04'te alt gruplar için kurulan ilke burada grafik hâlinde karşına çıkıyor: iki grubun ayrı ayrı durumu, aralarındaki farkın sınanmasının yerine geçmez. Ve L01-P04-M02-D02'nin söylediği gibi bir tahmin belirsizliğiyle birlikte okunur; grafikte o belirsizliğin hangi belirsizlik olduğu da yazmak zorunda.

Görünmeyenler

Bir grafiğin söylemedikleri çoğu zaman söylediklerinden fazladır. Kaç gözlem olduğu gizlenmiş olabilir; açılıştaki slaytta "yirmi beş kişi" bilgisi yalnız konuşmacının ağzındaydı. Eksen aralığının dışında kalan gözlemler hiç görünmez, eksik ölçümler ise çizgiyle birleştirilerek sessizce kapatılabilir.

En sinsi eksik zaman ekseninde saklanır. Yatay eksende eşit aralıklarla dizilmiş dört ölçüm, gerçekte birinci ay, ikinci ay, üçüncü ay ve on ikinci ay yapılmış olabilir. Son iki nokta arasındaki dokuz ay, grafikte bir aylık adımla aynı uzunlukta çizilince eğim olduğundan dokuz kat dik görünür. Bu yüzden yatay eksenin etiketlerine, dikey eksenin etiketleri kadar dikkat etmek gerekiyor.

Klinik gerçeklik

Bir grafikle karşılaştığında, gözün bir izlenime varmadan önce, veri okuma sırasını baştan sona yürüt. Önce eksen etiketlerini ve birimleri oku, sonra ölçeğin doğrusal mı logaritmik mi olduğuna bak. Dikey eksenin nerede başladığını bul; başlangıç sıfır değilse sütun boylarından değil sayılardan oran hesapla, açılıştaki 10 ÷ 5 = 2 izlenimini, gerçek oran olan 100 ÷ 95 ≈ 1,05 ile değiştir.

Ardından belirsizlik göstergesinin hangisi olduğunu ara. Yazmıyorsa çubuklar okunamaz; yazıyorsa standart hata ile standart sapma arasında kişi sayısının karekökü kadar fark olduğunu hatırla. İki grubun karşılaştırıldığı yerde örtüşmeye bakıp karar verme; fark ve onun aralığı bildirilmiş mi, ona bak. Son olarak kaç gözlem olduğunu ve neyin görünmediğini sor. Bu sıra birkaç saniye sürer, ama izlenim oluştuktan sonra yapılan aynı kontrol çok daha zayıf çalışır.

Kendini sına

1. Veri okuma sırasını yaz. Amacı ne?
2. Dikey eksen 80'den başlıyor, iki sütun 90 ve 100 değerinde. Gözün gördüğü oran ve gerçek oran kaç?
3. Kesilmiş eksen her zaman çarpıtma mı? Ayırt edici olan ne?
4. Standart sapması 12, kişi sayısı 36 olan bir grubun standart hatası kaç? SD çubuğu SE çubuğunun kaç katı?
5. Standart sapma, standart hata ve güven aralığını ayır. Hangisi örneklem büyüdükçe küçülüyor?
6. İki grubun standart hataları 3 ve 4. Farkın standart hatası kaç? (İpucu: √(9 + 16).)
7. B rozetli ikinci kartın verdiği kural ne? Örtüşen iki %95 aralık neden farkın anlamsız olduğunu göstermiyor?
8. Vakadaki dört grafik neden dördü de doğru?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülde fonksiyonları tek tek kurdun; bu derste de onların nasıl çizildiğini ve çizimin izlenimi nasıl yönlendirdiğini sordun. Sıradaki ders hepsini tek bir S biçimli eğrinin üzerinde topluyor: doz–yanıt grafikleri. Orada aynı ölçüm hatasının, eğrinin dik bölgesinde neden büyük, yatık bölgesinde neden küçük bir sonuç farkına dönüştüğünü hesaplayacaksın. Bu derste kurduğun okuma sırası ve hata çubuğu uyarısı, o eğriyi sökerken ilk kullanacağın araçlar olacak.