Ters fonksiyon

Açılış sahnesi

Sabahın erken saatinde bir laboratuvarın kalite sorumlusu, gece çalışan bir analizörün kayıtlarına bakıyor. İki numune yan yana duruyor. Birincisinde cihazın ölçtüğü ışık sinyali 61 ve rapora "derişim 28" yazılmış. İkincisinde sinyal 99 ve rapora bir sayı değil, "100'den büyük" yazılmış.

Cihaz aslında hiçbir derişimi doğrudan görmüyor; gördüğü tek şey numuneden geçen ışığın ürettiği sinyal. Rapordaki her sayı o sinyalden geriye doğru hesaplanmış bir sonuç. Birinci numunede bu geri dönüş tek bir cevap verdi, ikincisinde vermedi ve cihaz dürüst davranıp bir sınır yazdı. Bu ders, çıktıdan girdiye dönmenin ne zaman mümkün olduğunu ve mümkün olmadığında elde kalan sayının neden bilgi taşımadığını anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce ters fonksiyonu ve onun var olması için gereken tek koşulu kuracağız. Sonra doğrusal bir kalibrasyon eğrisini elle tersine çevirip açılıştaki 28'in nereden geldiğini hesaplayacağız. Ardından eğrinin doygunluğa girdiği bölgeye geçip aynı sinyal hatasının orada derişimde yirmi kat büyük bir hataya nasıl dönüştüğünü göreceğiz. Son bölümde tek yönlü olmayan, U biçimli ilişkilere bakacak ve bunların hem geriye okunamadığını hem de doğrusal bir modelde nasıl görünmez olabildiğini sayıyla göstereceğiz.

Sıfır noktası

Bir örneğini logaritma dersinde görmüştün: on'u üç kez çarpınca bin elde ediliyordu ve logaritma bu yolu tersinden yürüyüp binden üçe dönüyordu (L02-P01-M02-D04). En basit hâli bir doğrudur. y = 2 × x + 5 kuralı x = 10 için 25 verir; tersine gitmek için işlemleri ters sırayla geri alırsın, önce beşi çıkarır sonra ikiye bölersin: (25 − 5) ÷ 2 = 10. Her adım tek bir cevap verdiği için yol iki yönde de açıktır.

Ters fonksiyonun var olmasının tek koşulu budur. Parçalı fonksiyon dersindeki kurgu ilişkide 70 ile 80 uyaranları aynı yanıtı, 40'ı veriyordu. Yanıt 40 ise uyaran neydi sorusunun cevabı 70 de olabilir, 80 de, 70'in üstündeki herhangi bir değer de; orada bire birlik bozulmuştur ve ters fonksiyon yoktur. Yine de bir hesap makinesine "40'tan geri dön" dersen bir sayı üretebilir. O sayı bir bilgi değil, olmayan bir bilginin kılığıdır.

Mekanizma

Kalibrasyon: tersini kurmak

Bir ölçümde bilinen şey sinyal, aranan şey miktardır ve aradaki ilişki önceden kurulur. Laboratuvar derişimi bilinen standart numuneler hazırlar, her birinin sinyalini ölçer ve iki sütunu bir eğriye bağlar. Bilinmeyen bir numune geldiğinde sinyali ölçülür ve bu eğri üzerinden derişime çevrilir. Yani kalibrasyon önce ileri yönde bir fonksiyon kurar, ölçüm ise her seferinde onun tersini kullanır.

Açılıştaki analizörün standartları şöyle olsun: derişim 0, 10, 20 ve 40 iken sinyal 5, 25, 45 ve 85. Bu dört nokta tek bir doğru üzerinde, sinyal = 2 × derişim + 5. Birinci numunenin sinyali 61, dolayısıyla derişim (61 − 5) ÷ 2 = 28. Sonucu ileri yönde denetleyebilirsin: 2 × 28 + 5 = 61. Eğimin 2 olması, her birimlik derişim farkının iki birimlik sinyal farkı ürettiği, yani cihazın bu bölgede derişimi iyi "gördüğü" anlamına gelir.

Bu aralıkta sinyaldeki küçük bir oynama derişimi de az oynatır. Sinyal 61 yerine 60 ya da 62 okunsaydı derişim (60 − 5) ÷ 2 = 27,5 ile (62 − 5) ÷ 2 = 28,5 arasında kalırdı. Bir birimlik sinyal hatası yarım birimlik derişim hatası demek, çünkü derişim hatası sinyal hatasının eğime bölümüdür: 1 ÷ 2 = 0,5.

Doygunluk: eğim sıfıra yaklaşırken

Standartlar 40'ın üstünde devam ettirildiğinde eğri bükülüyor. Derişim 60'ta sinyal 93, 80'de 97, 100'de 99, 150'de de 99 ölçülmüş. Aralıklardaki eğimleri hesapla: 40 ile 60 arasında (93 − 85) ÷ 20 = 0,4, 60 ile 80 arasında (97 − 93) ÷ 20 = 0,2, 80 ile 100 arasında (99 − 97) ÷ 20 = 0,1. Yüzün üstünde eğim sıfır. Cihazın okuyucusu artık doluyor ve fazladan madde fazladan ışık üretmiyor.

Şimdi bu bölgede bir numunenin sinyali 98 olsun. 80 ile 100 arasındaki doğru parçası üzerinden derişim 80 + (98 − 97) ÷ 0,1 = 90 çıkar. Ama sinyal bir birim oynarsa ne olur? 97 okunsaydı sonuç 80, 99 okunsaydı 100 olurdu. Aynı bir birimlik sinyal hatası artık 1 ÷ 0,1 = 10 birimlik derişim hatasına dönüşüyor; doğrusal bölgedeki yarım birimin yirmi katı. Bire birlik teknik olarak hâlâ geçerli, ama ters fonksiyon o kadar dik ki pratikte ayırt etme gücü kalmamış.

Yüzün üstünde ise bire birlik tümüyle bozuluyor. Derişim 100 de 150 de aynı sinyali, 99'u veriyor. Açılıştaki ikinci numune tam bu durumda: 99'dan geriye dönen tek bir yol yok ve cihazın "100'den büyük" yazması, eğrinin burada bir sayı söyleyemeyeceğini bilmesinden geliyor. Doz-yanıt grafiklerinde platoda yanıttan geriye maruziyet okunamamasının kökü de aynı yerdedir. Eğrinin kurulduğu aralığın dışında kalan bir sinyal ise ayrı bir sorun taşır: doğrusal fonksiyon dersindeki dışdeğerleme gibi, eğrinin hiç sınanmadığı bir bölgeye tahmin taşımak demektir.

Kartın notu bir okuma kuralı veriyor: sınır bildirimi bir sayının yerine geçmez, bir sayının olmadığını söyler. "100'den büyük" yazan bir raporu 100 diye okumak, bilgiyi olduğundan kesin göstermektir; gerçek değer 110 de olabilir, 300 de. Bu ayrım, bir tedavinin "değerlendirilemez" bulunmasının "etkisiz" bulunmasıyla aynı şey olmamasına benzer. İki durumda da eksik olan cevap değil, cevabı verecek bilgidir.

Tersi olmayan ilişkiler

Doygunlukta çıktı sabitleniyordu. Daha sert bir durum da var: çıktının önce bir yönde, sonra ters yönde değiştiği ilişkiler. Sağlıkta bazı nicelikler hem çok düşükken hem çok yüksekken aynı sonucu verir, ortada ise farklı bir sonuç.

Kurgu bir örnek kur: çıktı = (x − 50)² ÷ 10 + 10. x = 50'de çıktı en düşük değerine, 10'a iner. x = 40'ta (40 − 50)² ÷ 10 + 10 = 100 ÷ 10 + 10 = 20 bulursun, x = 60'ta da (60 − 50)² ÷ 10 + 10 = 20. Çıktı 20 okunduğunda girdi 40 da olabilir 60 da, ve bu iki değer ilişkinin iki ayrı kolunda duruyor. Ayrım ancak başka bir bilgiyle yapılır: ikinci bir ölçüm, öykü ya da değerin zaman içinde hangi yöne gittiği.

İkinci sonuç "daha az her zaman daha iyi" ya da "daha çok her zaman daha iyi" cümlelerinin burada geçersiz olmasıdır, çünkü en iyi konum uçlarda değil ortadadır. Üçüncü sonuç daha incedir ve modellemeyle ilgilidir. Aynı kuraldan x = 30, 40, 50, 60 ve 70 için çıktılar 50, 20, 10, 20 ve 50. Sol yarıda eğim (10 − 50) ÷ (50 − 30) = −2, sağ yarıda +2. Bu beş noktaya tek bir düz çizgi uydurursan iki yarının eğimleri birbirini götürür ve çizgi düz çıkar: uçlar arasındaki eğim (50 − 50) ÷ (70 − 30) = 0. Güçlü bir ilişki, doğrusal bir modelin gözünde "ilişki yok" olarak görünür.

Değişken ve denklem dersinde her denklemin, yazılmasa da, ilişkinin biçimini varsaydığını görmüştün. Biçim körlüğü bu varsayımın bedelidir. Bir çalışma "ilişki bulunmadı" dediğinde hangi biçimin denendiğini sorman gerekir; yalnız düz bir çizgi denendiyse, U biçimli bir ilişki hiç aranmamış demektir.

Kartın son cümlesi fazla yorumu engelliyor. Bir ilişkinin U biçimli görünmesi bir gözlemdir, açıklama değil. Düşük uçtaki artış, örneğin, zaten hasta olan kişilerin o değere inmiş olmasından da gelebilir; biçim sana neyin nedeni olduğunu değil, geriye nasıl okunamayacağını söyler.

Klinik gerçeklik

Bir laboratuvar sonucunu okurken önce onun bir ters işlemin ürünü olduğunu hatırla. Sonuç çalışma aralığının içindeyse eğrinin hangi bölgesinden geldiğini düşün: doğrusal bölgede küçük bir sinyal oynaması küçük bir derişim farkı yaratır, doygunluğa yakın bölgede aynı oynama sonucu onlarca birim kaydırabilir. Rapor bir sınır bildiriyorsa, "100'den büyük" gibi, onu bir sayıya çevirmeye çalışma; orada eğri artık bire bir değildir.

Bir ilişkiyi ters yönde kullandığında, yani bir sonuçtan bir duruma gitmeye çalıştığında, ilişkinin tek yönlü olup olmadığını sor. U biçimli bir ilişkide aynı değer iki ayrı durumdan gelebilir ve ayrım ancak ek bilgiyle yapılır. Son olarak bir çalışma "ilişki yok" dediğinde modelin biçimini sor. Düz bir çizgi, U biçimli bir ilişkiyi sıfır eğimle gömebilir; bulunamamak ile olmamak arasındaki fark çoğu zaman bu tek sorudadır.

Kendini sına

1. Ters fonksiyon nedir ve var olmasının tek koşulu ne? Parçalı fonksiyon dersindeki "yanıt 40" sorusu bu koşulu nasıl bozuyor?
2. sinyal = 2 × derişim + 5 eğrisinde sinyal 45 ve 73 ise derişimler kaç?
3. Aynı doğrusal eğride bir birimlik sinyal hatası kaç birimlik derişim hatasına dönüşür? Neden?
4. Doygunluk bölgesinde 80 ile 100 arasındaki eğim 0,1. Sinyal 97,5 ise derişim kaç? Bir birimlik sinyal hatası burada ne kadar derişim hatasına dönüşür?
5. Derişim 100 ve 150 aynı sinyali veriyorsa rapor ne yazmalı? B rozetli ilk kart bunu nasıl açıklıyor?
6. çıktı = (x − 50)² ÷ 10 + 10 kuralında çıktı 50 ise x hangi iki değeri alabilir?
7. Biçim körlüğü nedir? Beş noktalı U örneğinde düz çizginin eğimi neden sıfır çıktı?
8. İkinci kanıt kartı U biçimli bir görünümün nedensel yorumunu neden sınırlıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste her şeyi bir eğrinin üzerinden okudun: doğrusal bölgede dik, doygunlukta yatık, U biçimli ilişkide iki kollu. Ama aynı eğri farklı çizildiğinde başka bir şey söylüyor gibi görünebilir. Dikey eksen sıfırdan değil 90'dan başlarsa küçük bir fark iki kat büyük görünür, bir noktanın çevresindeki çubuk da standart sapmayı mı standart hatayı mı gösterdiğine göre çok farklı bir kesinlik anlatır. Sıradaki derste bir grafiğe bakarken izlenimden önce hangi kontrollerin yapılacağını, veri okuma sırasını kuracağız (L02-P01-M02-D08).