Parçalı fonksiyon

Açılış sahnesi

Pazartesi sabahı bir aile hekimliği biriminde iki laboratuvar raporu yan yana duruyor. İkisi de açlık kan şekeri, ikisi de aynı laboratuvardan, aynı yöntemle. İlkinde sonuç 99 ve satır sade siyah. İkincisinde sonuç 100 ve yanına kalın bir "Y" harfi basılmış: yüksek.

İki sayı arasındaki fark tek birim. Aynı kişinin iki ayrı sabah verdiği ölçümler bile çoğu zaman bundan fazla oynar. Yine de raporlardan biri sessiz, öteki alarm veriyor. Bu ders o harfin nereden geldiği hakkında: bir ilişkinin her yerde aynı kuralla işlemediği, bazı çizgilerin doğada, bazılarının ise bizim tanımımızda durduğu.

Bu derste ne olacak

Önce parçalı fonksiyonu elle kuracağız: bir laboratuvar değerini kategorilere ayıran bir kural yazıp iki yakın değeri içinden geçireceğiz. Sonra kategori değil sayı üreten parçalı bir ilişkiye geçip aynı artışın farklı yerlerde ne kadar farklı sonuç verdiğini hesaplayacağız. Ardından biyolojide eşiklerin en yaygın kaynağına, tampon ve telafiye bakacağız. Son bölüm en sonuçlusu: bir eşiği kimin koyduğu ve çizgi oynadığında hiç kimse değişmeden "hasta sayısının" nasıl değiştiği.

Sıfır noktası

Şimdiye kadar gördüğün fonksiyonlar tek bir kuralla çalışıyordu. Doğrusal fonksiyonda her birim artış aynı değişimi veriyordu; üstel fonksiyonda her adım aynı katı. Parçalı fonksiyon bu tekliği bırakır ve girdinin hangi aralıkta olduğuna bakıp ona göre kural seçer.

Doğrusal fonksiyonu işleyen L02-P01-M02-D02'de bir uyarı vardı: eğrisel bir ilişki, yeterince dar bir pencerede düz görünür. Bu üç terim o uyarının neden gerektiğini açıklıyor. Gerçek ilişki çoğu zaman bölgelere ayrılmıştır ve bir doğru yalnız tek bir bölgenin içinde geçerlidir. Pencereyi bir eşiğin üstünden geçirirsen doğru kırılır.

Mekanizma

Kategori üreten bir kural

Açılıştaki rapor aslında parçalı bir fonksiyon çalıştırıyor. Açlık kan şekeri için yaygın kullanılan sınıflamada birim miligram/desilitredir ve kural şöyle yazılır: değer 100'ün altındaysa "normal", 100 ile 125 arasındaysa "bozulmuş açlık glukozu", 126 ve üstündeyse "diyabet aralığı". Girdi bir sayı, çıktı üç kelimeden biri. Kuralın iki eşiği var, 100 ve 126, ve bu iki nokta sayı doğrusunu üç bölgeye ayırıyor.

Şimdi iki yakın değeri kuraldan geçir. 99 birinci bölgeye düşüyor, 100 ikinci bölgeye. Aralarındaki mesafe 100 − 99 = 1 birim. Aynı ikinci bölgenin öbür ucundaki 125'i düşün: 100 ile arasındaki mesafe 125 − 100 = 25 birim, yani yirmi beş kat daha büyük. Buna rağmen 100 ile 125 aynı etiketi alıyor, 99 ile 100 farklı etiket. Kategori, sayıların birbirine ne kadar yakın olduğunu izlemiyor; yalnız çizginin hangi yanında durduklarını söylüyor.

Bir şeyi açıkça söyleyelim: bu sınıflamada tek bir ölçümle tanı konmaz, tanı için ölçüm tekrarlanır. Ama raporun kenarındaki harf ilk ölçümde basılır ve okurun gözü önce harfe gider.

Sayı üreten bir kural

Parçalı fonksiyon her zaman kelime üretmez. Aşağıdaki örnekte çıktı bir sayı ve her bölgenin kendi eğimi var.

Bir sistemin yanıtını y, uyaranı x olarak düşün. x 50'ye kadar yanıt yavaş artıyor: y = 0,2 × x. 50 ile 70 arasında sistem devreye giriyor ve eğim 1,5'e çıkıyor: y = 10 + 1,5 × (x − 50). 70'in üstünde sistem kapasitesine ulaşıyor ve yanıt 40'ta sabit kalıyor. Kuralın iki eşiği var ve üçüncü bölge bir doygunluk bölgesi.

Elle hesaplayalım. x = 40 iken birinci bölgedeyiz: 0,2 × 40 = 8. x = 60 iken ikinci bölgedeyiz: 10 + 1,5 × 10 = 25. x = 80 iken üçüncü bölgedeyiz ve yanıt 40. Parçaların eşiklerde birbirine bağlandığını da kontrol edebilirsin: x = 50'de birinci kural 0,2 × 50 = 10 veriyor, ikinci kural da 10'dan başlıyor. x = 70'te ikinci kural 10 + 1,5 × 20 = 40 veriyor, doygunluk da 40.

Aynı artış, farklı sonuç

Şimdi her üç bölgede uyaranı aynı miktarda, 10 birim artır. 30'dan 40'a giden birinin yanıtı 6'dan 8'e çıkıyor: artış 2. 50'den 60'a giden birinin yanıtı 10'dan 25'e çıkıyor: artış 15. 70'ten 80'e giden birinin yanıtı 40'ta kalıyor: artış sıfır. Aynı müdahale, üç kişide üç ayrı sonuç.

Oran ve orantı dersinde kurulan orantılılık varsayımı burada çöküyor. Orantı yalnız tek bir bölgenin içinde ve o bölge doğrusalsa geçerli. Bir çalışma bu üç kişiyi birlikte inceleyip ortalama etkiyi bildirseydi, (2 + 15 + 0) ÷ 3 ≈ 5,7 bulurdu. Bu sayı üç kişiden hiçbirinin yaşadığını anlatmıyor: biri neredeyse hiç yanıt vermedi, biri ortalamanın iki buçuk katından fazlasını verdi, biri hiç kıpırdamadı.

Bunun okuma karşılığı basit bir soru: bir etki büyüklüğü bildirildiğinde, katılımcılar hangi başlangıç düzeyindeydi? Alt grup analizlerini işleyen L01-P06-M01-D04, başlangıç şiddetini sık aranan alt gruplar arasında sayıyordu. O ders alt grup bulgusuna neden temkinle bakılacağını anlatıyordu; bu ders, gerçek bir farkın hangi mekanizmayla doğabileceğini gösteriyor. İkisi birlikte okununca hem "bu fark rastlantı olabilir" hem de "bu fark gerçek olabilir" sorusu masada kalıyor.

Tampon ve telafi

Biyolojide eşiklerin en yaygın kaynağı tampon kapasitesidir. Bir sistem dışarıdan gelen değişimi belirli bir aralıkta emer ve ölçülen değer sabit kalır, çünkü sistem telafi ediyordur. Kapasite dolduğunda ölçülen değer birden değişmeye başlar. Kurgu örnekteki doygunluğun tersi gibi düşünebilirsin: orada girdi artarken çıktı durmuştu, burada zorlanma artarken ölçüm duruyor.

Kan asitliği bunun tanıdık bir örneği. Kana asit yüklendiğinde tampon sistemleri onu karşılar ve solunum hızlanarak karbondioksiti uzaklaştırır; pH bir süre normale yakın kalabilir. Açlık kan şekerinde de benzer bir tablo vardır: dokular insüline daha az duyarlı hâle geldiğinde pankreas daha çok insülin salgılayarak şekeri bir süre aralığın içinde tutabilir. Her iki durumda ekrandaki sayı sakin, arkadaki sistem ise giderek daha çok çalışıyor.

Bu yüzden sabit kalan bir ölçüm, sabit kalan bir sistem anlamına gelmez. Tek bir ölçüm sistemin o anki konumunu gösterir, yedeğin ne kadar kaldığını göstermez. Zaman içinde tekrarlanan ölçümler ve telafiyi yürüten ikinci bir göstergeye bakmak bu boşluğu kısmen kapatır.

Eşiği kim koydu

Şimdi dersin daha sonuçlu yarısına geliyoruz. Bazı eşikler gerçektir: kurgu örnekteki 70 eşiği gibi, sistemin davranışı o noktada gerçekten değişir. Bazı eşikler ise tanımdır: sürekli bir niceliği "normal" ve "yüksek" diye ayırmak için çizilmiş bir çizgi. Açılıştaki 100 bu ikinci türden.

Tanımsal eşiğin ilk sonucunu hesapla gördün: çizginin iki yanındaki iki kişi birbirine, aynı kategorideki uzak bir kişiden çok daha benziyor. İkinci sonucu da bir hesapla görelim. Açlık kan şekerinde bozulmuş açlık glukozunun alt sınırı her yerde aynı değil; bazı sınıflamalar 110 kullanır, bazıları 100. Kurgu bir grupta on kişinin değerleri şöyle olsun: 92, 97, 101, 104, 106, 108, 112, 118, 123 ve 131.

Alt sınır 110 iken ara kategoriye yalnız 112, 118 ve 123 düşüyor: on kişiden üçü. Alt sınır 100'e indiğinde 101, 104, 106 ve 108 de ara kategoriye geçiyor ve sayı yediye çıkıyor. Oran 3 ÷ 10 = 0,3'ten 7 ÷ 10 = 0,7'ye yükseldi. Bu arada kimsenin kanında tek bir molekül değişmedi; değişen yalnız çizginin yeri. Üçüncü sonuç da buradan görünüyor: 101 ile 123 aynı etiketi aldığında aralarındaki yirmi iki birimlik fark kategoriden okunamıyor ve bu derece bilgisi atılmış oluyor.

Kartın son cümlesi bir dengeyi koruyor. Bir noktada karar verilmesi gerekir ve karar bir çizgi çizmeyi gerektirir: tedaviye başlanacak mı, ölçüm ne zaman tekrarlanacak, kim izleme listesine alınacak. Kategori bu işler için gerekli bir araç. İstenen, çizginin nereden geçtiğinin ve neden oradan geçtiğinin açıkça yazılması.

On kişilik kurgu grup bu kartın küçük bir modeli. Üçten yediye çıkan sayı bir salgın değil, bir tanım değişikliği. Referans aralığını işleyen L02-P01-M01-D08'deki ayrım da aynı aileden: raporun kenarındaki aralık bir dağılımın tarifidir, bir sağlık ölçütü değildir.

Klinik gerçeklik

Parçalı bir ilişkiyle karşılaştığında önce kaç bölge olduğunu ve kırılma noktalarının nerede durduğunu sor. Ardından her eşik için onun doğada mı tanımda mı olduğunu sor; tanımdaysa kesme değerinin nasıl seçildiğini ve başka bir kaynakta aynı çizginin kullanılıp kullanılmadığını ara. Bu ikinci soru dersin ayırt edici sorusu, çünkü ondan sonraki her yorum onun cevabına göre değişir.

Üçüncü soru hangi bölgede durduğun. Kurgu örnekte aynı on birimlik artış iki, on beş ya da sıfır birimlik yanıt verdi; bir önerinin sende ne yapacağı, senin nereden başladığına bağlı. Son soru ise sabit bir ölçümün arkasında çalışan bir telafi olup olmadığı. Laboratuvar raporunda bir harf gördüğünde sayıya, sayıyı gördüğünde eşiğe olan mesafesine, tek bir sayı gördüğünde de önceki ölçümlere bakmak bu dört sorunun gündelik hâli. Kendi sonuçlarının ne anlama geldiği ise hekiminle birlikte, bütün tabloya bakarak verilen bir karardır.

Kendini sına

1. Parçalı fonksiyon, eşik ve doygunluğu kendi cümlelerinle tanımla.
2. 99 ile 100 arasındaki fark kaç birim, 100 ile 125 arasındaki kaç birim? Hangi çift aynı kategoriye düşüyor ve bu neyi gösteriyor?
3. Kurgu ilişkide x = 45 ve x = 65 için yanıtı hesapla. Her birinin hangi bölgede olduğunu yaz.
4. Aynı kurgu ilişkide 20'den 30'a, 55'ten 65'e ve 75'ten 85'e çıkan üç kişinin yanıt artışlarını bul. Ortalamaları kimi tarif ediyor?
5. Başlangıç düzeyine bağımlılık nedir? Alt grup sorusuyla nasıl bağlantılı?
6. Gizli değişim nedir? Kan asitliği örneğinde ölçüm neden sakin kalabiliyor?
7. On kişilik grupta alt sınırı 105'e koysaydın ara kategoride kaç kişi olurdu?
8. B rozetli iki kart birlikte hangi dengeyi koruyor?

Bir sonraki derse köprü

Kurgu ilişkide 70 ile 80 aynı yanıtı, 40'ı verdi. Soruyu ters çevir: yanıt 40 ise uyaran neydi? Doygunluk bölgesinde bu sorunun tek bir cevabı yok. Sıradaki derste ters fonksiyonu ve onun var olması için gereken koşulu, bire birliği göreceksin. Bir laboratuvar cihazının ölçtüğü sinyali sonuca çevirirken tam bu ters yolu yürüdüğünü ve doygunluğun o yolu nerede kestiğini de orada göreceksin.