Logaritma

Açılış sahnesi

Gece yarısı bir acil serviste iki kan gazı sonucu yan yana duruyor. Aynı hastadan, iki saat arayla alınmışlar. İlkinde pH 7,40 yazıyor, ikincisinde 7,10. Sayılar birbirine o kadar yakın ki, tabloyu ilk kez gören biri "üç ondalık, pek bir şey değişmemiş" diyebilir.

Oysa kandaki asit miktarı iki saatte iki katına çıkmış. pH 7,40'ta her litre kanda yaklaşık 40 nanomol hidrojen iyonu var; pH 7,10'da yaklaşık 80. Ekrandaki 0,3'lük küçük fark, gerçekte bir ikiye katlanmayı taşıyor. Bu dersin konusu, küçük görünen bir farkın nasıl büyük bir kat anlamına gelebildiği: logaritma.

Bu derste ne olacak

Önce logaritmanın sorduğu soruyu elle, küçük sayılarla cevaplayacağız. Sonra onu bu kadar kullanışlı yapan tek özelliğe geleceğiz: çarpmayı toplamaya çevirmesi. Ardından pH gibi logaritmik tanımlanmış ölçekleri okumayı öğreneceksin. Son bölümde, logaritmanın bir veri kümesinin ortalamasını nasıl değiştirdiğini gerçek bir örnek üzerinden hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Bir önceki derste üstel fonksiyonu gördün: bir sayıyı kendisiyle tekrar tekrar çarptığında ne elde ettiğini soruyordu. On'u üç kez çarparsan bin elde edersin. Logaritma aynı ilişkiye ters taraftan bakar ve şunu sorar: bine ulaşmak için on'u kaç kez çarpmam gerekiyor? Cevap üç. Kısa yazımı log₁₀(1000) = 3.

Birkaç satırla alışalım. log₁₀(100) = 2, çünkü 10 × 10 = 100. log₁₀(1.000.000) = 6, çünkü altı tane on çarpılıyor. log₂(8) = 3, çünkü 2 × 2 × 2 = 8. Birden küçük sayılar da mümkün: log₁₀(0,01) = −2, çünkü yüze bölmek, on'a iki kez bölmek demek. Logaritma sana bir sayının kaç basamak büyüklükte olduğunu söyleyen bir sayaç gibi çalışır.

Mekanizma

Çarpmayı toplamaya çeviren araç

Logaritmanın bütün gücü tek bir kuraldan gelir: iki sayının çarpımının logaritması, logaritmalarının toplamıdır. 100 × 1000 = 100.000 işlemini düşün. Logaritmalar 2 ve 3; toplamları 5; ve gerçekten log₁₀(100.000) = 5. Bölme de aynı biçimde çıkarmaya döner: 1000'i 100'e bölmek, 3'ten 2'yi çıkarmaktır ve sonuç 1, yani 10.

Üçüncü kural bu ikisinin doğal devamı: bir sayının kuvvetini almak, logaritmayı o kuvvetle çarpmaya döner. 100'ün küpü bir milyondur ve log₁₀(100) = 2'yi üçle çarpınca 6 elde edersin. Üç kural aslında tek bir fikirdir: logaritma işlemleri bir basamak aşağı indirir. Çarpma toplamaya, bölme çıkarmaya, kuvvet alma çarpmaya dönüşür.

Bu indirgemenin pratik sonucu şurada görünür: çarpımsal büyüyen bir süreç, logaritmik eksende eşit adımlarla ilerler. Her saat ikiye katlanan bir bakteri kültürünü düşün. Sayılar 1.000, 2.000, 4.000, 8.000 diye büyür ve doğrusal bir grafikte giderek dikleşen bir eğri çizer. Aynı sayıların iki tabanlı logaritması ise her saat tam bir artar; dikey ekseni logaritmik yaptığında eğri düz bir çizgiye dönüşür ve eğimi doğrudan büyüme hızını verir.

Neden biyoloji logaritmayı bu kadar çok kullanıyor

Birinci sebep ölçüm aralığının genişliği. Kandaki bazı maddeler sağlıklı bir kişide birkaç birimde bulunurken hastalıkta binlerce kat artabilir; böyle bir aralığı doğrusal bir eksene sığdırmaya çalışırsan küçük değerler sıfırın dibinde üst üste biner. Logaritmik eksende ise her on kat, cetvelde aynı uzunlukta bir adım kaplar. Bir'den on'a gitmek ile bin'den on bine gitmek eşit mesafe olur.

İkinci sebep süreçlerin kendisinin çarpımsal olması. Hücre bölünmesi, laboratuvardaki seyreltme basamakları ve bir maddenin vücuttan belirli bir oranla atılması "her adımda şu kadar kat" diye işler. Onar kat seyreltilen bir numuneyi altı kez seyreltirsen bir milyonda bire inersin ve logaritma bu altı adımı doğrudan sayar. Üçüncü sebep algının da çoğu zaman katlarla çalışması: iki kat artan bir uyaran, başlangıç değeri ne olursa olsun benzer büyüklükte bir fark olarak hissedilir.

Açılıştaki pH tam olarak böyle bir ölçek. pH, hidrojen iyonu derişiminin on tabanlı logaritmasının eksi işaretlisi olarak tanımlanır; eksi işareti yüzünden asit arttıkça pH düşer. Bir pH birimi on katlık, 0,3 pH birimi ise yaklaşık iki katlık bir değişim demektir, çünkü log₁₀(2) yaklaşık 0,3'tür. pH'nın 7,40'tan 6,40'a inmesi "bir birimlik" değil, asitte on katlık bir artış olurdu. Bu yüzden böyle bir ölçekte küçük görünen her fark, önce "kaç kat?" sorusuyla okunmalı.

Logaritma ortalamayı değiştirir

Şimdi dersin en az bilinen ama belki en işe yarar bölümü. Bir aşı çalışmasında beş kişinin kanında antikor düzeyi ölçülmüş olsun. Antikorlar seyreltme basamaklarıyla ölçülür ve sonuç "titre" olarak raporlanır: 1:20, 1:40, 1:40, 1:80 ve 1:1280. Yani beş kişinin değerleri 20, 40, 40, 80 ve 1280.

Bu beş sayının sıradan ortalaması 1460'ın beşe bölümü, yani 292. Oysa beş kişiden dördünün değeri 80 ya da altında; 292, gruptaki neredeyse hiç kimseyi temsil etmiyor. Onu tek bir yüksek değer, 1280, yukarı çekmiş. Şimdi aynı değerleri logaritmayla ele alalım. Titreler iki katlık adımlarla ilerlediği için her değeri 20'nin kaç kez ikiye katlandığı olarak yazmak kolay: 20 sıfır katlanma, 40 bir, 80 iki, 1280 ise altı katlanma. Adım sayıları 0, 1, 1, 2 ve 6; ortalamaları 10'un beşe bölümü, yani 2.

İki katlanma ortalaması, 20'yi iki kez ikiye katlamak demektir: 20 × 2 × 2 = 80. Çıkan sayı geometrik ortalama, ve grubun tipik değerini sıradan ortalamadan çok daha iyi anlatıyor. Aşı çalışmalarında antikor sonuçlarının "geometrik ortalama titre" olarak raporlanmasının sebebi tam olarak bu.

İkisi arasındaki ilişki rastgele değildir: geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçük ya da ona eşittir. Bütün değerler aynıysa ikisi eşit çıkar; değerler yayıldıkça ve özellikle birkaç çok büyük değer eklendikçe aradaki fark açılır. Hangisinin doğru olduğu bir zevk meselesi değil, verinin yapısına bağlıdır. Toplanarak oluşan niceliklerde, örneğin boyda ya da vücut sıcaklığında, aritmetik ortalama uygundur. Katlarla değişen niceliklerde, yani titrelerde, oranlarda, büyüme hızlarında ve sağa uzanan kuyruklu dağılımlarda, geometrik ortalama tipik değeri daha iyi verir.

Titre örneğindeki 292 ile 80 arasındaki fark, bu kartın somut hâli. Bir makalede ya da raporda "ortalama" gördüğünde türü yazmıyorsa, aritmetik ortalama olduğunu varsaymak zorunda kalırsın ve veri çarpıksa bu varsayım seni yanıltabilir. Bu yüzden iki soruyu birlikte sormayı alışkanlık hâline getir: hangi ortalama, ve dağılım nasıl?

Logaritmik ölçeklerin bir bedeli de var ve dürüst olmak gerekiyor: insanlar onları doğrusal ölçekler kadar kolay okuyamıyor. Bir grafikte dikey eksen logaritmikse, çizgiler arasındaki eşit görünen mesafeler eşit farkları değil eşit katları gösterir ve eğitimli okurlar bile bunu zaman zaman gözden kaçırır.

Klinik gerçeklik

Bir ölçekle ya da bir ortalamayla karşılaştığında dört soru seni çoğu hatadan korur. İlki, eksenin ya da ölçeğin logaritmik olup olmadığı; pH, titreler ve basamaklı eksenlerde öyledir. İkincisi, bir birimlik farkın kaç kata denk geldiği; on tabanında bir birim on kat, 0,3 birim yaklaşık iki kattır. Üçüncüsü, raporlanan ortalamanın türü; yazılmamışsa sorman gerekir. Dördüncüsü, dağılımın çarpık olup olmadığı; çarpıksa tek bir ortalama tabloyu anlatmaya yetmez.

Dördüncü soru ileride, tanımlayıcı istatistiğin ele alındığı L02-P03 programında ortanca ve yayılım ölçüleriyle birlikte yeniden karşına çıkacak. Oraya giderken bu dersten götürmen gereken ilke şu: bir merkez ölçüsü, dağılım tarif edilmeden okunamaz.

Kendini sına

1. log₁₀(10.000) kaçtır? log₂(32) kaçtır? Her birini "kaç kez çarptım" diye açıkla.
2. 1000 × 10.000 işlemini logaritmalarla toplama olarak yap ve sonucu kontrol et.
3. pH 7,40'tan 7,10'a inmek, hidrojen iyonu derişiminde yaklaşık kaç kat değişim demek? pH 7,40'tan 6,40'a inmek?
4. Her saat ikiye katlanan bir süreç, dikey ekseni logaritmik bir grafikte nasıl görünür? Neden?
5. 10, 10, 10, 10 ve 1000 değerlerinin aritmetik ve geometrik ortalamasını hesapla. (İpucu: on tabanında logaritmalar 1, 1, 1, 1 ve 3.)
6. Boy ölçümleri için hangi ortalama uygundur, antikor titreleri için hangisi? Neden?
7. B rozetli kartın okuma sonucu ne? Titre örneği bu kartı nasıl somutlaştırıyor?
8. C rozetli kart neyi gösteriyor, neyi göstermiyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste bir eksenin logaritmik olmasının, katlanarak büyüyen bir süreci düz bir çizgiye çevirdiğini gördün. Sıradaki derste iki eksenin de logaritmik olduğu grafiklere geçiyoruz. Orada düz çizgi veren ilişkiler, bir niceliğin diğerinin kuvveti olarak değiştiği güç yasaları: bir küpün kenarını iki katına çıkardığında hacmi neden sekiz katına çıkıyor, ve bu basit geometri canlıların boyutlarını nasıl sınırlıyor (L02-P01-M02-D05).