Doğrusal fonksiyon

Açılış sahnesi

Bir günübirlik tedavi ünitesinde hemşire, bin mililitrelik bir serum torbasını infüzyon pompasına takıyor ve hızı saatte seksen mililitreye ayarlıyor. İkinci saatin sonunda pompanın ekranı torbada 840 mililitre kaldığını, beşinci saatin sonunda 600 mililitre kaldığını gösteriyor. Yanındaki stajyer iki sayıyı not ediyor ve bir çizgi çiziyor. Sonra aynı çizgiyi uzatıp on beşinci saati okuyor: torbada eksi 200 mililitre.

Stajyerin hesabı yanlış değildi; yanlış olan, hesabı nerede yaptığıydı. Torba on ikinci saatin ortasında boşalır ve pompa alarm verip durur. Çizgi boşalma anına kadar kusursuz çalışıyor, sonrasında ise fiziksel olarak imkânsız bir sayı üretiyor. Düz bir çizgi en basit ilişki gibi görünür ve tam da bu yüzden en fazla iddia taşıyan biçimdir: girdideki her birimlik artışın çıktıda her zaman aynı miktarda değişim ürettiğini söyler. Bu ders o iddiayı, iki parçasını ve iddianın nerede bittiğini anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce doğrusal fonksiyonun iki parçasını, eğimi ve kesme noktasını, pompa örneğinden elle hesaplayacağız. Sonra doğrunun taşıdığı sabit değişim iddiasını ve biyolojide bu iddianın bozulduğu yerleri göreceğiz. Ardından kurgu bir doygunluk eğrisi üzerinde dar bir pencerenin neden düz göründüğünü sayılarla kuracağız. Son bölümde en yaygın hataya, bir doğruyu gözlenen aralığın dışına taşımaya geleceğiz ve bunun iki biçimini aynı eğri üzerinde hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Bir doğruyu tanımlamak için iki sayı yeter ve her biri ayrı bir bilgi taşır. Harflerle yazınca y = a + b × x olur: b eğimdir, a kesme noktasıdır.

Pompa örneğinde eğimi iki okumadan hesaplarsın: çıktıdaki değişimi girdideki değişime bölersin. (600 − 840) ÷ (5 − 2) = −240 ÷ 3 = −80. Birimi mililitre bölü saat; eksi işareti torbadaki sıvının azaldığını söylüyor. Kesme noktasını bulmak için doğruyu sıfırıncı saate geri götürürsün: 840 + 2 × 80 = 1000. Sıfırıncı saat iki okumanın dışında kalıyor, yani bu da küçük bir dışarı taşıma; ama burada kesme noktası anlamlı, çünkü sıfırıncı saat gerçekten yaşandı ve torbanın etiketi onu doğruluyor: hemşire torbayı taktığında içinde bin mililitre vardı. Doğrunun tamamı artık tek satır: kalan hacim = 1000 − 80 × saat.

Mekanizma

Doğrunun iddiası: sabit değişim

Bir doğru çizmek, her yerde aynı eğimi iddia etmektir. Pompa için bu iddia doğru, çünkü pompa tam olarak bunu yapmak için tasarlandı: birinci saatte de onuncu saatte de seksen mililitre akıtıyor. Değişken ve denklem dersinin sıvı dengesi de aynı türden bir iddia taşıyordu. Denge eşittir alınan eksi çıkan denkleminde çıkan sabit tutulursa eğim 1'dir: alınan sıvı yüz mililitre arttığında denge de yüz mililitre artar, az içen bir hastada da çok içen bir hastada da (L02-P01-M02-D01).

Pompanın aksine vücut bu iddiayı her zaman tutmaz. Fazla sıvı alan bir böbrek idrar çıkışını artırır; yani çıkan terim sabit kalmaz ve sistem kendi çıktısına tepki verir. Biyolojide doğrusallığın bozulduğu üç yaygın durum var ve üçü de birbirine benzer biçimde çalışır. Doygunlukta sistemin kapasitesi dolduğunda ek girdi ek çıktı üretmez ve eğim sıfıra yaklaşır. Eşikte belirli bir düzeyin altında hiç etki yoktur, üstünde etki başlar ve eğim bir noktada sıçrar; parçalı fonksiyonu işleyen L02-P01-M02-D06 bu bölgeli ilişkileri ayrıntılı ele alıyor. Geri bildirimde ise sistem çıktısına göre girdiyi dengeler ve eğim işaret bile değiştirebilir.

Üçünde de doğru yanlış bir modeldir, ama tamamen yanlış değildir. Nedeni bu dersin en kullanışlı fikri.

Doğrusallık yerel olarak çalışır

Bunu sayıyla görmek için kurgu bir doygunluk eğrisi kur. Bir hücre zarındaki taşıyıcıların kapasitesinin yüzde kaçının kullanıldığı, dışarıdaki maddenin derişimine şöyle bağlı olsun: kullanım = 100 × x ÷ (x + 10). Burada x keyfi birimde derişim. Derişim 8 iken kullanım 100 × 8 ÷ 18 ≈ 44,4; derişim 12 iken 100 × 12 ÷ 22 ≈ 54,5. Derişim ne kadar artarsa artsın kullanım yüzde 100'e yaklaşır ama onu geçemez.

Şimdi eğimi farklı genişlikte pencerelerde hesapla. 8 ile 12 arasında eğim (54,5 − 44,4) ÷ 4 ≈ 2,5. Daha dar bir pencerede, 10 ile 11 arasında, eğim (52,4 − 50,0) ÷ 1 ≈ 2,4; iki pencere neredeyse aynı sayıyı veriyor. Ama 0 ile 40 arasındaki geniş pencerede eğim (80 − 0) ÷ 40 = 2,0. Dar pencerelerde eğim birbirine yakın, geniş pencerede belirgin biçimde farklı; eğri küçük bir bölgede doğru gibi davranıyor, büyük bir bölgede davranmıyor.

Bu, doğrusal modellerin neden bu kadar çok işe yaradığını açıklıyor: gerçek ilişki doğrusal olmasa bile, gözlenen aralık darsa doğru iyi bir yaklaşımdır. Aynı cümle sınırı da veriyor: aralık genişledikçe yaklaşım bozulur. Doğrusal model bir yanlış değil, geçerlilik aralığı sınırlı bir araçtır ve o aralık, bir önceki derste gördüğün her denklemin yazılmayan varsayımlarından biridir.

En yaygın hata: dışarı taşımak

Kurgu eğriye yalnız iki ölçüm aldığını düşün: derişim 8'de 44,4 ve 12'de 54,5. Bu iki noktadan geçen doğru, yuvarlanmış eğimle y = 24,4 + 2,5 × x olur. Aralığın içinde, derişim 10'da doğru 24,4 + 2,5 × 10 = 49,4 der; gerçek değer 50. Fark yarım puandan az ve içdeğerleme iyi çalışıyor, çünkü tahmin iki ölçümün arasında kalıyor.

Şimdi aynı doğruyu derişim 40'a uzat: 24,4 + 2,5 × 40 = 124,4. Kapasitenin yüzde 124'ü kullanılamaz; gerçek değer 80 ve yüzde 100'ü hiçbir derişim geçemez. Açılıştaki stajyerin eksi 200 mililitresi gibi, bu da fiziksel olarak imkânsız bir sayı. Doğru aynı formülle, aynı işlemle hesaplandı; tek fark, birinin veriye, ötekinin yalnız varsayıma dayanması.

Dışdeğerlemenin ikinci biçimi ters yöne gider: doğruyu sıfıra doğru uzatmak. Aynı doğrunun kesme noktası 24,4, yani "derişim sıfırken taşıyıcıların yüzde 24'ü kullanılıyor" diyor. Gerçekte dışarıda madde yokken kullanım sıfırdır. Pompada kesme noktasını torbanın etiketi doğruluyordu, burada ise onu doğrulayan hiçbir ölçüm yok; aynı sayı türü bir örnekte bilgi, ötekinde yanılgı. Bu biçim özellikle sinsidir, çünkü grafik onu görsel olarak davet eder: çizgi zaten ekranda sıfıra doğru gidiyor.

Kartın son cümlesi bir okuma alışkanlığı veriyor: bir grafikte veri noktalarının nerede bittiğine bak. Çizgi devam ediyorsa veri bitmiş olabilir. Kurgu eğride iki ölçüm 8 ile 12 arasındaydı; 40'taki ve 0'daki sayılar ekranda aynı çizginin parçası olarak görünse de hiçbir ölçüme dayanmıyordu.

Klinik gerçeklik

Bir doğrusal ilişki sunulduğunda önce eğimin birimini oku: mililitre bölü saat mi, puan bölü yıl mı? Birimi olmayan bir eğim, neyin neye göre değiştiğini söylemez. Sonra kesme noktasının anlamlı olup olmadığını sor: girdinin sıfır olması pompa örneğindeki gibi gerçek bir durum mu, yoksa doygunluk eğrisindeki gibi verinin çok dışında kalan bir tahmin mi? Boy, yaş ya da tansiyon gibi sıfır olamayan bir girdide kesme noktası yalnız çizgiyi yerine sabitleyen bir sayıdır ve tek başına yorumlanmaz.

Ardından veri noktalarının nerede bittiğine bak. Bir çalışma kırk ile altmış yaş arasındaki kişilerde bir ilişki kurduysa, seksen yaş için söylediği her şey dışdeğerlemedir; grafikte çizgi seksene kadar uzansa bile. Son olarak doğrusallığın o aralıkta sınanıp sınanmadığını sor. Bu dört sorunun en hızlısı ve en çok hata yakalayanı veri sınırı sorusu: stajyerin eksi 200 mililitresi de, taşıyıcıların yüzde 124'ü de o soruyla birkaç saniyede yakalanırdı.

Kendini sına

1. Bir doğru neyi iddia ediyor? Cümleyi yaz.
2. Bir pompa ikinci saatte torbada 700, altıncı saatte 400 mililitre gösteriyor. Eğimi ve kesme noktasını hesapla. Torba ne zaman boşalır ve doğru o andan sonra ne söyler?
3. Kesme noktası pompa örneğinde neden anlamlı, doygunluk eğrisinde neden değil?
4. Doğrusallığın bozulduğu üç durumu say ve her birinde eğime ne olduğunu yaz.
5. Kurgu eğride 10 ile 11 arasındaki eğimi 0 ile 40 arasındaki eğimle karşılaştır. Bu fark yerel doğrusallık hakkında ne söylüyor?
6. İçdeğerleme ile dışdeğerlemeyi ayır. Fark neye dayanıyor?
7. Dışdeğerlemenin iki biçimini yaz. Hangisi daha sinsi ve neden?
8. Vakadaki iki bölge arasında işlem farkı var mı? Asıl fark ne?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste her saat aynı miktarın eklendiği ya da çıkarıldığı bir ilişkiye baktın: pompa her saat seksen mililitre akıtıyordu, torbada ne kadar kalmış olursa olsun. Sıradaki ders, her adımda aynı miktarın değil aynı katın geldiği süreçleri ele alıyor. Orada eğim sabit kalmıyor, büyüklükle birlikte büyüyor; sabit kalan şey ikiye katlanma süresi. Doğrusal düşünmeye alışmış sezginin bu tür süreçlerde neden hep küçük tahmin yaptığını sayılarla göreceksin.