Değişken ve denklem

Açılış sahnesi

Gece nöbetinin sonunda bir dahiliye servisinde hemşire, yatan bir hastanın yirmi dört saatlik sıvı çizelgesini kapatıyor. Sol sütunda alınan sıvı toplamı 2400 mililitre, sağ sütunda idrar toplamı 1800 mililitre. Çizelgenin altındaki kutuya formülü yazıyor: denge eşittir alınan eksi çıkan. Sonuç artı 600. Hasta, kâğıt üzerinde, vücudunda sıvı biriktiriyor.

Ama hastanın gece boyunca ateşi vardı ve yatak çarşafı iki kez değiştirildi. Terle kaybedilen sıvı hiçbir sütunda yok, çünkü onu ölçen bir kap yok. Formül hesabı doğru yaptı; eksik olan şey formülün kendisindeydi. Bu ders denklemleri çözmekten çok, bir denklemin ne iddia ettiğini ve neyi sessizce dışarıda bıraktığını okumak hakkında.

Bu derste ne olacak

Önce değişkeni, sabiti ve denklemi tanımlayıp sıvı çizelgesinin denklemini iki farklı hasta için elle hesaplayacağız. Sonra bağımlı ve bağımsız değişkeni ayıracak ve hangisinin hangisine bağlı sayıldığının veriden değil, bir seçimden geldiğini göreceğiz. Ardından bir denklemin yazılı olmayan varsayımlarına ve denkleme girmeyen bir niceliğin sonucu nasıl tersine çevirebildiğine geleceğiz. Son bölümde bir denklemi çözmenin kuralına ve çözümü doğru cevabı bilmeden sınamanın iki yoluna bakacağız.

Sıfır noktası

Çizelgenin denklemini harflerle yazalım: D = A − İ. Burada D yirmi dört saatlik sıvı dengesi, A alınan sıvı, İ idrar miktarı; üçü de mililitre cinsinden. Birinci hasta için D = 2400 − 1800 = 600. İkinci bir hasta aynı gün 2000 mililitre almış ve 2100 mililitre idrar çıkarmış olsun: D = 2000 − 2100 = −100. Aynı denklem iki farklı girdiyle iki farklı yönde sonuç verdi; birinci hasta sıvı biriktiriyor, ikincisi kaybediyor görünüyor.

Bu kısa denklem bile bir iddia taşıyor. Sıvı dengesini belirleyen şeylerin yalnız alınan sıvı ve idrar olduğunu söylüyor. Bu bir gözlem değil, çizelgeyi tasarlayan kişinin yaptığı bir seçim.

Mekanizma

Bağımlı ve bağımsız değişken

Sıvı çizelgesinde denge çıktıdır, alınan ve çıkan sıvı girdilerdir. Burada yön bir sorun değildir, çünkü denge zaten bu iki sayının farkı olarak tanımlanmıştır. Ama çoğu denklemde durum böyle değildir. Hangi değişkenin bağımsız sayılacağı veriden çıkmaz, seçilir. Bir deneyde seçim açıktır: araştırmacı bir şeyi değiştirir, diğerini ölçer. Gözlemsel bir veride ise iki nicelik yalnızca birlikte ölçülmüştür ve hangisinin girdi sayılacağı bir karardır.

Sıvının kendisi bunun iyi bir örneğini veriyor. Sağlıklı bir insanda çok su içen kişi çok idrar çıkarır; burada içilen su girdi, idrar çıktıdır. Ama böbreklerin suyu tutamadığı bazı durumlarda sıra tersine döner: kişi önce çok idrar kaybeder, susar ve bu yüzden çok içer. İki durumda da kayıt defterinde aynı şey görünür, çok içen kişilerin çok idrarı var. Hangi yönün yazılacağını veri değil, fizyoloji bilgisi belirler.

Bu kabul bir nedensellik varsayımı taşır. Birlikte değişimi işleyen L01-P03-M01-D01'de kurulduğu gibi, iki niceliğin birlikte değişmesi birinin diğerine yol açtığını göstermez. Bir denklem yazıldığında bu ayrım sessizce kapanabilir, çünkü eşittir işaretinin solunda duran nicelik, sağdakilere bağlıymış gibi okunur. Bu yüzden bir modeli okurken sorulacak ilk soru, hangi yönün varsayıldığıdır.

Bir denklemin taşıdığı varsayımlar

Her denklem en az dört varsayım taşır ve dördü de genellikle yazılı değildir. Birincisi hangi niceliklerin ilgili sayıldığıdır: denkleme girmeyen her şey ilgisiz sayılmış olur. İkincisi ilişkinin biçimidir: doğrusal mı, üstel mi, eşikli mi; bu modülün sonraki dersleri bu biçimleri tek tek işliyor. Üçüncüsü geçerlilik aralığıdır, yani modelin hangi değerlerde kurulduğu ve dışında ne olacağının bilinmediği. Dördüncüsü neyin sabit tutulduğudur; sabit alınan her şey gerçekte değişiyorsa modelin dışında kalır.

Şimdi açılıştaki ateşli hastaya geri dön. Çizelge terle, solunumla ve dışkıyla kaybedilen sıvıyı yazmıyordu; bunlara birlikte görünmeyen kayıp denir ve ateşle artar. Denklem aslında bu kaybı sıfır kabul etmişti, yani onu sessizce bir sabite çevirmişti. Bu hastada görünmeyen kaybın kurgu değeri 800 mililitre olsun. Denklemi bu terimle yeniden yaz: D = A − İ − G. Birinci hasta için D = 2400 − 1800 − 800 = −200.

Sonuç yalnız küçülmedi, işaret değiştirdi. Çizelgeye göre artı 600 ile sıvı biriktiren hasta, gerçekte eksi 200 ile sıvı kaybediyor. Aradaki fark 600 + 200 = 800, yani tam olarak denklemin yazmadığı terim. Hemşirenin çizelgesine bakan biri sıvı kısıtlamayı düşünebilir; tablonun tamamını gören biri ise tam tersini. Karıştırıcı değişkeni işleyen L01-P02-M02-D08'deki sorun bunun istatistikteki karşılığıdır: modele girmeyen bir etken, ilişkinin görünüşünü değiştirebilir.

Kartın son cümlesi bu modülün genel kuralını veriyor: bir sonuç, hangi modelden çıktığı bilinmeden okunamaz. Sıvı çizelgesinde bunun anlamı basit. "Denge artı 600" diye bir sayı görüyorsan, o sayının hangi kayıpları hesaba kattığını da bilmen gerekir.

Denklemi çözmek ne demek

Bir denklemi çözmek, bilinmeyeni bir tarafta yalnız bırakmaktır ve bunun tek kuralı vardır: bir tarafa yapılan işlem diğer tarafa da yapılır, böylece eşitlik korunur. Ateşli hasta için şu soruyu sor: dengenin sıfır olması için ne kadar sıvı alması gerekirdi? 0 = A − 1800 − 800 yaz, iki tarafa 1800 ve 800 ekle: A = 1800 + 800 = 2600.

Çözümü doğru cevabı bilmeden sınamanın iki yolu var. Birincisi boyut kontrolü: mililitreden mililitre çıkarıp mililitre bulmalısın; bir saat ya da bir kilogram çıktıysa çözümde hata vardır. Boyut analizini işleyen L02-P01-M01-D07 bu kontrolü kurmuştu. İkincisi büyüklük sırası kontrolüdür: bir günde 2600 mililitre makul bir sıvı miktarıdır, 26.000 mililitre ise fazladan yazılmış bir sıfırın işaretidir. İki kontrol de sonucu bilmeden çalışır ve yanlış bir çözümü çoğu zaman ilk bakışta yakalar.

Ateşli hastanın hesabı bu kartın küçük bir modeli. Görünmeyen kayıp modele katıldığında denge artıdan eksiye döndü. Ama hangi kaybın katılacağını bilmek de bir alan bilgisidir: ateşi olmayan, terlemeyen bir hastada aynı terim çok daha küçük olur.

Klinik gerçeklik

Bir model ya da denklemle karşılaştığında önce hangi değişkenlerin içinde olduğuna, sonra hangilerinin olmadığına bak. İkinci soru en verimlisidir, çünkü modelin en büyük varsayımı genellikle yazmadığı şeydir; sıvı çizelgesinde bu, ateşli bir hastanın terle kaybettiği sıvıydı. Ardından hangi yönün varsayıldığını sor: veri bu yönü göstermez ve aynı ilişki başka bir grupta ters yönde işleyebilir.

Son iki soru denklemin sınırlarıyla ilgilidir. Model hangi değer aralığında kurulmuş ve senin durumun o aralığın içinde mi? Neler sabit tutulmuş ve gerçekte sabit mi? Bir laboratuvar raporundaki hesaplanmış bir değer, bir risk puanı ya da bir diyet uygulamasının günlük hedefi de birer denklemdir. Her birinin arkasında, hangi niceliklerin sayıldığına ve hangilerinin sıfır kabul edildiğine dair bir seçim durur.

Kendini sına

1. Bir denklem neden bir iddiadır? Sıvı çizelgesinin denklemi neyi iddia ediyor?
2. Bir hasta 1500 mililitre almış, 1700 mililitre idrar çıkarmış. D = A − İ ile dengeyi hesapla.
3. Aynı hastada görünmeyen kaybın kurgu değeri 600 mililitre olsaydı denge kaç olurdu? Denklemin hangi varsayımı değişti?
4. Bağımlı ve bağımsız değişkeni ayır. Su içme ile idrar örneğinde yönü ne belirliyor?
5. Yönlendirme kabulü hangi varsayımı taşıyor?
6. Bir denklemin dört yazılı olmayan varsayımını say. Görünmeyen kayıp bunlardan hangisine örnek?
7. Ateşli hasta için dengeyi sıfırlayan alım neden 2600 mililitre? Boyut ve büyüklük sırası kontrolleriyle sına.
8. "Veriye iyi uyan model doğrudur" neden yanlış?

Bir sonraki derse köprü

Sıvı çizelgesinin denklemi, alınan sıvı yüz mililitre arttığında dengenin de her zaman tam yüz mililitre arttığını söylüyor: az içen bir hastada da, çok içen bir hastada da. Bu, bir doğrunun iddiasıdır ve sanıldığından güçlü bir iddiadır. Sıradaki derste doğrusal fonksiyonu, onun iki parçasını, eğimi ve kesme noktasını, ve bir doğruyu gözlenen aralığın dışına taşımanın neden en yaygın hata olduğunu göreceksin.