Bilimsel gösterim

Açılış sahnesi

Gece yarısı bir mikrobiyoloji laboratuvarında bir teknisyen, gün içinde okunan idrar kültürlerini sisteme elle giriyor. Önündeki kâğıtta iki satır var ve iki hasta da kurgu: birincisinde mililitrede 10000, ikincisinde 100000 koloni oluşturan birim (colony-forming unit, CFU) yazıyor. Orta akım idrarında uzun süredir kullanılan klasik eşik mililitrede yüz bin olduğu için bu iki satır iki ayrı karar demek; biri eşiğin altında, öteki tam üstünde. Bazı klinik durumlarda daha düşük eşikler de kullanılıyor, ama bu gecenin kâğıdında fark yalnız bir sıfır. Teknisyen yorgun gözlerle sıfırları sayıyor, bir kez daha sayıyor ve yine de emin olamıyor.

Aynı iki sayı 1 × 10⁴ ve 1 × 10⁵ diye yazılsaydı sayma işi hiç olmazdı. Gözün yalnız küçük üsse bakması, dört ile beşi ayırması yeterdi. Bu ders o yazımı öğretiyor: sıfırları saymayı gereksiz kılan, milyonlarca kat farklı sayıları tek bakışta karşılaştırılabilir yapan ve üstelik bir sayının ne kadar kesin bilindiğini de yazıya geçiren gösterim.

Bu derste ne olacak

Önce gösterimin iki parçasını kuracak ve sayıları bu biçime çevirmeyi elle yapacağız. Sonra çarpma ve bölmenin neden bu yazımda neredeyse zihinden yapılabildiğini, toplamanın ise neden bir adım fazla istediğini göreceksin. Ardından anlamlı basamak fikrine döneceğiz; sondaki sıfırların sıradan yazımda neden muğlak kaldığını ve bilimsel gösterimin bu muğlaklığı nasıl çözdüğünü hesaplarla işleyeceğiz. Son bölümde bir hesabın sonucunun kaç basamakla yazılabileceğine karar vermeyi öğreneceksin.

Sıfır noktası

Tanımdaki kural kesin: çarpan en az 1, en fazla 9,99… olabilir, yani 1 ≤ a < 10. Kuvvet ise on'un kaç kez çarpıldığını ya da bölündüğünü söyler. 3,2 × 10⁶, üç virgül iki çarpı on üzeri altı diye okunur ve 3.200.000 demektir. 4,0 × 10⁻⁸ ise çok küçük bir ondalıktır: virgülden sonra yedi sıfır, ardından bir dört ve bir sıfır daha taşıyan 0,000 000 040.

Bu iki parçanın ayrı ayrı bilgi taşıması gösterimin bütün gücünü açıklıyor. Çarpan anlamlı basamakları, yani sayının ölçülmüş kısmını taşır ve kesinlik bilgisi orada durur. Kuvvet ise sayının hangi dünyada yaşadığını, yani ölçeğini taşır. Sıradan yazımda bu iki bilgi aynı sıfır dizisinin içinde karışır; bilimsel gösterimde ayrı ayrı yazılır ve biri ötekini gölgelemez.

Açılıştaki iki kültür sonucunu bu gözle oku. 1 × 10⁴ ile 1 × 10⁵ arasında çarpanlar aynı, fark yalnız kuvvette ve kuvvet bir birim farklı. Bir birimlik kuvvet farkı on katlık bir farktır; sıfır saymadan, tek bakışta görülür.

Mekanizma

Yazma ve okuma

Bir sayıyı bilimsel gösterime çevirirken virgülü, önünde tek bir sıfırdan farklı rakam kalana kadar kaydırırsın ve kaç basamak kaydırdığını sayarsın. Büyük sayılarda virgül sola gider ve kuvvet pozitif olur. 150.000 sayısında virgülü beş basamak sola kaydırınca 1,5 kalır, dolayısıyla sayı 1,5 × 10⁵ olur. Küçük sayılarda virgül sağa gider ve kuvvet negatif olur: 0,14 sayısında virgülü bir basamak sağa kaydırınca 1,4 kalır ve sayı 1,4 × 10⁻¹ olur.

Kan plazmasından iki gerçek sayı seç ve kuralı üzerlerinde dene. Sağlıklı bir yetişkinin plazmasında sodyum yaklaşık 140 milimol/litre, yani litrede 0,14 mol bulunur. Aynı plazmada, pH 7,40'ta, serbest hidrojen iyonu yaklaşık 40 nanomol/litre, yani litrede 0,000 000 040 moldür. İkinci sayıyı çevirmek için virgülü sekiz basamak sağa kaydırman gerekir ve sonuç 4,0 × 10⁻⁸ olur. Kural her iki yönde aynı: kaydırılan her basamak, kuvvette bir birim.

Okurken de aynı sırayı izle: önce kuvvete bak ve ölçeği anla, sonra çarpana bak ve değeri anla. 1,4 × 10⁻¹ ile 4,0 × 10⁻⁸ yan yana durduğunda kuvvetler arasında yedi birim var; çarpanları karşılaştırmadan bile sodyumun hidrojen iyonundan milyonlarca kat bol olduğunu söyleyebilirsin. Ne kadar bol olduğunu bulmak için bir bölme yeter, onu da birazdan yapacağız.

Çarpma ve bölme

Bilimsel gösterimin ikinci kazancı hesaptadır. Çarpmada çarpanlar çarpılır, kuvvetler toplanır; bölmede çarpanlar bölünür, kuvvetler çıkarılır. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻³) işleminde çarpanlar 3 × 2 = 6 verir, kuvvetler 4 + (−3) = 1 verir ve sonuç 6 × 10¹, yani 60 olur. Kuvvet kısmı zihinden yapılır; asıl hesap tek basamaklı sayılar arasında kalır.

Mikrobiyoloji laboratuvarına geri dön, çünkü açılıştaki sayılar tam olarak bu kuralla üretiliyor. İdrar kültüründe numune plağa sıklıkla bir mikrolitrelik kalibre öze ile sürülür; bu, mililitrenin binde biri, yani 1 × 10⁻³ mL demektir. Mililitresinde 1 × 10⁵ bakteri bulunan bir idrardan öze ile alınan miktarda (1 × 10⁵) × (1 × 10⁻³) = 1 × 10² bakteri vardır ve plakta yaklaşık yüz koloni büyür. Teknisyen ters yönde çalışır: plakta 150 koloni saydıysa, 150 ÷ 0,001 = 150.000 hesabını yapar. Aynı bölme bilimsel gösterimde (1,5 × 10²) ÷ (1 × 10⁻³) olur; kuvvetler 2 − (−3) = 5 verir ve sonuç 1,5 × 10⁵ çıkar.

Şimdi sodyum ile hidrojen iyonunu bölelim. (1,4 × 10⁻¹) ÷ (4,0 × 10⁻⁸) işleminde çarpanlar 1,4 ÷ 4,0 = 0,35 verir, kuvvetler −1 − (−8) = 7 verir. Sonuç 0,35 × 10⁷, ama çarpan birden küçük kaldığı için yazım henüz kurala uymuyor. Çarpanı on ile çarpıp kuvveti bir azaltırsın ve 3,5 × 10⁶ elde edersin: plazmada her serbest hidrojen iyonuna karşılık üç buçuk milyon civarında sodyum iyonu düşer. Çarpan ona ya da daha büyüğe taşarsa tersini yaparsın; (4 × 10⁴) × (5 × 10⁻³) = 20 × 10¹ çıkar ve düzeltilmiş hâli 2,0 × 10² olur.

Toplama ve çıkarma

Toplamada kuvvetleri doğrudan kullanamazsın; önce iki sayıyı aynı kuvvete getirmen, sonra çarpanları toplaman gerekir. Kurgu bir numunede mililitrede 1,2 × 10⁵ bakteri sayılmış olsun ve buna 3 × 10¹, yani otuz bakteri eklensin. İkinci sayıyı aynı kuvvete çevirirsen 0,0003 × 10⁵ olur ve toplam 1,2003 × 10⁵ çıkar. Birinci sayı iki anlamlı basamakla bilindiği için toplam da 1,2 × 10⁵ yazılır: otuz bakteri sonuçta hiç görünmez.

Bu bir hesap kusuru değil, bir bilgidir. Büyüklük sırası çok farklı iki sayı toplandığında küçük olan, büyüğün belirsizliğinin içinde kaybolur. İlk sayı zaten binlerce bakteri düzeyinde bir belirsizlik taşıyorsa otuz bakteri o belirsizliğin çok altında kalır. Hangi terimin ihmal edilebilir olduğunu söyleyen şey tam da bu karşılaştırmadır ve ileride yaklaşık hesaplar kurarken sık sık başvuracağın bir düşünme biçimidir.

Sondaki sıfırlar ve kesinlik

Anlamlı basamak kavramı tam sayı, kesir ve ondalığı işleyen L02-P01-M01-D01'de tanıtılmıştı: yazılan her basamak bir kesinlik iddiası taşır. Sıradan yazımın çözemediği tek bir nokta kalmıştı ve o da sondaki sıfırlardır. Bir kültür raporunda 120000 yazdığında son dört sıfır sayılmış mıdır, yoksa yalnız ölçeği mi gösterir? Sayının kendisine bakarak bunu anlayamazsın.

Bilimsel gösterim soruyu ortadan kaldırır, çünkü çarpana yazılan her basamak anlamlıdır. 1,2 × 10⁵ iki basamağın bilindiğini, 1,20 × 10⁵ üç basamağın bilindiğini, 1,200 × 10⁵ ise dört basamağın bilindiğini söyler. Aynı yüz yirmi bin, üç farklı kesinlik iddiasıyla ve karışıklığa yer bırakmadan yazılmış olur.

Aynı fark ondalıklarda da vardır ve bir laboratuvar raporunda karşına çıkabilir. Serum potasyumunun 4,5 mmol/L yazılması, gerçek değerin 4,45 ile 4,55 arasında olduğunu söyler; aralığın genişliği 0,1. 4,50 mmol/L yazılması ise değerin 4,495 ile 4,505 arasında olduğunu söyler; aralığın genişliği 0,01. İki genişliği oranlarsan 0,1 ÷ 0,01 = 10 çıkar: sondaki tek sıfır, on kat daha dar bir aralık iddiası taşıyor. Cihaz o çözünürlükte ölçmüyorsa o sıfır yazılmaz.

İki kural bu sınırı uygular. Çarpma ve bölmede sonuç, girdilerin en az anlamlı basamaklısı kadar basamak taşır. Toplama ve çıkarmada ise sonuç, en kaba ölçülmüş girdinin son basamağına yuvarlanır; otuz bakteri örneğinde olan buydu. İkisinin ortak mantığı aynı: bir hesap zincirinin kesinliği, en zayıf halkasının kesinliğini aşamaz.

Kartın rozeti C, yani örüntünün ne kadar yaygın olduğu iyi ölçülmemiş. Yine de fazla basamağın nereden geldiğini bir hesapla görebilirsin ve aşağıdaki vaka onu gösteriyor.

Vakadaki hatayı yapan kişi yanlış bir sayı yazmıyor; 2,7024 aritmetik olarak doğru. Yanlış olan, sayının söylediği şey: kan hacminin mililitrenin onda biri düzeyinde bilindiği izlenimi. Oysa ağırlıktan yapılan bir tahmin, yüz mililitre düzeyinde bile kesin değildir.

Gösterimin kendisini okumak da her zaman kolay değil. Farklı büyüklük sırasındaki sayılar sezgiyle karşılaştırıldığında zihin çoğu zaman yanılır.

Bu kartın pratik sonucu basit. Sezgine güvenmek yerine kuvvetleri yan yana koy ve farkı say; sodyum ile hidrojen iyonu örneğinde kuvvetlerdeki yedi birimlik fark ile çarpanların bölümü birlikte, sezginin kendiliğinden hiçbir zaman vermeyeceği bir sayıyı, üç buçuk milyonluk bir katı gösterdi.

Klinik gerçeklik

Bir raporda ya da makalede büyük veya küçük bir sayıyla karşılaştığında önce onu bilimsel gösterime çevir ve kuvvete bak; ölçek oradadır. Açılıştaki kültür sonuçlarında sıfır saymak yerine dört ile beşi karşılaştırmak, eşiğin hangi tarafında olunduğunu bir anda gösterir. İki sayıyı karşılaştıracaksan da işe kuvvetlerden başla, çünkü kuvvetler farklıysa çarpanlara bakmana gerek kalmaz.

Ardından çarpana dön ve kaç anlamlı basamak taşıdığını say. Sayıyı bir hesapta kullandıysan sonucun kaç basamakla yazılabileceğine en zayıf girdi karar verir; plazma hacmi vakasında bu iki basamaktı. Sondaki sıfırları da ayrıca sorgula: 4,50 ile 4,5 aynı değeri gösterir, ama biri on kat daha iddialı bir aralık vaat eder. Bu alışkanlık, bir sonucu olduğundan kesin sanmaktan ve başkasına öyle aktarmaktan seni korur.

Kendini sına

1. Bilimsel gösterimin iki parçasını ve taşıdıkları bilgiyi yaz. Çarpan hangi aralıkta olmalı?
2. 0,000 000 040 ve 150.000 sayılarını bilimsel gösterime çevir. Her birinde virgülü kaç basamak ve hangi yöne kaydırdın?
3. (2 × 10³) × (4 × 10⁻⁵) işlemini yap ve sonucu kurala uygun yaz.
4. (1,4 × 10⁻¹) ÷ (4,0 × 10⁻⁸) işleminde 0,35 × 10⁷ neden son hâl değil? Düzelt.
5. Kalibre öze ile plakta 80 koloni sayıldı. Mililitredeki bakteri sayısını bilimsel gösterimle hesapla.
6. 1,2 × 10⁵ ile 3 × 10¹ toplandığında küçük sayıya ne oluyor? Bu neden bir bilgi?
7. 4,5 ile 4,50 arasındaki fark ne? İki aralığın genişliğini hesapla.
8. Plazma hacmi vakasında 2,7024 neden 2,7 yazılıyor? "Yuvarlamak bilgi kaybıdır" iddiası bu vakada neden tutmuyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste kuvveti bir yazım aracı olarak kullandın: sıfırları saymadan sayıyı yazmak, iki sayıyı üslerine bakarak karşılaştırmak ve çarpımı üsleri toplayarak kurmak. Sıradaki derste kuvvet, yazımın ötesine geçip kendi başına bir düşünme aracına dönüşüyor. Bir iddiadaki sayının kesin değerini bilmeden, yalnız kaç basamaklı olması gerektiğini kaba bir tahminle bulup iddiayı bir makullük süzgecinden geçirmeyi öğreneceksin; ardından eşit aralıkların eşit katları gösterdiği eksenlerin nasıl okunacağına geleceksin (L02-P01-M01-D04).