Oran, orantı ve yüzde

Açılış sahnesi

Bir eczanenin bekleme köşesinde bir hasta, yeni başladığı ilacın kutusundan çıkan bilgilendirme notunu okuyor. Bir satırın altını kalemle çizmiş: "Bu ilacı kullananlarda baş dönmesi riski yüzde 50 daha yüksektir." Eczacıya dönüp her iki kişiden birinin mi baş dönmesi yaşadığını soruyor.

Eczacı notun arkasındaki tabloyu açıyor. İlacı kullanmayan her yüz kişiden dördünde baş dönmesi görülmüş, kullanan her yüz kişiden altısında. Hastanın kafasındaki "iki kişiden biri" ile tablodaki "yüz kişide iki kişi fazla" arasındaki mesafe tek bir sorunun cevabında saklı: neyin yüzdesi? Bu ders o soruyu sormayı ve cevabını hesaplamayı öğretiyor.

Bu derste ne olacak

Önce oran, orantı ve yüzdeyi ayıracağız ve aynı oranı üç farklı biçimde yazacağız. Sonra yüzdenin iki farklı işini, pay bildirmeyi ve değişim bildirmeyi göreceğiz. Ardından bu ikisinin karıştığı yere, yüzde ile yüzde puan ayrımına ve paydası farklı yüzdelerin tuzağına geleceğiz. Son bölümde orantıyla bilinmeyen bir değeri bulacak ve bu aracın hangi varsayıma dayandığını soracağız.

Sıfır noktası

Bir aile hekimliği biriminde bir ayda 200 randevu verilmiş ve bunların 50'sine hasta gelmemiş olsun. Gelmeme oranı 50 ÷ 200 = 0,25. Aynı sayı üç biçimde yazılabilir: ondalık olarak 0,25, yüzde olarak yüzde 25, kesir olarak dörtte bir, yani her dört randevudan birine gelinmiyor. Üçü aynı oranı söyler; hangisinin daha kolay anlaşıldığı ise okura ve bağlama göre değişir.

Bu üç yazımın ortak bir özelliği var: hepsi bir paydaya dayanır. Buradaki payda 200 randevu. Yüzde bir sayı değil, bir ilişkidir ve neyin yüzdesi olduğu söylenmeden anlamı yoktur. Bir yüzdeyle karşılaştığında ilk iş paydayı bulmaktır; payda görünmüyorsa aranır.

Mekanizma

Yüzdenin iki işi

Aynı sembol iki farklı iş yapar ve karışıklık buradan başlar. Birinci işte yüzde bir payı bildirir: "randevuların yüzde 25'ine gelinmedi." Bu bir fotoğraftır, bütünün ne kadarının bir durumda olduğunu söyler. İkinci işte yüzde bir değişimi bildirir: "gelinmeyen randevular yüzde 25 arttı." Bu bir harekettir, öncekine göre ne kadar değiştiğini söyler.

İkinci iş fazladan bir bilgi ister: başlangıç değeri. Gelinmeyen randevu sayısı 50'den yüzde 25 artarsa 50 × 1,25 = 62,5, yani yaklaşık 63 olur; 8'den yüzde 25 artarsa 10 olur. Aynı yüzde, başlangıca göre on iki buçuk ya da iki randevuluk bir fark anlatıyor. Değişim bildiren bir yüzdenin karşısında "neyin yüzdesi?" sorusu "başlangıç neydi?" sorusuna dönüşür.

Değişim yüzdelerinin bir özelliği daha var: arka arkaya uygulandıklarında toplanmazlar, çarpılırlar. Bir poliklinikte randevu sayısı bir ay yüzde 20 artıp ertesi ay yüzde 20 azalsın. Başlangıç 500 ise önce 500 × 1,2 = 600'e çıkar, sonra 600 × 0,8 = 480'e iner. İki ayın birleşik çarpanı 1,2 × 0,8 = 0,96, yani başa dönülmedi, yüzde 4 aşağıda kalındı. Yüzde 20'lik azalış, daha büyük bir sayıya uygulandığı için yüzde 20'lik artıştan daha çok şey götürdü.

Yüzde ile yüzde puan

Açılıştaki tabloya geri dön. İlacı kullanmayanlarda baş dönmesi yüzde 4, kullananlarda yüzde 6. Bu iki sayının farkı iki farklı biçimde yazılabilir ve ikisi de doğrudur.

Mutlak fark 6 − 4 = 2 yüzde puan: yüz kişide iki kişi daha fazla. Göreli fark (6 − 4) ÷ 4 = 0,5, yani yüzde 50 artış, çünkü 6, 4'ün bir buçuk katı. Bilgilendirme notu ikinci yazımı seçmişti. Bin kişilik bir paydada aynı veri 40 kişiye karşılık 60 kişi eder; ilacı kullanan her bin kişide 20 fazladan baş dönmesi görülür.

Göreli ve mutlak ifadenin farkı paydalarındadır. Mutlak fark bütün grubu payda alır: yüz kişide kaç kişi. Göreli fark başlangıç oranını payda alır: dört kişiye göre kaç kişi. Göreli riski işleyen L01-P04-M01-D04'teki göreli–mutlak ayrımının aritmetik kaynağı budur. Haberlerdeki "risk yüzde şu kadar arttı" başlıklarının neden bu kadar büyük duyulduğunu da bu açıklar; sorunun haber tarafı L01-P06-M01-D05'te, göreli riskle korkutma başlığı altında işleniyor.

Kartın notu dersin söylediği şeyi tek cümleye indiriyor. Yüzde 50 ile 2 yüzde puan arasındaki fark bir hesap hatası değil, bir payda seçimidir. İkisini birlikte gören okur, ne kadar büyük bir değişimden söz edildiğini kendisi tartabilir.

Paydası farklı iki yüzde

Payda sorusunun ikinci tuzağı, aynı kişilerden iki farklı yüzde üretilebilmesidir. Kurgu bir kayıtta 1000 kişi var ve bunların 100'ü diyabetli. Diyabetlilerin 30'unda, diyabeti olmayan 900 kişinin 45'inde ayaklarda uyuşma bildirilmiş. "Diyabetlilerin yüzde kaçında uyuşma var?" sorusunun cevabı 30 ÷ 100 = 0,30. "Uyuşması olanların yüzde kaçı diyabetli?" sorusunun cevabı ise 30 ÷ 75 = 0,40, çünkü uyuşması olan toplam 30 + 45 = 75 kişi var.

İki cümle aynı 30 kişiyi anlatıyor ama biri diyabetlileri, öteki uyuşması olanları payda alıyor. Bir haber "uyuşma yaşayanların yüzde 40'ı diyabetli" diye yazıp okur bunu "diyabetlilerin yüzde 40'ı uyuşma yaşıyor" diye anlarsa, hiçbir sayı yanlış yazılmadan yanlış bir bilgi aktarılmış olur. "Neyin yüzdesi?" sorusu tam burada iş görür: payı değil, paydayı sorar.

Aynı tuzağın bir kardeşi de ham sayıları karşılaştırmaktır. Bir hastanede A servisinde 20 hastadan 3'ünde, B servisinde 200 hastadan 12'sinde servis kaynaklı enfeksiyon görülmüş olsun. Ham sayıya bakan biri B'yi dört kat kötü sanır. Oranlar ise 3 ÷ 20 = 0,15 ve 12 ÷ 200 = 0,06; ortak paydada A servisi iki buçuk kat daha yüksek. Yüzde tam bu iş için var: farklı büyüklükteki grupları aynı paydaya çekmek.

Orantı: bilinmeyeni bulmak

Orantı bu modülde en çok kullanacağın araç ve tek bir kalıbı var. Bilinen bir oran varsa ve aynı oran başka bir büyüklükte de geçerliyse, dördüncü değer hesaplanabilir. B servisindeki oranın gelecek çeyrekte değişmediğini varsayalım ve servise 450 hasta yatacağını düşünelim. 12 ÷ 200 = x ÷ 450 yazılır, iki taraf 450 ile çarpılır ve x = 450 × 0,06 = 27 bulunur. Bu hesabın doğruluğu bir koşula bağlı ve o koşul en sık atlanan koşuldur.

Servis örneğinde bu, hasta sayısı 450'ye çıktığında enfeksiyon riskinin aynı kalması demek. Oysa kalabalık bir serviste hemşire başına düşen hasta artar, oda paylaşımı çoğalır ve risk de artabilir; o zaman 27 tahmini gerçeği küçümser. Biyolojide bu varsayım daha da sık bozulur: bir maddenin etkisi miktarla orantılı artmaz, doygunluk, eşik ve geri bildirim devreye girer. Fonksiyonlar modülünde bu ilişkileri tek tek kuracağız. Buradan götürmen gereken şey şu: orantı bir hesap aracıdır, bir doğa yasası değil; uygulamadan önce orantılılığın geçerli olup olmadığı sorulur.

Kartın rozeti C, yani karışıklığın ne sıklıkla yapıldığı iyi ölçülmemiş. Notun son cümlesi ise önemli bir şey söylüyor: hata yalnız abartmaz. Yüzde 4'ten yüzde 6'ya çıkışı "yüzde 2 arttı" diye yazan biri, gerçek göreli artışı yirmi beşte bire indirmiş olur.

Klinik gerçeklik

Bir yüzdeyle karşılaştığında önce onun bir pay mı yoksa bir değişim mi bildirdiğine bak. Pay bildiriyorsa neyin yüzdesi olduğunu, yani paydayı bul; diyabet ve uyuşma örneğinde aynı 30 kişi, paydaya göre yüzde 30 da yüzde 40 da olabiliyordu. Değişim bildiriyorsa başlangıç değerini ara; başlangıç verilmemişse yüzde yorumlanamaz. Ardından yüzde ile yüzde puanın karışıp karışmadığını kontrol et.

Son adım, sayıyı yüz ya da bin kişilik bir paydaya çevirmek. Doğal frekanslarla anlatımı işleyen L01-P04-M03-D04'teki kural budur: bütün sayılar aynı referans grubuna yazıldığında karşılaştırma görünür olur. Açılıştaki hasta "yüzde 50" yerine "yüz kişide iki kişi fazla" cümlesini duysaydı, kararını başka bir yerden verirdi. Bu çeviriyi yapabiliyorsan sayıyı anlamışsın demektir; yapamıyorsan, eksik olan bilgi büyük olasılıkla paydadır.

Kendini sına

1. Oran, orantı ve yüzdeyi ayır. Bir oranı 0,125 olarak yaz; aynı oranı yüzde ve "kaçta bir" biçiminde yaz.
2. Yüzdenin iki işini yaz. İkincisi hangi bilgiyi gerektiriyor?
3. Bir oran yüzde 10'dan yüzde 15'e çıkıyor. Farkı yüzde puanla ve göreli olarak hesapla.
4. Bir değer yüzde 50 artıp sonra yüzde 50 azalırsa başlangıca göre nerede kalır? Neden?
5. Kurgu kayıtta "diyabetlilerin yüzde kaçında uyuşma var" ile "uyuşması olanların yüzde kaçı diyabetli" neden farklı sayılar veriyor?
6. A servisinde 20 hastada 3, B servisinde 200 hastada 12 enfeksiyon: hangi servis daha yüksek oranda ve kaç kat?
7. Orantılılık varsayımı nedir? Servis örneğinde neden bozulabilir?
8. A rozetli kart bu derste neyi kaydediyor? C rozetli kart hatanın hangi iki yönünü söylüyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste yüzlü, binli paydalarla çalıştın. Sağlıkta ise bir hücredeki molekül sayısı ile kandaki bir hormonun miktarı gibi, aralarında milyonlarca kat fark olan sayılar yan yana durur. O büyüklükte sıfırları saymak zorlaşır, iki sayıyı karşılaştırmak neredeyse imkânsız olur. Sıradaki derste bilimsel gösterimi göreceksin: sayıyı on'un kuvvetleriyle yazmak hem bu iki sorunu çözüyor hem de bir sayının ne kadar kesin bilindiğini yazıya geçiriyor.