Test sonrası olasılık

Açılış sahnesi

Cuma öğleden sonra bir aile hekimi, hafta içinde aynı testin istendiği üç kişinin sonuçlarını masasına diziyor. Birinci kâğıtta "pozitif" yazıyor; sahibi hiçbir yakınması olmayan, yıllık kontrol için gelmiş biri. İkinci kâğıtta da "pozitif" yazıyor ve sahibi birkaç haftadır süren belirtilerle başvurmuştu. Üçüncü kâğıtta "negatif" yazıyor; sahibi risk grubunda, hekimin muayenede neredeyse emin olduğu tipik bir tabloyla gelmiş biri.

Kâğıtlar tek kelimeyle konuşuyor, ama hekimin kararı tek kelimeyle verilemiyor. Bu dersin sonunda birinci kişinin pozitif sonuca rağmen yaklaşık yüzde 17'de, ikincisinin yüzde 81'de, üçüncüsünün ise negatif sonuca rağmen yüzde 29'da durduğunu kendi elinle hesaplamış olacaksın. Kâğıttaki kelime bir cevap değil; kişinin laboratuvara girmeden önce durduğu yeri belli bir miktar kaydıran bir bilgi. O kaydırmanın sonunda varılan yerin adı test sonrası olasılık.

Bu derste ne olacak

Önce güncellemenin üç adımını tanımlayıp açılıştaki üç kişiye tek tek uygulayacağız. En uzun, üçüncü kişide duracağız: yüksek bir başlangıçta negatif sonuç tam olarak ne yapar, ne yapmaz? Sonra muayene odasında akılda yapılabilecek bir kısayolu, onun nerede saptığını ve hesap yapmadan okunan bir cetveli göreceğiz. Son bölümde bu hesabın klinikte neden seyrek yapıldığına ve aynı sonucu hiç odds kullanmadan, kişi sayısıyla nasıl bulabileceğine geleceğiz.

Sıfır noktası

Önceki derste başlangıç noktasını, ön test olasılığını kurdun. Olabilirlik oranları dersinde de o noktayı yerinden oynatan çarpanı tanımıştın (L01-P05-M02-D06). Test sonrası olasılık bu ikisinin buluştuğu yerdir ve üç adımda hesaplanır. Önce ön test olasılığını odds'a çevirirsin, yani olasılığı olmama olasılığına bölersin. Sonra bu odds'u testin olabilirlik oranıyla çarparsın ve çıkan odds'u, kendisinin bir fazlasına bölerek yeniden olasılığa çevirirsin.

Bu dolambacın bir sebebi var. Olasılık 0 ile 1 arasına sıkışmıştır ve onu doğrudan bir sayıyla çarpmak sonucu kolayca 1'in üstüne taşır: yüzde 80'lik bir olasılığı 10 ile çarparsan 8 elde edersin, bu da anlamsız bir sayıdır. Odds'un tavanı yoktur; aynı olasılığın odds'u 0,80 ÷ 0,20 = 4, çarpım 4 × 10 = 40, geri dönüşte 40 ÷ 41 ≈ 0,98. Ortadaki çarpım işin kendisidir, baştaki ve sondaki adımlar yalnız dil değiştirir.

Mekanizma

Üç kişi, bir test

Kurgu testin pozitif olabilirlik oranı 10, negatif olabilirlik oranı 0,1. Pozitif sonuç hastalarda sağlıklılara göre on kat sık, negatif sonuç ise on kat seyrek görülüyor. Bunlar duyarlılığı ve özgüllüğü yaklaşık 0,91 olan bir testin oranlarıdır: 0,91 ÷ 0,09 ≈ 10 ve 0,09 ÷ 0,91 ≈ 0,1. İki yönde de güçlü bir test; yani aşağıdaki şaşırtıcı sonuçların sebebi testin zayıflığı değil.

Birinci kişi, Kişi A, belirtisiz ve risk grubu dışında; ön test olasılığı yüzde 2. Odds 0,02 ÷ 0,98 ≈ 0,020. Pozitif sonuçla 0,020 × 10 = 0,20 olur ve olasılığa geri dönünce 0,20 ÷ 1,20 ≈ 0,17. Olasılık sekiz kattan fazla arttı ama yüzde 17'de kaldı; pozitif sonuçtan sonra bile bu kişinin hasta olmama olasılığı altıda beşe yakın. Artık göz ardı edilemez, ama tanı da konmuş değil.

İkinci kişi, Kişi B, bazı belirtilerle gelmiş; ön test olasılığı yüzde 30. Odds 0,30 ÷ 0,70 ≈ 0,43, pozitif sonuçla 0,43 × 10 ≈ 4,3 ve olasılık 4,3 ÷ 5,3 ≈ 0,81. Aynı test, aynı kelime, aynı çarpan; ama bu kez varılan yer yüzde 81. Kişi A ile Kişi B arasındaki farkı test yaratmadı, test yalnız ikisini aynı oranda itti.

Üçüncü kişi, Kişi C, dersin asıl konusu. Tipik bir tablosu var, risk grubunda ve hekimin ön test tahmini yüzde 80. Odds 0,80 ÷ 0,20 = 4. Sonuç negatif geldiği için bu kez negatif oranla çarparsın: 4 × 0,1 = 0,4, olasılık olarak 0,4 ÷ 1,4 ≈ 0,29. Güçlü bir testin negatif sonucu olasılığı yüzde 80'den yüzde 29'a indirdi; belirgin bir düşüş, ama geride yaklaşık her üç kişiden birinin hasta olduğu bir durum kaldı.

Sezgi burada iki ayrı hataya çekilir. Birincisi "negatif çıktı, konu kapandı" demektir, oysa yüzde 29'luk bir olasılık birçok klinik durumda izlemi, ikinci bir testi ya da başka bir yolu gerektirir. Negatif öngörü değeri dersi bu ilkenin adını klinik şüphenin önceliği olarak koymuştu (L01-P05-M02-D05); burada onun sayısını görüyorsun. İkinci hata testi tümden yok saymaktır: negatif sonuç boşa gitmedi, olasılığı yarının altına çekti. Güçlü bir şüphe tek bir negatifle silinmez, ama yerinden de oynar.

Peki güçlü şüpheyi ne siler? Kişi C'ye aynı güçte ikinci bir test yapılsa ve o da negatif gelse, odds 0,4 × 0,1 = 0,04'e, olasılık da 0,04 ÷ 1,04 ≈ 0,04'e iner. Bu hesap iki sonucun birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Aynı mekanizmayı ölçen iki test çoğu zaman bağımsız değildir ve o zaman ikinci negatif bu kadar çok şey söylemez; iki testi birlikte kullanmanın hesabı bu varsayımı ayrıca sınamayı ister.

Altı olası durumu yan yana koyalım. Her satırda test aynı iki çarpanı uyguluyor; değişen yalnız başlangıç.

Yüzde 2'de başlayan biri için negatif sonuç neredeyse hiçbir şey eklemiyor, çünkü zaten dışarıdaydı; pozitif sonuç ise onu ancak yüzde 17'ye taşıyor. Yüzde 80'de başlayan biri için tablo tersine döner: pozitif sonuç zaten güçlü olan şüpheyi yüzde 98'e çıkarır, negatif sonuç ise onu kararın düğümlendiği bölgeye, yüzde 29'a indirir. Testin en çok iş gördüğü satır ortadakidir. Kişi B'de iki olası sonuç, yüzde 4 ve yüzde 81, birbirinden çok uzak iki yere düşüyor ve kararı iki ayrı yöne gönderiyor.

Akılda yapılan kısayol

Muayene odasında odds'a çevirip geri dönmek kâğıt üzerindeki kadar kolay değildir. Olabilirlik oranları dersi bunun için bir yaklaşıklama vermişti: on beş–otuz–kırk beş kuralı. Oran 2, 5 ve 10 için olasılığa yaklaşık 15, 30 ve 45 puan eklenir; 0,5, 0,2 ve 0,1 için aynı miktarlar çıkarılır. Orada kuralı yüzde 50'lik bir başlangıç ve 5'lik bir oranla denemiştin; burada Kişi B ile, yüzde 30 ve oran 10 ile dene.

Kısayol 30 + 45 = 75 der, tam hesap 81 vermişti. Altı puanlık fark kararı değiştirmez; iki sayı da tanının büyük ölçüde kurulduğu bölgede. Kişi C'nin negatif sonucunda kısayol 80 − 45 = 35 verir, tam hesap 29; yine aynı bölge, yine aynı karar. Orta aralıkta kural, bir kalem kâğıt olmadan doğru yere yeterince yaklaştırır.

Uçlarda ise bozulur. Kişi A'da kısayol 2 + 45 = 47 der, oysa tam hesap 17 vermişti; otuz puanlık bir sapma, "yarı yarıya" ile "altıda bir" arasındaki fark demektir. Aynı kişinin negatif sonucunda kısayol sıfırın altına düşer ve anlamsızlaşır. Başlangıç sıfıra ya da bire yakınsa kısayolu bırakıp üç adımı yapman, ya da hesabı bir cetvele devretmen gerekir.

Nomogramın sol ölçeğinde başlangıcı, ortadakinde oranı işaretlersin ve iki noktadan geçen çizgiyi sağ ölçeğe uzatırsın. Kişi A için çizgi yüzde 2'den geçip 10'a uzandığında sağda yüzde 17 civarına düşer; odds yolunun verdiği sayıya. Cetvel hesabın yerine geçmez, hesabı görünür kılar: aynı oranın düşük ve yüksek başlangıçlarda ne kadar farklı yerlere vardığı çizgilerin eğiminde hemen görülür.

Neden bu hesap seyrek yapılıyor

Bu kadar yararlıysa neden klinikte rutin değil? İlk sebep girdinin kendisidir: ön test olasılığını tahmin etmek zordur, önceki dersin bütün konusu buydu ve girdi belirsizse çıktı da belirsiz kalır. İkincisi, olabilirlik oranları her test için elde yoktur; yayınlanmış değerler çalışmadan çalışmaya değişir ve testin denendiği hasta yelpazesine göre kayar. Üçüncüsü, çoğu kararda kaba bantlar yeter: "düşük, orta, yüksek" ve "arttı, azaldı" pratikte çoğu zaman aynı karara götürür.

Ama hesabın vazgeçilmez olduğu bir yer var: sezginin sayıya ters düştüğü durumlar. Düşük başlangıçlı bir kişide pozitif çıkan bir testte sezgi "hasta" der, hesap "muhtemelen değil" der ve hesap haklıdır. Kişi C'de tersi olur: sezgi "negatif, temiz" der, hesap "hâlâ üçte bir" der. İki durumda da yanılgının yönü önceden bellidir ve bu yüzden ölçülmüştür.

Kartın nüfus satırı önemli: sapma yalnız meslek dışı okurlara ait değil, sonucu yorumlayan klinisyende de görülüyor. Son cümlesi ise bir çıkış yolu gösteriyor. Aynı problem "yüzde" yerine "bin kişiden şu kadarı" diye sorulduğunda doğru cevaplanma oranı yükseliyor ve bir sonraki bölüm tam bunu deniyor.

Aynı hesap, kişi sayısıyla

Kişi A'yı bir de odds kullanmadan çöz. Onun gibi belirtisiz, risk grubu dışındaki bin kişiyi düşün. Yüzde 2'lik başlangıçla 1000 × 0,02 = 20 kişide hastalık var, 980 kişide yok. Test hastaların 20 × 0,91 ≈ 18'ini, sağlıklıların 980 × 0,09 ≈ 88'ini pozitif gösterir. Toplam 106 pozitifin 18'i gerçekten hasta: 18 ÷ 106 ≈ 0,17, odds yolunun verdiği sayının aynısı.

Bu biçimde sonuç neredeyse kendiliğinden görünür, çünkü pozitif çıkan 106 kişinin 88'i hasta değildir. Olasılık ve oran dersinde bu anlatım biçimine doğal sıklık adını vermiştin (L01-P04-M01-D01). Odds yolu bir kalıbı adım adım yürütmeyi ister; kişi sayısı yolu ise tabloyu önüne koyar ve "pozitif çıkanların arasında kaç gerçek hasta var?" sorusunu sayarak cevaplatır. İkisi aynı matematiğin iki dilidir.

Klinik gerçeklik

Eline bir test sonucu geçtiğinde yapılacak zihinsel iş kısa. Önce sonucu hiç düşünmeden, kişinin testten önce nerede durduğunu kaba bir bantla belirle: düşük, orta ya da yüksek. Sonra sonucun yönünü uygula; pozitif sonuç olasılığı yükseltir, negatif sonuç düşürür ve ne kadar yükselttiğini ya da düşürdüğünü testin oranı belirler. Son olarak vardığın yeri, tedaviye başlamayı ya da tetkiki bırakmayı haklı kılan eşikle karşılaştır.

Kararı veren bu üçüncü adımdır. Kişi A yüzde 17'yle doğrulama bekliyor, Kişi B yüzde 81'le tanının büyük ölçüde kurulduğu yerde, Kişi C yüzde 29'la ikisinin arasında bir yerde. Bazen dürüst cevap "hâlâ belirsiz" olur ve bu bir başarısızlık değildir; belirsizliğin nerede olduğunu ve onu neyin azaltacağını bilmek, sonucu yanlış bir kesinliğe çevirmekten daha iyidir. Kendi sonucun söz konusuysa bu üç adımı hekiminle birlikte, onun başlangıç tahminini sorarak yürütebilirsin.

Kendini sına

1. Üç adımlı hesabı kendi cümlelerinle yaz. Neden olasılığı doğrudan olabilirlik oranıyla çarpamazsın?
2. Kişi A, B ve C'nin hesaplarını odds üzerinden kendin tekrarla.
3. Kişi C'de negatif sonuç olasılığı nereye indirdi? Bu neden hem "konu kapandı" hem "test boşa gitti" yorumunu yanlış kılıyor?
4. Ön test olasılığı yüzde 50 olan birinde aynı testin negatif sonucu olasılığı nereye indirir? Önce kısayolla, sonra tam hesapla bul.
5. Kişi C'ye ikinci bir negatif test eklendiğinde olasılık neden bu kadar düşüyor? Hesap hangi varsayıma dayanıyor?
6. On beş–otuz–kırk beş kuralı Kişi B'de neden iyi, Kişi A'da neden kötü çalıştı?
7. Bu hesabın klinikte seyrek yapılmasının üç sebebini ve vazgeçilmez olduğu durumu açıkla.
8. Kişi A'nın hesabını bin kişilik paydada yeniden kur. Hangi sayı sonucu hesap yapmadan gösteriyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste başlangıç noktasını her kişi için ayrı tahmin ettin ve aynı testin üç kişiyi üç ayrı yere taşıdığını gördün. Sıradaki derste başlangıç kişiden değil, testin uygulandığı yerden gelecek: aynı kit, hiçbir yakınması olmayanların arasında ve başka hekimlerin şüphelenip yönlendirdiği hastalarda kullanıldığında aynı "pozitif" kelimesi bambaşka bir anlam taşıyacak. O başlangıcı görmezden gelip yalnız sonuca bakmanın bir adı var, taban oranı yanılgısı. "Ben ortalama biri değilim" itirazının bu yanılgıya karşı nerede haklı, nerede yanıltıcı olduğunu da orada ayıracaksın.