Ortalama, medyan ve dağılım

Açılış

Kadıköy'deki şirkette yeni bir karar konuşuluyor: ücretsiz kargo eşiği. Şirket şu an her siparişte kargo ücreti alıyor ve müşteri yorumlarında en sık şikâyet bu. Operasyon müdürü bir öneriyle geliyor: "Ortalama sepet tutarımız 850 lira. Eşiği 800 liraya koyarsak müşterilerin çoğu zaten bu eşiği geçer, kargo bedava olur, şikâyet de biter."

Zeynep geçen ayın sipariş dökümünü açıyor ve ilk on siparişe göz atıyor. Çoğu 300 ile 500 lira arasında. Arada bir, bir otel zincirinin toplu nevresim siparişi var: 4.700 lira. Ortalama gerçekten 850 çıkıyor. Ama listede 800 liranın üstünde tek bir sipariş var, o da bu kurumsal sipariş. "Müşterilerin çoğu eşiği geçer" cümlesi doğru olamaz; ortalama bir şey söylüyor, sipariş listesi başka bir şey. Zeynep toplantıya girmeden önce, hangi sayının hangi soruya cevap verdiğini netleştirmek istiyor.

Tek fikir

Ortalama, bir toplamın eşit paylaştırılmış hâlidir; birkaç aykırı değer onu kolayca çeker. Tipik olanı medyan gösterir, belirsizliği ise dağılım. Bir kararın hangi soruya cevap aradığı, hangi özetin kullanılacağını belirler.

Kavram

Aritmetik ortalama, bütün değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür. Zeynep'in on siparişi için:

Ortalama bu on siparişin toplamını, on eşit parçaya bölünmüş gibi gösterir. Toplam 8.500 liradır ve on sipariş gelmiştir; ortalama bunu söyler. Ama hiçbir müşteri 850 liralık bir sepetle gelmemiştir. Dokuz sipariş 300 ile 520 lira arasındadır, biri 4.700 liradır. Tek bir büyük sipariş ortalamayı yukarı çekmiştir.

Aykırı değer bir hata olmak zorunda değildir ve veriden atılması gereken bir şey de değildir. Otel zincirinin siparişi gerçektir ve şirketin cirosuna katkısı da gerçektir. Sorun, onun "tipik müşteri" hakkında konuşurken hesaba katılmasıdır.

Zeynep'in on siparişi zaten sıralı. Ortada beşinci ve altıncı siparişler duruyor: 420 ve 450 lira.

Medyan, müşterilerin yarısının 435 liranın altında, yarısının üstünde alışveriş yaptığını söylüyor. Ücretsiz kargo eşiği 800 liraya konursa, bu on siparişten yalnız biri eşiği geçer. Operasyon müdürünün "çoğu geçer" cümlesi ortalamadan çıkmıştı ama medyanın sorusuna cevap vermeye çalışıyordu.

Bu, ortalamanın işe yaramadığı anlamına gelmez. İki özet farklı sorulara cevap verir. Gelecek ay on bin sipariş bekleniyorsa ve aynı dağılım sürüyorsa, toplam ciro beklentisi ortalamadan hesaplanır, medyandan değil:

Toplamlar, bütçeler ve ciro tahminleri ortalamayla kurulur; "tipik müşteri", "tipik çalışan" ya da "çoğu kişi" hakkındaki sorular medyanla cevaplanır. Hata, ikisinin yer değiştirmesinden doğar.

Aynı mantık maaşlarda da çalışır ve bu, gündelik hayatta en sık karşılaşılan örnektir. Dokuz kişilik bir ofiste sekiz çalışan 40.000 lira, yönetici 400.000 lira alıyorsa:

"Ofisimizde ortalama maaş 80.000 lira" cümlesi doğrudur ve aynı zamanda ofisteki dokuz kişiden sekizinin maaşının iki katıdır. Bu yüzden gelir ve ücret istatistiklerinde medyan sık kullanılır. Resmî istatistik kurumları göreli yoksulluk sınırını da çoğu zaman ortalama gelir yerine medyan gelirin belli bir oranı olarak tanımlar; ortalama, en yüksek gelirlerden fazlasıyla etkilenir.

Medyanın da sınırları var. Toplam hakkında hiçbir şey söylemez; iki kümenin medyanı aynı olup toplamları çok farklı olabilir. Az sayıda gözlemde de oynaktır: on siparişlik bir listede tek bir siparişin eklenmesi ortadaki değeri kaydırabilir. Bu yüzden iyi bir özet tek bir sayı değil, birkaç sayıdır: gözlem sayısı, ortalama, medyan ve en küçük ile en büyük değer. Bu dört sayı birlikte verildiğinde dağılımın biçimi de kabaca görünür; ortalama medyandan çok yüksekse, yukarıda birkaç büyük değer olduğu anlaşılır.

Üçüncü bir özet de var: mod, yani en sık görülen değer. Bir mağazada en çok satılan beden ya da en sık gelen sepet büyüklüğü bir moddur. Stok kararlarında işe yarar, ama finansta ortalama ve medyan kadar sık kullanılmaz.

Ortalama ve medyan bir veri kümesinin merkezini özetler. Bir karar için çoğu zaman merkez yetmez; değerlerin ne kadar yayıldığı da gerekir. İki şubenin aylık satışlarının ortalaması aynı olabilir: biri her ay aynı satışı yapar, öteki bir ay çok, bir ay az. İkinci şubenin nakit ihtiyacı birinciden büyüktür, çünkü zayıf ayları atlatacak bir tampona ihtiyaç duyar. Değerlerin yayılımını ölçmenin en basit yolu en küçük ve en büyük değeri, yani aralığı söylemektir. Daha sağlam ölçüler, örneğin standart sapma, Modül 19'da riskle birlikte kurulacak. Bu derste akılda kalması gereken şu: bir ortalama, yanında bir yayılım ölçüsü olmadan bir sözdür, bir plan değildir.

Vakalarda

Ama acil bir durum tam da ağır bir aya denk gelirse, ortalamayla hesaplanmış tampon yetmeyebilir:

Seda bunu "ortalama bir ay diye bir ay yok" diye özetliyor. İkisi tamponun hedefini en ağır üç aya göre koymaya karar veriyor ve bu hedefe bir yılda ulaşmak için her ay ne kadar ayırmaları gerektiğini ayrıca hesaplamaya karar veriyor.

Zeynep'in toplantısında ortalama, tipik müşteriyi yanlış tarif ediyordu ve medyan doğru özetti. Hakan ve Seda'da ortalama doğru bir sayıydı ama yayılımı gizliyordu; karar ortalamaya değil, en kötü aylara bakılarak verilmeliydi.

Ne biliyoruz

Yaygın hatalar

Finans Defteri

Defter: Dağılım sayfası: seri, ortalama, medyan, en küçük ve en büyük değer, farkın nedeni ve kararın hangi özete dayandığı.

Özet

1. Ortalama bir toplamın eşit paylaştırılmış hâlidir ve aykırı değerler onu kendi yönüne çeker.
2. Medyan tipik değeri gösterir; çarpık dağılımlarda gelir, ücret ve sipariş tutarı için daha doğru bir özettir.
3. Toplam, bütçe ve ciro tahmini ortalamayla; "çoğu kişi" ve "tipik olan" soruları medyanla cevaplanır.
4. Bir ortalama, yanında bir yayılım ölçüsü olmadan karar için yetmez; tampon ve kapasite dağılımın uçlarına göre kurulur.

Kendini sına

1. Zeynep'in on siparişinin ortalaması 850, medyanı 435 lira. Ücretsiz kargo eşiğini belirlerken hangisi kullanılmalı ve neden?
2. Sekiz çalışanı 40.000, yöneticisi 400.000 lira alan dokuz kişilik bir ofiste ortalama ve medyan maaş nedir?
3. Hanenin aylık ortalama gideri 42.000 lira olduğu hâlde tamponu neden 126.000 liradan yüksek tutmaları gerekiyor?

Yanıtlar

1. Medyan kullanılmalı, çünkü soru "müşterilerin çoğu eşiği geçer mi" sorusudur. Ortalama tek bir 4.700 liralık kurumsal siparişin etkisiyle yükselmiştir; on siparişin dokuzu 520 liranın altındadır. Kargo bütçesini hesaplarken ise toplam maliyet gerektiği için ortalama kullanılır.
2. Ortalama 80.000 liradır: sekiz kez 40.000 ile 400.000'in toplamı dokuza bölünür. Medyan 40.000 liradır, çünkü sıralanınca ortadaki beşinci kişi 40.000 alır. Ortalama dokuz kişiden sekizinin maaşının iki katıdır.
3. Çünkü giderleri dalgalıdır: dokuz ay 38.000, üç ay 54.000 liradır. En ağır üç ay 162.000 lira eder ve ortalamayla kurulan 126.000 liralık tampon 36.000 lira eksik kalır. Tampon ortalamaya değil, en kötü aylara göre kurulmalıdır.

Sonraki derse köprü

Hakan ve Seda'nın serisi tek bir yılın içindeydi ve aylar birbiriyle karşılaştırılabilirdi. Ama aynı hane geçen yılın giderini beş yıl önceki giderle karşılaştırmak isterse, iki yılın lirası aynı lira değildir; aradaki fiyat artışı, gider gerçekten artmasa da artmış gibi gösterir. Sonraki ders nominal ve reel değerleri ayırıyor ve geçmişteki bir tutarı fiyat endeksiyle bugünün parasına taşımayı gösteriyor.