Bileşik büyüme

Açılış

Samsun'daki özel hastanenin yönetim katında yıllık strateji toplantısı var. Genel müdür yardımcısı yatırımcılara gösterilecek sunumu bölüm sorumlularına önizletiyor. Kardiyoloji sayfasında büyük bir rakam duruyor: "Son beş yılda kardiyoloji gelirlerimiz yılda ortalama yüzde 35 büyüdü."

Dr. Kerem sayfanın altındaki küçük tabloya bakıyor. Yıl yıl büyüme oranları yazılmış: yüzde 80, eksi yüzde 10, yüzde 50, yüzde 20, yüzde 35. Beşini topluyor, beşe bölüyor; gerçekten 35 çıkıyor. Ama ikinci yılı hatırlıyor: o yıl iki kardiyolog ayrılmış, bölüm küçülmüştü. Bir yıl yüzde 10 küçülen bir bölümün beş yıl boyunca "yılda ortalama yüzde 35" büyüdüğünü söylemek ona doğru gelmiyor. Sunum yarın yatırımcılara gidecek ve rakamın altında kendi bölümünün adı yazıyor.

Tek fikir

Yıllık büyüme oranlarının basit ortalaması, çok yıllık büyümeyi olduğundan yüksek gösterir. Doğru özet, başlangıçtan sona aynı noktaya varan tek ve sabit yıllık orandır: yıllık bileşik büyüme oranı.

Kavram

Ders 1.2 her yüzde değişimin bir çarpan olduğunu gösterdi. Beş yıllık bir büyüme beş çarpanın ardışık uygulanmasıdır ve sonuç bu çarpanların çarpımıyla bulunur, toplamıyla değil. Kerem'in bölümünün beş yılı:

Sunumdaki yüzde 35 doğru olsaydı, yani bölüm her yıl yüzde 35 büyüseydi, beş yılın sonunda gelir başka bir kata ulaşırdı:

Fark yarım kattan fazla; başlangıçtaki her 100 liralık gelir için bu, beş yılın sonunda yaklaşık 55 liralık bir açık demek. Sunumdaki rakam bölümün gerçekte ulaştığı noktayı değil, daha yüksek bir noktayı tarif ediyor. Bunun nedeni, kötü yılın kaybının basit ortalamada eksi 10 olarak, yani küçük bir sayı gibi görünmesi. Oysa Ders 1.2'den biliyoruz: bir kaybı telafi etmek için kaybın kendisinden büyük bir kazanç gerekir. Basit ortalama bu asimetriyi görmez.

Kerem'in bölümü için bu oran beş yılın çarpımından hesaplanır. Çarpımın beşinci kökünü almak, "her yıl aynı oranda büyüseydi hangi oran bu sonuca götürürdü" sorusunun cevabıdır:

Sunumdaki yüzde 35 ile yüzde 31,5 arasındaki fark küçük görünebilir; ama yatırımcı bu sayıyı gelecek yıllara yayarak bir değer biçecekse, aradaki fark her yıl bileşik olarak büyür. Beş yıl sonra 4,48 kat ile 3,94 kat arasındaki açık budur.

Yıllık bileşik büyüme oranının ardındaki fikir, eski bir ortalama türüne dayanır.

Aritmetik ortalama toplanarak birikmiş şeyleri özetler: beş günde gelen hasta sayısının ortalaması gibi. Geometrik ortalama çarpılarak birikmiş şeyleri özetler: beş yılın büyüme çarpanları gibi. Büyüme oranları dalgalandıkça iki ortalama arasındaki fark açılır; oranlar her yıl aynıysa iki ortalama birbirine eşittir. Bu yüzden basit ortalama, en çok dalgalı serilerde yanıltır.

Hesabın kısa bir yolu da var: yıl yıl oranları bilmeye gerek yoktur. Başlangıç ve bitiş değeri ile yıl sayısı yeter. Kerem'in bölümünün yıllık geliri beş yıl önce 8 milyon lira, bu yıl 20 milyon liraysa:

Bu sonuç, tablodaki oranlardan bulunan yüzde 31,5 ile çelişiyor gibi görünüyor ve bu çelişki dört sorunun ikincisine dönüyor: hangi zamana ait? Tablodaki yüzdeler bölümün toplam gelirine değil, hastanenin raporladığı bir alt kaleme, belki yalnız ayakta hasta gelirine ait olabilir; ya da yıllar farklı tanımlarla hesaplanmış olabilir. İki uçtan hesap ile yıl yıl hesap aynı veriye uygulandığında aynı sonucu vermek zorundadır. Vermiyorsa, iki hesabın aynı şeyi ölçmediği anlaşılır ve soru sorulur.

İki uçtan hesapta en sık yapılan hata yıl sayısını yanlış saymaktır. Gelirin 2020 ve 2025 değerleri biliniyorsa aradaki süre beş yıldır, altı değil; tabloda altı sütun vardır ama beş büyüme dönemi vardır. Kökün derecesi sütun sayısı değil, dönem sayısıdır.

Aynı formül tersinden de kullanılır ve bütçe konuşmalarında en çok böyle karşımıza çıkar: bir hedefe belli bir sürede ulaşmak için yılda ne kadar büyümek gerekir? Bir kurum gelirini üç yılda iki katına çıkarmayı hedefliyorsa:

Bu sayı hedefin gerçekçi olup olmadığını sınamanın en kısa yoludur. Geçmiş beş yılın bileşik oranı yüzde 7 olan bir kurumdan yüzde 26 beklemek, plan değil umut olur.

Bir uyarı daha. Lira cinsinden bir büyüme oranı, o yılların fiyat artışını da içinde taşır. Yılda yüzde 20 büyüyen bir gelir, yılda yüzde 40 fiyat artışının olduğu bir dönemde reel olarak küçülmüştür. Bu ayrım Ders 1.6'da kurulacak; bileşik büyüme oranı yalnız aritmetiği düzeltir, enflasyonu düzeltmez.

Vakalarda

Basit ortalama gerçek büyümenin neredeyse iki katını gösteriyor. Gülsüm başkana, bağışçıların bu raporu okuyup bir sonraki yılın bütçesini yüzde 13 büyüme beklentisiyle kurabileceğini hatırlatıyor. Rapora "üç yılda toplam yüzde 23, yılda bileşik yüzde 7" yazılıyor ve dalgalanmanın nedeni, tek seferlik kampanya, bir cümleyle açıklanıyor. Başkan önce itiraz ediyor, yüzde 7'nin küçük göründüğünü söylüyor. Gülsüm'ün cevabı kısa: küçük ama doğru bir sayı, gelecek yıl tutturulamayan büyük bir sayıdan daha az soru doğurur.

İki durumda da basit ortalama yanlış hesaplanmamıştı; yanlış soruya cevap veriyordu. Kerem'in ve Gülsüm'ün sorduğu, "başlangıçtan bugüne yılda ne kadar büyüdük" sorusuydu ve onun cevabı çarpımdan çıkar.

Ne biliyoruz

Aritmetik ortalamanın da bir yeri var ve onu küçümsememek gerekir. Gelecek tek bir yılın beklenen büyümesini tahmin ederken aritmetik ortalama kullanılır; birden çok yılın birikmiş sonucunu özetlerken geometrik ortalama. Kerem'in sunumundaki sorun ortalamanın türü değil, sorulan soruyla eşleşmemesiydi.

Yaygın hatalar

Finans Defteri

Defter: Bileşik büyüme sayfası: seri, yıllık oranlar, basit ortalama, bileşik oran, fark ve hangisinin hangi soruya cevap verdiği.

Özet

1. Çok yıllık büyüme, yıllık çarpanların çarpımıdır; toplamı değildir.
2. Yıllık bileşik büyüme oranı, son değerin ilk değere oranının yıl sayısı kadar kökünden bir çıkarılarak bulunur.
3. Dalgalı serilerde basit ortalama, bileşik orandan her zaman büyüktür ve gerçekleşen büyümeyi abartır.
4. Bileşik oran aritmetiği düzeltir, enflasyonu düzeltmez; reel büyüme ayrıca hesaplanır.

Kendini sına

1. Bir gelir beş yılda yüzde 80, eksi yüzde 10, yüzde 50, yüzde 20 ve yüzde 35 değişti. Basit ortalama ve bileşik oran nedir?
2. Bir bölümün geliri beş yılda 8 milyondan 20 milyona çıktı. Yıllık bileşik büyüme oranı yaklaşık kaçtır?
3. Gülsüm'ün derneğinde bağışlar yüzde 60 arttı, yüzde 30 düştü, yüzde 10 arttı. Rapora neden "yılda yüzde 13" yazılmamalı?

Yanıtlar

1. Basit ortalama yüzde 35'tir. Beş çarpanın çarpımı yaklaşık 3,94'tür; bunun beşinci kökünden bir çıkarılınca bileşik oran yaklaşık yüzde 31,5 bulunur. Sabit yüzde 35 büyüme beş yılda 4,48 kat ederdi; gerçekleşen 3,94 kattır.
2. Yirmi milyonun sekiz milyona oranı 2,5'tir. Bunun beşinci kökünden bir çıkarılınca yaklaşık yüzde 20 bulunur. Bu oran lira cinsindendir; enflasyon ayrıca hesaba katılmalıdır.
3. Çünkü yüzde 13 basit ortalamadır ve dalgalanmayı hesaba katmaz. Üç yılın çarpımı 1,232'dir; bileşik oran yılda yaklaşık yüzde 7'dir. Yüzde 13 yazmak, bağışçıların gelecek yılı gerçekleşmemiş bir büyümeyle planlamasına yol açabilir.

Sonraki derse köprü

Kerem'in sunumundaki uyuşmazlığın kaynağı aritmetik değil, tanımdı: tablodaki yüzdeler toplam gelirin değil, bir alt kalemin büyümesini gösteriyordu. Bir oranın neyin neye bölümü olduğu sorusu, finansın en çok atlanan sorusudur. Sonraki ders oran ve payda ilişkisini ve paydası sessizce değişen göstergelerin tuzağını işliyor.