Artış ve azalışın asimetrisi

Açılış

Kadıköy'deki ofiste kasım kampanyası toplantısı yapılıyor. Zeynep'in ekibi bir ev tekstili ürününü, 400 liralık nevresim takımını, kampanya boyunca yüzde 25 indirimle satmayı öneriyor. Satış müdürü işin sonunu da planlamış: "Kampanya bitince fiyatı yüzde 25 artırırız, eski fiyata döneriz."

Herkes başını sallıyor. Bir de ajansın önerisi var: tek seferde yüzde 40 indirim yerine "yüzde 20 indirim, sepette ek yüzde 25" yazan bir afiş. Ajans, müşterinin ikincisini daha cazip bulduğunu söylüyor. Zeynep afiş taslağına bakarken bir sayıya takılıyor: yüzde 20 ile yüzde 25'in toplamı 45 ediyor, ama ajans bunu yüzde 40'a eşdeğer diye sunuyor. Bir yanda kampanya sonrası fiyatın eski yerine döneceği varsayımı, öbür yanda yan yana yazılmış iki indirim. Toplantı bitmeden ikisinin de hesabını yapmak istiyor.

Tek fikir

Yüzdeyle söylenen bir azalış ve aynı yüzdeyle söylenen bir artış birbirini götürmez, çünkü ikisi farklı tabanlara uygulanır. Kaybı geri kazanmak için gereken artış her zaman kaybın kendisinden büyüktür.

Kavram

Satış müdürünün planı sezgiye uygun görünüyor: yüzde 25 aşağı, yüzde 25 yukarı. Ama iki değişim aynı sayıya uygulanmıyor. İndirim 400 liraya uygulanıyor, zam ise indirimli fiyata, yani 300 liraya. Aynı yüzde, küçülmüş bir tabanda daha küçük bir tutar ediyor.

Fiyatı eski yerine getirmek için yüzde 25 değil, yaklaşık yüzde 33 zam gerekiyor. Bu fark bir yuvarlama hatası değil, yüzdenin doğasından geliyor. Her yüzde değişim aslında bir çarpandır: yüzde 25 azalış 0,75 ile, yüzde 25 artış 1,25 ile çarpmaktır. İki çarpanın çarpımı bire eşit değildir.

Sıranın bir önemi yoktur ve bu da sık karıştırılan bir noktadır. Bazı satıcılar "önce yüzde 25 zam yapıp sonra yüzde 25 indirim yaparsak başa döneriz" diye düşünür. Çarpma işleminde sıra sonucu değiştirmez; önce zam, sonra indirim de aynı kaybı verir:

Bu son satırdaki örnek asimetrinin büyüdüğü yeri gösteriyor. Küçük yüzdelerde fark küçüktür: yüzde 10 düşüp yüzde 10 yükselen bir değer yalnız yüzde 1 kaybeder. Kayıp büyüdükçe fark hızla açılır. Yarıya düşen bir değer yüzde 50 artarsa başlangıcın yalnız dörtte üçüne döner; yarıya düşen bir değerin eski yerine dönmesi için iki katına çıkması, yani yüzde 100 artması gerekir.

Bu terim yatırımcıların asimetriyi neden ciddiye aldığını açıklar. Bir birikim yüzde 20 kaybettiğinde, eski yerine dönmek için kalan paranın yüzde 25 kazanması gerekir. Yüzde 50 kaybettiğinde yüzde 100, yüzde 75 kaybettiğinde yüzde 300. Kaybı geri kazanmak için gereken artış, kalan tutarın tersinden hesaplanır:

Tablonun okunuşu basit ama sonucu derindir. Kayıplar ile kazançlar aynı ölçekte değildir; büyük bir kayıptan çıkmak, aynı büyüklükte bir kazançtan çok daha uzun sürer. Bu yüzden finans konuşmalarında "yüzde kaç kaybettik" sorusunun yanına "geri dönmek için yüzde kaç kazanmamız gerekiyor" sorusu konur.

Asimetri zamana da yansır. Yarıya düşmüş bir birikimin her yıl yüzde 10 kazandığını varsayalım. Eski yerine dönmesi için iki katına çıkması gerekir ve bu, yedi yılda bile tamamlanmaz:

Tek bir kötü yılın kaybı, sekiz iyi yılın kazancıyla kapanıyor. Bu hesabın arkasındaki bileşik büyüme mantığı bir sonraki dersin konusu.

Asimetrinin ikinci yüzü, ardışık indirimlerde görünür. Ajansın afişindeki "yüzde 20, sepette ek yüzde 25" indirimi toplam yüzde 45 değildir. İkinci indirim, birincisinden sonra kalan fiyata uygulanır:

Ajansın iddiası aritmetik olarak doğru: iki indirim tek bir yüzde 40'a eşdeğer. Ajansın söylemediği şey, müşterinin bu eşdeğerliği çoğu zaman görmediği ve iki sayıyı toplama eğiliminde olduğu. Bu, satış ekibinin işine yarayabilir; ama aynı eğilim, bir kampanya planlayan kişinin kendi hesabında da iş başındadır.

Vakalarda

Toplantının sonunda Zeynep bir alternatif hesap gösteriyor. Kampanya indirimi yüzde 15 olursa, ocakta eski fiyata dönmek için gereken zam çok daha küçük kalıyor:

Hangi indirimin daha çok satış getireceğini bu hesap söylemiyor; o, kampanya verisiyle sınanacak bir soru. Söylediği şey, indirimin büyüklüğü seçilirken kampanya sonrasının da seçildiği.

Ödenek iki yıl önceki tutarın hâlâ 1.800.000 lira gerisinde. Üstelik bu hesap yalnız nominal tutara bakıyor; aynı iki yılda fiyatlar arttıysa, satın alma gücündeki açık bundan da büyük. Ayten Hanım komisyon için tek cümlelik bir not yazıyor: "Yüzde 30 artış, yüzde 30 kesintiyi telafi etmez; telafi için yüzde 43 gerekir, enflasyon ayrıca hesaba katılmalıdır."

İki durumda da yanlış olan bir hesap değil, bir varsayım: aynı yüzdenin geri getireceği. Zeynep'te bu varsayım fiyat planını, Ayten Hanım'da bir kurumun bütçesini etkiliyor. Her iki durumda da çözüm aynı: yüzdeyi bir an için bırakıp tutara dönmek ve sonucu başlangıç tutarıyla karşılaştırmak.

Ne biliyoruz

Yaygın hatalar

Finans Defteri

Defter: Asimetri sayfası: başlangıç tutarı, düşüş yüzdesi, artış yüzdesi, son tutar ve eski yere dönmek için gereken artış.

Özet

1. Her yüzde değişim bir çarpandır; ardışık değişimler toplanmaz, çarpılır.
2. Aynı yüzdeyle bir azalış ve bir artış başlangıca döndürmez, çünkü ikisi farklı tabanlara uygulanır.
3. Bir kaybı geri kazanmak için gereken artış, kalan tutarın tersinden hesaplanır ve kayıp büyüdükçe hızla büyür.
4. Ardışık indirimler toplam olarak tek bir indirimden azdır; müşteriler bunları toplama eğilimindedir.

Kendini sına

1. 400 liralık bir ürün yüzde 25 indirimle satıldı, kampanya bitince yüzde 25 zam yapıldı. Son fiyat nedir ve eski fiyata dönmek için kaç zam gerekirdi?
2. Yüzde 20 indirimin ardından sepette yapılan ek yüzde 25 indirim toplam kaç yüzde eder?
3. Ayten Hanım'ın ödeneği yüzde 30 kesildikten sonra yüzde 30 artırıldı. Ödenek neden iki yıl önceki tutara dönmedi?

Yanıtlar

1. Son fiyat 375 liradır: 400 lira 0,75 ile çarpılıp 300'e iner, 300 de 1,25 ile çarpılıp 375'e çıkar. Eski fiyata dönmek için 400'ün 300'e bölümünden bir çıkarılır; yaklaşık yüzde 33 zam gerekir.
2. Yüzde 40 eder. İkinci indirim ilkinden kalan fiyata uygulandığı için 0,80 ile 0,75'in çarpımı 0,60'tır; ödenen fiyat başlangıcın yüzde 60'ı, indirim yüzde 40'tır. Toplama yüzde 45 der ve yanılır.
3. Çünkü yüzde 30'luk artış kesintiden sonra kalan 14 milyon liraya uygulandı ve 18,2 milyon lira etti. Yirmi milyona dönmek için yaklaşık yüzde 43 artış gerekirdi; enflasyon hesaba katılınca açık daha da büyüktür.

Sonraki derse köprü

Ayten Hanım'ın ödeneği iki yılda iki yüzde değişim yaşadı ve sonucu, iki çarpanın çarpımı belirledi. Peki bir değer beş yıl boyunca her yıl farklı oranlarda değişirse, bu beş yılı tek bir yıllık oranla nasıl özetleriz? Yıllık oranların basit ortalaması burada da yanıltır. Sonraki ders bileşik büyümeyi ve yıllık bileşik büyüme oranını hesaplıyor.