Değişmezlik

Açılış sahnesi

Kerem, Defne'nin dolu servisini yeniden düşünüyor. Tek bir serviste, bütün yataklar doluyken, "hasta" kavramı evrenin tamamını kapsıyordu ve Tarski'nin sınamasından geçiyordu. Kerem, sınamayı tek bir servisle sınırlamamayı öneriyor. Yirmi hastanın yattığı servisi, aynı binada yirmi kişinin bulunduğu bir koridorla karşılaştırıyor. Koridordakilerin bazıları hastaydı, bazıları hemşire, bazıları ziyaretçi. İki topluluk arasında, her kişiyi bir kişiye eşleyen bir eşleme kurulabilirdi. Kerem, "hasta" kavramı gerçekten mantıksal olsaydı, bu eşleme altında da korunması gerektiğini düşünüyor: servisin tamamı eşlemeyle koridorun tamamına gidiyordu, ama koridorun tamamı hasta değildi. Kavram, evrenler arasında korunmuyordu. Kerem, sınamanın bu genişletilmiş biçiminin, dolu servisin yanıltıcı sonucunu düzelttiğini görüyor. Ama bu genişletmenin başka neyi mantığın içine alıp neyi dışarıda bıraktığını bilmiyordu.

Selin, bu genişletmenin Gila Sher'in savunduğu ölçüt olduğunu hatırlıyor. Tolga, genişletilmiş ölçütün "sonsuz sayıda" ya da "tam yedi" gibi sayma kavramlarını hâlâ mantıksal saydığını ve bazı mantıkçıların bunu fazla bulduğunu söylüyor. Lina, bir sözcüğün her evrende aynı anlama gelmesi ile her evrende aynı yapıyı gözetmesi arasında bir fark olup olmadığını merak ediyor. Barış, bir mecliste karar yeter sayısının, üyelerin kim olduğundan bağımsız, yalnızca sayılarına bağlı olduğunu ve bunun onu mantıksal bir kavram yapıp yapmadığını soruyor. Defne ise hastane kayıtlarında aynı kişiye ait iki kaydın birleştirildiği durumlarda, hangi kavramların bu birleştirmeye dayandığını düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Mantık Felsefesi kursunda, Tarski'nin tek bir evrende tanımladığı yer değiştirme ölçütünün evrenler arasına nasıl genişletildiğini, bu genişletmenin sabit evrende ortaya çıkan yanlış sonuçları nasıl düzelttiğini ve ölçütün fazla geniş olduğu itirazlarının neyi hedeflediğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Tarski dersi, yer değiştirme ölçütünün Klein'ın Erlangen programından geldiğini, mantıkla tanımlanabilen her kavramın bu ölçütten geçtiğini ve ölçütün tek bir evrende uygulandığında rastlantısal kavramları mantıksal sayabildiğini gösterdi. Akademinin önceki derslerinde yapıca eşlik, yer değiştirme altında değişmezlik, genelleştirilmiş niceleyici kavramları tanımlanmış, Sher'in Mantığın Sınırları kitabı da model kuramsal tanımın bir savunusu olarak tanıtılmıştı. Bu ders, değişmezlik ölçütünü bu modülün kapanışı olarak ele alıyor: ölçüt nasıl genişletilir ve genişletilmiş biçimi mantığın sınırını nereye çizer?

Sonra üç kaynağa bakacağız. Gila Sher, Mantığın Sınırları kitabının mantıksal terimleri tanımladığı bölümünde, Tarski'nin ölçütünü evrenler arasındaki yapıca eşlikler altında değişmezlik olarak genişletir. Vann McGee, 1996 tarihli Mantıksal İşlemler makalesinde, bu genişletilmiş ölçütten geçen işlemlerin tam olarak hangileri olduğunu belirler ve ölçütün tek başına yeterli olmadığını gösteren bir örnek verir. Solomon Feferman, 1999 tarihli Mantık, Mantıklar ve Mantıkçılık makalesinde, genişletilmiş ölçütün mantığı matematikle karıştırdığını savunur ve daha dar bir ölçüt önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: değişmezliğin matematiğin tartışmalı sorularını mantığa taşıdığı, anlamı değil yalnızca kaplamı sınadığı ve hangi dönüşüm ailesinin seçileceğinin keyfî olduğu itirazları.

Sonda, bir kavramın değişmezlik ölçütüne göre mantıksal olup olmadığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: kavramın her evrene ne atadığını yazmak, iki evren arasında bir yapıca eşlik kurmak, kavramın bu eşlik altında korunup korunmadığını sınamak ve seçilen dönüşüm ailesinin neyi görmezden geldiğini adlandırmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: Yer değiştirme ölçütü evrenler arasına genişletildiğinde mantıksal kavramları doğru ayırt eder mi ve bu ölçütün fazla geniş olduğu itirazları neyi gösterir?

Ölçülü iddiam şu: Tarski'nin ölçütü tek bir evrenin kendi içindeki yer değiştirmelerine bakıyordu ve bu yüzden bir kavramın anlamını o evrenin rastlantısal durumundan ayıramıyordu. Sher'in genişletmesi, bir kavramı her evrene bir kaplam atayan bir işlem olarak ele alır ve bu işlemin evrenler arasındaki bütün yapıca eşlikler altında korunmasını ister. Bu genişletme, dolu servisin yanıltıcı sonucunu düzeltir: "hasta" kavramı, farklı evrenler arasında korunmaz. Ama genişletme, "sonsuz sayıda", "tam yedi" ve "çoğu" gibi sayma kavramlarını mantığın içinde bırakır. McGee, genişletilmiş ölçütten geçen işlemlerin, sonsuz uzunlukta formüllere izin veren bir dilde tanımlanabilen işlemlerle tam olarak örtüştüğünü gösterdi. Aynı zamanda, ölçütten geçtiği hâlde mantıksal olmayan tuhaf işlemler kurulabildiğini de gösterdi. Feferman, ölçütün mantığı matematiğin büyüklük sorularına bağladığını savundu ve yapıca eşlikler yerine daha gevşek eşlemeleri, birden çok nesneyi tek bir nesneye götürebilen eşlemeleri önerdi. Bu dar ölçüt ise özdeşliği bile dışarıda bırakıyordu. Değişmezlik ölçütleri, bu yüzden bir aile oluşturur: her biri farklı bir dönüşüm ailesi seçer ve bu seçim, mantığın neyi görmezden geleceğini belirler. Sonuç olarak değişmezlik, konu tarafsızlığın güçlü bir ölçüsüdür, ama tek başına mantıksallığın tanımı değildir. Hangi dönüşüm ailesinin seçileceği, mantığın ne için kullanıldığına bağlıdır ve bu soru, tek bir doğru mantığın bulunup bulunmadığı sorusuna açılır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci değişmezlik ölçütünü öğrendiğinde, onu çoğu zaman tek bir sınama sanır. Nesneler karıştırılır, kavramın değişip değişmediğine bakılır. Ama "karıştırmak" birçok şey demek olabilir. Tek bir evrenin nesneleri kendi aralarında karıştırılabilir. Bir evrenin nesneleri başka bir evrenin nesnelerine eşlenebilir. Birden çok nesne tek bir nesneye götürülebilir. Her karıştırma türü, farklı bir ölçüt verir.

Klein'ın dizisi bunu önceden göstermişti. Dönüşüm ailesi genişledikçe korunan kavramlar azalır. Mantık, bu dizinin ucundaydı, ama "uç" tek bir nokta değildir. Yapıca eşlikler, bire bir ve tam eşlemelerdir. Onlardan daha gevşek eşlemeler de vardır: iki nesneyi aynı nesneye götürebilen ya da bir evrenin yalnızca bir parçasını öteki evrene taşıyan eşlemeler. Daha gevşek eşlemeler, daha az kavramı korur ve daha dar bir mantık verir.

Bu yüzden değişmezlik tartışması, tek bir ölçütün doğru olup olmadığı tartışması değil, hangi dönüşüm ailesinin mantığa uygun olduğu tartışmasıdır. Her seçim, mantığın neyi umursamayacağına dair bir karardır. Yapıca eşlikleri seçen biri, mantığın nesnelerin kimliğini umursamamasını, ama sayılarını umursamasını ister. Daha gevşek eşlemeleri seçen biri, mantığın sayıları da umursamamasını ister.

Görüşler ve pozisyonlar

Genişletilmiş değişmezlik ölçütünün değeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, yeterlilik görüşüdür. Buna göre evrenler arası değişmezlik, mantıksallığın hem gerekli hem yeterli koşuludur. Sayma kavramlarının mantığa girmesi bir kusur değil, mantığın doğru kapsamının keşfidir. Sher bu görüşü savunur.

İkinci görüş, daraltma görüşüdür. Buna göre değişmezlik doğru bir fikirdir, ama yapıca eşlikler yanlış dönüşüm ailesidir. Mantık, sayıları da görmezden gelmelidir ve bu yüzden daha gevşek eşlemeler altında değişmezlik istenmelidir. Feferman bu görüşün bir biçimini savunur.

Üçüncü görüş, tamamlama görüşüdür. Buna göre değişmezlik, mantıksallığın gerekli bir koşuludur, ama hangi dönüşüm ailesi seçilirse seçilsin yeterli değildir. Bir terimin mantıksal olması için, değişmezliğin yanında, anlamının bütün evrenlerde tek biçimde verilebilmesi ya da çıkarım kurallarıyla belirlenebilmesi gibi ek koşullar gerekir. McGee'nin örneği bu görüşü destekler.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün, değişmezliğin konu tarafsızlığın güçlü bir ölçüsü olduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, genişletilmiş ölçütün sabit evren sorununu çözdüğünü doğru görür. Ama ölçütten geçen tuhaf işlemleri açıklayamaz. İkinci görüş, sayma kavramlarının mantığa girmesinin bir bedel taşıdığını doğru görür. Ama bu bedeli ödemek için başka bir bedel öder: özdeşliği kaybeder. Üçüncü görüş, değişmezliği başka ölçütlerle birleştirir ve bu modülün önceki derslerinde görülen çıkarımsal sınamalarla bir bütün oluşturur.

Argümanın yapısı

Bir kavramın değişmezlik ölçütüne göre mantıksal olup olmadığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kavramın her evrene ne atadığını yazmaktır. Değerlendiren, kavramı tek bir evrendeki kaplamı olarak değil, her evrene bir kaplam atayan bir işlem olarak yazar.

İkinci adım, iki evren arasında bir yapıca eşlik kurmaktır. Değerlendiren, iki evreni ve onların taşıdığı yapıları birbirine bire bir ve tam olarak eşleyen bir eşlik seçer.

Üçüncü adım, kavramın bu eşlik altında korunup korunmadığını sınamaktır. Değerlendiren, kavramın birinci evrene atadığı kaplamın eşlikle, kavramın ikinci evrene atadığı kaplama gidip gitmediğini sorar.

Dördüncü adım, seçilen dönüşüm ailesinin neyi görmezden geldiğini adlandırmaktır. Değerlendiren, sınamanın hangi farkları önemsiz saydığını ve hangilerini gözettiğini açıkça yazar ve bu seçimin mantığın amacına uygun olup olmadığını sorar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Değişmezliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Tarski'nin tek evrenli ölçütü, bir kavramın anlamını evrenin rastlantısal durumundan ayıramıyordu. Kerem'in servisi ve koridorunda görüldüğü gibi, Sher'in evrenler arası genişletmesi bu sorunu çözer. Ama Lina'nın "tam yedi"sinde görüldüğü gibi, genişletilmiş ölçüt sayma kavramlarını mantığın içinde bırakır. McGee, ölçütten geçen işlemlerin sonsuz dilde tanımlanabilen işlemler olduğunu gösterdi. Selin'in tuhaf bağlacında görüldüğü gibi, ölçüt anlamın tek biçimliliğini sınamaz. Feferman, daha gevşek eşlemeler önererek sayma kavramlarını dışarıda bıraktı. Ama Tolga'nın birleşen kayıtlarında ve Defne'nin birleşik hasta kaydında görüldüğü gibi, bu ölçüt özdeşliği de dışarıda bırakır. Barış'ın karar yeter sayısı, değişmezliğin sayıları gözeten bir tarafsızlık olduğunu gösterdi. Değişmezlik ölçütleri bir aile oluşturur ve her biri mantığın neyi görmezden geleceğine dair bir karar verir. Değişmezlik, konu tarafsızlığın güçlü bir ölçüsüdür, ama tek başına mantıksallığın tanımı değildir. Hangi dönüşüm ailesinin seçileceği mantığın ne için kullanıldığına bağlıdır.

Açık kalan sorular

Lina'nın "tam yedi"si, sayma kavramlarının konu tarafsız olduğunu ama saymayı gerektirdiğini gösterdi. Konu tarafsızlık ile saymadan bağımsızlık ayrı özelliklerse, mantığın asıl özelliği hangisidir? Yoksa mantık, ikisini birlikte taşıyan kavramlarla mı sınırlıdır?

Selin'in tuhaf bağlacı, değişmezliğin anlamın tek biçimliliğini sınamadığını gösterdi. Anlamın tek biçimliliği, çıkarım kurallarından başka bir yolla da sınanabilir mi? Bir terimin her evrende "aynı ilkeyle" işlemesi, kesin olarak tanımlanabilir bir koşul mudur?

Defne'nin birleşik hasta kaydı, hangi dönüşüm ailesinin seçileceğinin akıl yürütmenin amacına bağlı olduğunu gösterdi. Farklı amaçlar farklı mantıklar gerektiriyorsa, tek bir doğru mantıktan söz etmek anlamlı mıdır? Yoksa farklı dönüşüm aileleri, tek bir mantığın farklı parçalarını mı seçer?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Tarski'nin tek evrenli ölçütü evrenler arasına genişletildiğinde, bir kavram her evrene bir kaplam atayan bir işlem olarak ele alınır ve bütün yapıca eşlikler altında korunması istenir; bu genişletme sabit evrenin rastlantısal kaplamlarından doğan yanlış sonuçları düzeltir.

Sher'in 1991 tarihli kitabı genişletilmiş ölçütü savunup sayma kavramlarını mantığa aldı, McGee'nin 1996 tarihli makalesi ölçütten geçen işlemlerin sonsuz dilde tanımlanabilen işlemler olduğunu ve ölçütün anlamın tek biçimliliğini sınamadığını gösterdi, Feferman'ın 1999 tarihli makalesi ise daha gevşek eşlemeler önererek sayma kavramlarını dışarıda bıraktı ama özdeşliği de kaybetti.

Bir kavramın değişmezlik ölçütüne göre mantıksallığı dört adımla değerlendirilir: kavramın her evrene ne atadığını yazmak, iki evren arasında bir yapıca eşlik kurmak, kavramın bu eşlik altında korunup korunmadığını sınamak ve seçilen dönüşüm ailesinin neyi görmezden geldiğini adlandırmak.

Matematiği mantığa taşıma, yalnızca kaplamı sınama ve dönüşüm ailesi seçiminin keyfîliği itirazları, değişmezliğin çıkarımsal sınamalarla birlikte kullanılabildiğini, tek biçimliliğin çıkarım kurallarıyla sınanabildiğini ve seçimin mantığın amacıyla gerekçelendirilebildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden değişmezlik, konu tarafsızlığın güçlü bir ölçüsüdür, ama tek başına mantıksallığın tanımı değildir ve hangi dönüşüm ailesinin seçileceği, mantığın ne için kullanıldığına bağlıdır.

Sonraki derse köprü

Değişmezlik ölçütleri bir aile oluşturuyordu ve her biri farklı bir mantık veriyordu. Kerem, bunun rahatsız edici bir sonucu olduğunu fark ediyor. Mantık, bir sonucun öncüllerden çıkıp çıkmadığını söyleyen tek bir hakem olmalıydı. Ama hakemin kendisi, hangi dönüşüm ailesinin seçildiğine göre değişiyorsa, hangi hakemin doğru olduğunu kim söyleyecekti?

Selin, daha önce incelenen klasik, sezgici, ilgili ve parakonsistent mantıkların farklı çıkarımları geçerli saydığını hatırlatıyor. Bunlardan biri doğru, ötekiler yanlış mıydı? Tolga, bu mantıkların aynı sözcükleri, "değil"i ya da "ise"yi farklı anlamlarda kullandıklarını, bu yüzden aralarında gerçek bir anlaşmazlık bulunmadığını ileri sürüyor. Lina ise iki kişinin aynı sözcükle farklı şeyler kastettiğinde, anlaşmazlığın ortadan kalkmadığını, yalnızca başka bir yere, hangi anlamın doğru olduğu sorusuna taşındığını söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Tek doğru mantık dersi, bir tek doğru mantığın bulunduğu görüşünün neye dayandığını, farklı mantıklar arasındaki anlaşmazlığın gerçek bir anlaşmazlık mı yoksa sözcüklerin farklı anlaşılması mı olduğunu ve mantıksal tekçiliğin hangi gerekçelerle savunulduğunu soruyor.