Tarski

Açılış sahnesi

Kerem, kütüphanenin kat planını masaya yayıyor. Plan, rafların yerlerini ve her rafta hangi nüshaların durduğunu gösteriyordu. Kütüphaneci, rafları bir gün başka bir salona taşıyacaklarını, ama aralarındaki uzaklıkları koruyacaklarını söylemişti. Kerem, taşımadan sonra hangi bilgilerin doğru kalacağını düşünüyor. "Yüz on yedinci nüsha kuzey duvarının dibinde" bilgisi yanlış olacaktı. "Yüz on yedinci nüsha yüz on sekizinci nüshanın bir metre solunda" bilgisi doğru kalacaktı. Sonra kütüphanecinin başka bir önerisini düşünüyor: nüshaları tamamen karıştırıp rastgele raflara dağıtmak. Bu karıştırmadan sonra, uzaklıklar da, komşuluklar da, raf sırası da bozulacaktı. Geriye ne kalırdı? Kerem, iki yüz nüsha olduğu bilgisinin, iki nüshanın aynı nüsha olup olmadığı bilgisinin ve "her nüsha bir rafta durur" gibi bilgilerin hâlâ doğru kalacağını görüyor.

Selin, bu düşüncenin Tarski'nin mantıksal kavramlara ilişkin önerisinin çekirdeği olduğunu hatırlıyor. Tolga, Tarski'nin 1936 tarihli makalesinin sonunda mantıksal sabitlerle öteki sözcükler arasında keskin bir sınır bulunmadığını yazdığını, bu önerinin o açık soruya otuz yıl sonra verilmiş bir cevap olduğunu söylüyor. Lina, küçük bir evrende hangi kavramların bu karıştırmaya dayandığını tek tek saymayı öneriyor. Barış, hukukta kişilerin adları değiştirildiğinde de aynı sonucu veren kuralların, adalet açısından başka bir değer taşıdığını düşünüyor. Defne ise bir servisin bütün yatakları doluysa, "hasta" sözcüğünün bu karıştırmaya dayanıp dayanmayacağını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Mantık Felsefesi kursunda, Tarski'nin mantıksal kavramları neyle ayırt etmeyi önerdiğini, bu önerinin 1936 tarihli mantıksal sonuç tanımının açık bıraktığı mantıksal sabitler sorusuna nasıl bir cevap verdiğini ve bu cevabın hangi kavramları mantığın içine aldığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu modülün önceki iki dersi, bağlaçlar ve niceleyiciler için mantıksallık ölçütlerini inceledi ve anlambilimsel bir sınamanın, bir kavramın nesnelerin yer değiştirmesi altında korunup korunmadığını soran sınamanın, çıkarımsal sınamadan farklı sonuçlar verdiğini gösterdi. Akademinin önceki derslerinde ise Tarski'nin 1936 tarihli mantıksal sonuç tanımı, 1966 tarihli Mantıksal Kavramlar Nelerdir konferansı ve yer değiştirme altında değişmezlik kavramı tanıtılmış, bu ölçüte göre özdeşliğin, bağlaçların ve niceleyicilerin mantıksal sayıldığı kısaca belirtilmişti. Bu ders, bu öneriyi kendi başına ele alıyor: Tarski'nin ölçütü nereden gelir, neyi mantığın içine alır ve neyi açık bırakır?

Sonra üç kaynağa bakacağız. Felix Klein, 1872 tarihli Erlangen programında, farklı geometrileri, uzayın hangi dönüşümleri altında korunan kavramları incelediklerine göre sınıflandırır. Adolf Lindenbaum ile Alfred Tarski, 1935'te yayımlanan ortak çalışmalarında, mantığın araçlarıyla tanımlanabilen her kavramın nesnelerin bire bir yer değiştirmesi altında korunduğunu gösterir. Tarski, 1966 tarihli konferansında, bu iki düşünceyi birleştirerek mantıksal kavramlar için bir ölçüt önerir ve bu ölçütün mantık ile matematik arasındaki sınır hakkında ne söylediğini tartışır.

Ardından üç itirazı tartacağız: ölçütün sabit bir evrende tanımlandığı için rastlantısal kavramları mantıksal saydığı, matematiğin bütününü mantığa kattığı ve mantıksallık için gerekli olsa da yeterli olmadığı itirazları.

Sonda, bir kavramın Tarski'nin ölçütüne göre mantıksal olup olmadığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: kavramın hangi türden bir nesne olduğunu belirlemek, bir yer değiştirme seçmek, kavramın bu yer değiştirme altında korunup korunmadığını sınamak ve sonucu kavramın hangi evrende sınandığına göre değerlendirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: Tarski'nin önerdiği yer değiştirme ölçütü mantıksal kavramları nasıl ayırt eder ve bu ölçüt mantık ile matematik arasındaki sınır hakkında ne söyler?

Ölçülü iddiam şu: Tarski'nin önerisi, Klein'ın geometriler için kurduğu bir düşünceyi mantığa taşır. Klein'a göre her geometri, uzayın belirli bir dönüşümler ailesi altında korunan kavramları inceler. Dönüşümler ailesi genişledikçe, korunan kavramlar azalır ve geometri daha genel hâle gelir. Tarski, bu dizinin en ucuna mantığı yerleştirdi. Mantık, evrenin nesnelerinin bütün bire bir yer değiştirmeleri altında korunan kavramları inceler. Bu ölçüt, hiçbir tek nesnenin mantıksal olmadığını, bir evrende yalnızca iki sınıfın, boş sınıfın ve evrenin tamamının, mantıksal olduğunu, iki yerli ilişkilerden yalnızca dördünün mantıksal olduğunu söyler. Lindenbaum ile Tarski'nin sonucu, bu ölçütün tanımlanabilirlikle uyumlu olduğunu gösterir: mantığın araçlarıyla tanımlanan her kavram, bu ölçütten geçer. Ama ölçüt, mantık ile matematik arasındaki sınırı kendi başına çizmez. Tarski'nin kendisinin gördüğü gibi, kümeler tip kuramındaki gibi ele alınırsa, üyelik ilişkisi ve onunla birlikte matematiğin büyük bölümü mantıksal sayılır. Kümeler birinci derece bir kuramın nesneleri olarak ele alınırsa, üyelik ilişkisi mantıksal sayılmaz. Tarski, bu yüzden matematiğin mantığa indirgenip indirgenemeyeceği sorusunun, ölçütün değil, kümelerin nasıl ele alındığının bir sonucu olduğunu söyledi. Sonuç olarak Tarski'nin ölçütü, mantıksal sabitlerin seçimini keyfîlikten kurtaran güçlü bir ilkedir, ama bu ilkenin hangi kavramları mantığa aldığı, onun hangi evrende ve hangi kuram çerçevesinde uygulandığına bağlıdır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci Tarski'nin önerisini ilk duyduğunda, onu çoğu zaman teknik bir sınama sanır. Bir kavram alınır, nesneler karıştırılır, kavramın değişip değişmediğine bakılır. Sınama geçilirse kavram mantıksaldır, geçilmezse değildir. Bu okumada öneri, bir listeyi doğrulamak için kullanılan bir araçtır ve arkasında bir düşünce bulunmaz.

Ama önerinin arkasında bir düşünce vardır. Mantığın konu tarafsız olduğu söylenir: mantık, hangi konu hakkında konuşulursa konuşulsun aynı biçimde işler. Tarski bu düşünceyi kesinleştirmeye çalıştı. Bir kavram, belirli nesnelere, onların kimliklerine ya da aralarındaki özel ilişkilere duyarlıysa, konu tarafsız değildir. Nesneleri istediğimiz gibi karıştırdığımızda bile değişmeyen bir kavram ise hiçbir nesneye özel bir ilgi göstermez. Yer değiştirme sınaması, konu tarafsızlığın bir ölçüsüdür.

Bu düşüncenin bir kaynağı da vardır: geometri. On dokuzuncu yüzyılda geometriler çoğalmıştı ve bunları birbirine bağlayan bir ilke aranıyordu. Klein'ın cevabı, her geometrinin belirli dönüşümler altında korunan kavramları incelediğiydi. Tarski'nin önerisi, bu cevabı geometrinin ötesine, en genel dönüşümlere taşır.

Görüşler ve pozisyonlar

Tarski'nin yer değiştirme ölçütünün değeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, tanım görüşüdür. Buna göre Tarski'nin ölçütü, mantıksal kavramın doğru bir tanımıdır. Bir kavram, yalnızca ve yalnızca bütün yer değiştirmeler altında korunuyorsa mantıksaldır. Bu görüş, ölçütün hem gerekli hem yeterli olduğunu savunur.

İkinci görüş, gereklilik görüşüdür. Buna göre ölçüt, mantıksallığın gerekli bir koşuludur ama yeterli değildir. Mantıksal bir kavram yer değiştirme altında korunmalıdır, ama korunan her kavram mantıksal değildir. Ölçüt, başka koşullarla, örneğin bir önceki derslerde incelenen çıkarımsal koşullarla birlikte kullanılmalıdır.

Üçüncü görüş, ilke görüşüdür. Buna göre ölçüt, mantıksal kavramların doğru bir tanımından çok, konu tarafsızlığın kesin bir ilkesidir. İlke, mantıksal sabitlerin seçimine bir gerekçe verir. Ama hangi kavramları mantığa aldığı, ilkenin hangi evrende ve hangi kuram çerçevesinde uygulandığına bağlıdır. Tarski'nin kendi tutumu bu görüşe yakındır: önerisini bir tanım değil, bir öneri olarak sundu.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, ölçütün tek başına yeterli olmadığı gözlemini kabul eder. Birinci görüş, ölçütün mantıksal sabitlerin standart listesini büyük ölçüde doğru verdiğini görür. Ama ölçütün sabit bir evrende ve belirli bir kuram çerçevesinde farklı sonuçlar verdiğini hesaba katmaz. İkinci görüş, ölçütün ek koşullara ihtiyaç duyduğunu doğru görür. Ama ölçütün neden bu kadar güçlü bir gerekçe verdiğini açıklamaz. Üçüncü görüş, ölçütün gücünü de sınırlarını da onun bir ilke olmasına bağlar.

Argümanın yapısı

Bir kavramın Tarski'nin ölçütüne göre mantıksal olup olmadığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kavramın hangi türden bir nesne olduğunu belirlemektir. Değerlendiren, kavramın bir nesne mi, bir nesneler sınıfı mı, nesneler arasında bir ilişki mi, yoksa sınıfların bir sınıfı mı olduğunu yazar.

İkinci adım, bir yer değiştirme seçmektir. Değerlendiren, evrenin nesnelerini bire bir biçimde birbirine eşleyen bir karıştırma belirler.

Üçüncü adım, kavramın bu yer değiştirme altında korunup korunmadığını sınamaktır. Değerlendiren, karıştırma kavramın kapsadığı her şeye uygulandığında, ortaya aynı kavramın çıkıp çıkmadığını sorar ve bunu bütün karıştırmalar için yapar.

Dördüncü adım, sonucu kavramın hangi evrende sınandığına göre değerlendirmektir. Değerlendiren, kavramın bu evrende korunmasının onun anlamından mı, yoksa evrenin rastlantısal bir özelliğinden mi kaynaklandığını sorar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Tarski'yi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Tarski'nin önerisi, Klein'ın geometriler için kurduğu düşünceyi mantığa taşır. Kerem'in iki taşımasında görüldüğü gibi, dönüşümler genişledikçe korunan kavramlar azalır ve en geniş dönüşümlerde, nesnelerin bütün bire bir yer değiştirmelerinde, geriye mantıksal kavramlar kalır. Lina'nın üç nüshalık evreninde görüldüğü gibi, bu ölçüt çok seçicidir: hiçbir tek nesne, evrenin tamamı ve boş sınıf dışında hiçbir sınıf, dört ilişki dışında hiçbir iki yerli ilişki mantıksal değildir. Selin'in iki kavramı, ölçütün içerik taşıyan kavramları dışarıda bırakıp saymaya dayanan kavramları içeri aldığını gösterdi. Lindenbaum ile Tarski'nin sonucu ve Tolga'nın bulunamayan tanımı, mantıkla tanımlanabilen her kavramın bu ölçütten geçtiğini gösterdi. Tarski, ölçütün mantık ile matematik arasındaki sınırı kendi başına çizmediğini, bu sınırın kümelerin nasıl ele alındığına bağlı olduğunu gösterdi. Barış'ın adsız hükmü, bu tarafsızlığın hukukun tarafsızlığından daha geniş olduğunu gösterdi. Defne'nin dolu servisi ise ölçütün sabit bir evrende uygulandığında rastlantısal kavramları içeri alabildiğini gösterdi. Tarski'nin ölçütü, mantıksal sabitlerin seçimini keyfîlikten kurtaran güçlü bir ilkedir, ama bu ilkenin hangi kavramları mantığa aldığı, onun hangi evrende ve hangi kuram çerçevesinde uygulandığına bağlıdır.

Açık kalan sorular

Lina'nın üç nüshalık evreni, Tarski'nin ölçütünün çok seçici olduğunu gösterdi. Ama evren büyüdükçe mantıksal sayılan kavramların sayısı da artar, çünkü "tam yedi nesne vardır" gibi sayma kavramları da ölçütten geçer. Mantığın konusu, evrenin büyüklüğüne göre değişen bir şey midir?

Tarski, matematiğin mantık olup olmadığı sorusunun kümelerin nasıl ele alındığına bağlı olduğunu gösterdi. Bu, mantıkçılık tezinin boş bir tez olduğunu mu gösterir? Yoksa kümelerin ele alınış biçimlerinden birinin doğru olduğunu ve bu yüzden sorunun kesin bir cevabı bulunduğunu mu?

Barış'ın adsız hükmü, mantığın tarafsızlığı ile hukukun tarafsızlığı arasında bir benzerlik ve bir fark gösterdi. Konu tarafsızlık, mantığa özgü bir değer midir, yoksa her kural sisteminin farklı ölçülerde taşıdığı genel bir özellik mi? Klein'ın dizisi, mantığın öteki alanlarla ilişkisini düşünmek için bir model olabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Tarski'nin önerisine göre bir kavram, evrenin nesnelerinin bütün bire bir yer değiştirmeleri altında korunuyorsa mantıksaldır; bu ölçüt, Klein'ın geometrileri dönüşümlerle sınıflandıran düşüncesinin en geniş dönüşümlere uygulanmasıdır.

Klein'ın 1872 tarihli Erlangen programı dönüşümler genişledikçe korunan kavramların azaldığını gösterdi, Lindenbaum ile Tarski'nin 1935 tarihli çalışması mantıkla tanımlanabilen her kavramın yer değiştirme altında korunduğunu kanıtladı, Tarski'nin 1966 tarihli konferansı ise bu ölçütün mantık ile matematik arasındaki sınırı kümelerin ele alınış biçimine bağladığını gösterdi.

Bir kavramın Tarski'nin ölçütüne göre mantıksal olup olmadığı dört adımla değerlendirilir: kavramın türünü belirlemek, bir yer değiştirme seçmek, kavramın bu yer değiştirme altında korunup korunmadığını sınamak ve sonucu kavramın hangi evrende sınandığına göre değerlendirmek.

Sabit evrende rastlantısal kavramları içeri alma, matematiği mantığa katma ve tek başına yeterli olmama itirazları, ölçütün evrenler arasına genişletilebildiğini, sınırın kuram seçimine bağlı olduğunun bir keşif olduğunu ve ölçütün çıkarımsal sınamalarla birlikte kullanılabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden Tarski'nin ölçütü mantıksal sabitlerin seçimini keyfîlikten kurtaran güçlü bir ilkedir, ama bu ilkenin hangi kavramları mantığa aldığı, onun hangi evrende ve hangi kuram çerçevesinde uygulandığına bağlıdır.

Sonraki derse köprü

Defne'nin dolu servisi, Tarski'nin ölçütünün tek bir evrende uygulandığında bir kavramın anlamını evrenin o anki durumundan ayıramadığını gösterdi. Ölçütü kurtarmak için, kavramı olası bütün evrenlerde sınamak gerekiyordu. Kerem, bunun nasıl yapılacağını soruyor. Farklı evrenlerin nesnelerini birbirine nasıl eşleyecektik?

Selin, iki evren arasında bire bir bir eşleme kurulabiliyorsa, bir kavramın bu eşleme altında korunup korunmadığının sorulabileceğini düşünüyor. Tolga, bu genişletmenin "sonsuz sayıda" gibi kavramları hâlâ mantığın içinde bırakacağını ve bunun bazı felsefecileri rahatsız ettiğini hatırlatıyor. Lina ise genişletilmiş ölçütün, bir kavramın anlamını mı, yoksa yalnızca bütün evrenlerdeki kaplamlarını mı sınayacağını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Değişmezlik dersi, Tarski'nin tek bir evrende tanımladığı yer değiştirme ölçütünün evrenler arasına nasıl genişletildiğini, bu genişletmenin sabit evrende ortaya çıkan yanlış sonuçları nasıl düzelttiğini ve ölçütün fazla geniş olduğu itirazlarının neyi hedeflediğini soruyor.