Niceleyiciler

Açılış sahnesi

Kerem, katalog programının sorgu diline yeni sözcükler eklemek için bir liste hazırlıyor. Kullanıcılar "her" ve "bazı" sözcükleriyle sorgu yazabiliyordu: "her kenar notlu nüsha atölyede yazıldı mı", "bazı nüshaların kolofonu okunaksız mı". Şimdi başka sözcükler istiyorlardı: "kenar notlu nüshaların çoğu", "sonsuz sayıda kayıt", "en az üç nüsha". Kerem, bu sözcüklerin "her" ve "bazı" ile aynı türden olup olmadığını soruyor. Hepsi bir yüklemi nüshaların bir alanına bağlıyordu ve hiçbiri belirli bir nüshadan söz etmiyordu. Ama önceki haftalarda bağlaçlar için kurdukları sınav, bu sözcüklerin hepsine aynı sonucu vermiyordu.

Selin, "her" ve "bazı" için tanıtma ve eleme kurallarının bulunduğunu, bu kuralların uyumlu olduğunu hatırlatıyor. Tolga, "sonsuz sayıda" için böyle kurallar yazmaya çalıştığını, ama bütün geçerli çıkarımları yakalayan bir kural listesi bulamadığını söylüyor. Lina, kendi dilinde bu anlamlara gelen pek çok sözcük bulunduğunu, bazılarının kesin bir sayıya, bazılarının ise bağlama göre değişen bir miktara işaret ettiğini düşünüyor. Barış, bir iddianamedeki "bazı sanıklar yalnızca birbirlerine yardım etti" cümlesinin, hiçbir sanığı ayrı ayrı anmadan bir grup hakkında bir şey söylediğini ve bu cümleyi yazmanın mantıkta neden zor olduğunu merak ediyor. Defne ise bir klinik çalışmanın sonuç cümlesindeki "hastaların çoğu" ifadesinin mantıksal bir sözcük mü, yoksa bir sayma işlemi mi olduğunu soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Mantık Felsefesi kursunda, "her" ve "bazı" gibi niceleyicilerin mantıksal sabit sayılmasının hangi ölçüte dayandığını, bu niceleyicilerin kurallarının bağlaçlarınki gibi uyum ve tutuculuk sınavından geçip geçmediğini ve "çoğu" ya da "sonsuz sayıda" gibi niceleyicilerin bu sınavdan neden farklı bir sonuç aldığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bağlaç ölçütleri dersi, bir sözcüğün kurallarının meşru olması için tutuculuk ve teklik koşullarını, ayrıca kesme elemeye dayanan sınamayı inceledi ve bu ölçütlerin gerekli ama yeterli olmadığını gösterdi. Akademinin önceki derslerinde niceleyici, evrensel ve varoluşsal niceleyici, niceleyicinin kapsamı, çoklu niceleme ve yerine koymalı niceleme kavramları tanımlanmış, evrensel genelleme ve evrensel açma kuralları kurulmuş, Barwise ile Cooper'ın genelleştirilmiş niceleyiciler çalışması ve Lindström'ün birinci derece mantığı ayırt eden teoremi de tanıtılmıştı. Bu ders, bu parçaları mantık felsefesinin bir sorusu olarak ele alıyor: bir niceleyiciyi mantıksal yapan nedir?

Sonra üç kaynağa bakacağız. Andrzej Mostowski, 1957 tarihli Niceleyicilerin Bir Genelleştirmesi Üzerine makalesinde, "her" ve "bazı"yı daha geniş bir niceleyiciler ailesinin iki üyesi olarak ele alır. Willard Van Orman Quine, 1970 tarihli Mantık Felsefesi kitabında, ikinci derece niceleyicilerin mantığa değil küme kuramına ait olduğunu savunur. George Boolos, 1984 tarihli Olmak, Bir Değişkenin Değeri Olmaktır makalesinde, ikinci derece niceleyicilerin çoğul okunarak kümelere bağlanmadan anlaşılabileceğini savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: birinci derece niceleyicilere tanınan ayrıcalığın keyfî olduğu, çoğul okumanın gizli bir küme kuramı olduğu ve "her" sözcüğünün kurallarının onun her şey üzerinde dolaşmasını güvence altına almadığı itirazları.

Sonda, bir niceleyicinin mantıksal sayılıp sayılamayacağını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: niceleyicinin anlambilimsel koşulunu yazmak, bu koşulun yalnızca büyüklüklere bağlı olup olmadığını sınamak, tam ve sesli kurallarının bulunup bulunmadığını sormak ve iki sınamanın ayrıştığı yerde niceleyicinin taşıdığı içeriği adlandırmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: "Her" ve "bazı" gibi niceleyiciler hangi ölçüte göre mantıksal sabit sayılır ve bu ölçüt, "çoğu", "sonsuz sayıda" ya da ikinci derece niceleyiciler gibi öteki niceleyicilere neden farklı bir sonuç verir?

Ölçülü iddiam şu: Bir niceleyicinin mantıksal olup olmadığı iki ayrı sınamayla değerlendirilebilir. Birinci sınama anlambilimseldir: niceleyicinin doğruluk koşulu, hangi nesnelerin söz konusu olduğuna değil, yalnızca kümelerin büyüklüklerine bağlı mıdır? Mostowski'nin gösterdiği gibi, "her" ve "bazı" bu sınamadan geçer, ama "sonsuz sayıda", "sayılamaz sayıda" ve "çoğu" da geçer. İkinci sınama çıkarımsaldır: niceleyicinin, bağlaçlarınki gibi uyumlu, tutucu ve bütün geçerli çıkarımları yakalayan kuralları var mıdır? "Her" ve "bazı" bu sınamadan da geçer. Evrensel genelleme ve evrensel açma uyumludur ve Gentzen'in kesme eleme teoremi niceleyicileri de kapsar. Ama "sonsuz sayıda" bu sınamadan geçemez. Bu niceleyiciyle yazılmış cümleler için, bütün geçerli çıkarımları türeten sonlu bir kural sistemi yoktur. İki sınama, tam da birinci derece niceleyicilerin sınırında ayrışır. Lindström'ün teoremi bu sınırın rastlantısal olmadığını gösterir: tıkızlığı ve aşağı doğru Löwenheim–Skolem özelliğini koruyan mantıklar arasında birinci derece mantık en güçlüsüdür. İkinci derece niceleyiciler için ayrışma daha derindir. Bu niceleyicilerin kuralları vardır, ama standart anlambilimleri hiçbir tam kural sistemiyle yakalanamaz. Quine bu yüzden onları küme kuramına verdi. Boolos, onları çoğul okuyarak mantığa geri almaya çalıştı. Sonuç olarak "her" ve "bazı", iki sınamadan da geçen niceleyicilerdir. Öteki niceleyicilerin mantıksal olup olmadığı, hangi sınamaya öncelik verildiğine bağlıdır ve bu karar, mantık ile matematik arasındaki sınırın nereye çekildiğini belirler.

Sıfır noktası

Bir öğrenci niceleyicileri öğrendiğinde, onları çoğu zaman "ve" ile "veya"nın uzantıları sanır. "Her nüsha atölyede yazıldı", nüshaların hepsi hakkında bir "ve" zinciridir. "Bazı nüshalar atölyede yazıldı" da bir "veya" zinciridir. Bu okumada niceleyiciler, bağlaçlardan türetilen kısaltmalardır ve ayrı bir soru doğurmaz.

Ama bu okuma, alan sonluysa ve her nesnenin bir adı varsa işe yarar. Alan sonsuzsa, zincir hiçbir zaman bitmez. Bazı nesnelerin adı yoksa, zincir onları hiç anmaz. Akademinin önceki derslerinde tartışılan dilin yoksulluğu sorunu burada yeniden ortaya çıkar. Niceleyiciler, bağlaç zincirlerine indirgenemez. Bir yüklemi, adı olsun olmasın bir alandaki bütün nesnelere bağlayan kendine özgü sözcüklerdir.

Frege'den beri niceleyiciler bir başka biçimde de anlaşılır. "Her", tek tek nesneler hakkında değil, bir kavram hakkında bir şey söyler: kavramın her şeye uyduğunu. "Bazı" da kavramın en az bir şeye uyduğunu söyler. Bu okumada niceleyici, bir kavramın kaplamının büyüklüğü hakkında konuşan bir sözcüktür. Bu okuma, öteki niceleyicilere de kapı açar: "çoğu", "sonsuz sayıda", "tam üç" de kaplamların büyüklükleri hakkında konuşur.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir niceleyiciyi mantıksal yapan ölçüt konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, çıkarımsal görüştür. Buna göre bir niceleyici, bağlaçlar gibi, uyumlu ve tutucu kurallarla tanıtılabiliyor ve bu kurallar bütün geçerli çıkarımları yakalıyorsa mantıksaldır. Bu ölçüte göre yalnızca birinci derece niceleyiciler mantıksaldır. Hacking'in ölçütü ve Leslie Tharp'ın 1975'te birinci derece mantığı tamlık, tıkızlık ve Löwenheim–Skolem özellikleriyle savunması bu yöndedir.

İkinci görüş, anlambilimsel görüştür. Buna göre bir niceleyici, doğruluk koşulu yalnızca büyüklüklere bağlıysa, yani nesnelerin kimliğine duyarsızsa mantıksaldır. Bu ölçüte göre "sonsuz sayıda", "sayılamaz sayıda" ve "çoğu" da mantıksaldır. Mostowski'nin koşulu bu görüşün çekirdeğidir.

Üçüncü görüş, iki ölçütlü görüştür. Buna göre mantıksallık iki ayrı özellikten oluşur: kurallarla tam olarak belirlenebilmek ve konu tarafsız olmak. "Her" ve "bazı", iki özelliği birlikte taşır. Öteki niceleyiciler yalnızca ikincisini taşır. Bu niceleyiciler konu tarafsızdır, ama anlamları kurallarla tam olarak verilemez; çünkü taşıdıkları içerik, büyüklüklerin karşılaştırılması, matematiğe aittir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün, birinci derece niceleyicilerin ayrıcalıklı olduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, çıkarım kurallarının mantığın kendine özgü yanı olduğunu doğru görür. Ama "sonsuz sayıda" gibi niceleyicilerin konu tarafsızlığını açıklayamaz. İkinci görüş, bu niceleyicilerin "her" ile ortak bir özelliği paylaştığını doğru görür. Ama onlarla yazılmış çıkarımların neden sonlu kurallarla yakalanamadığını açıklamaz. Üçüncü görüş, iki özelliği ayırır ve iki ölçütün tam da birinci derece niceleyicilerin sınırında ayrıştığını gösterir.

Argümanın yapısı

Bir niceleyicinin mantıksal sayılıp sayılamayacağını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, niceleyicinin anlambilimsel koşulunu yazmaktır. Değerlendiren, niceleyicinin hangi kümeler arasında hangi ilişkinin bulunmasını istediğini açıkça yazar.

İkinci adım, bu koşulun yalnızca büyüklüklere bağlı olup olmadığını sınamaktır. Değerlendiren, alanın nesnelerini bire bir biçimde yer değiştirip doğruluk değerinin korunup korunmadığını sorar.

Üçüncü adım, tam ve sesli kuralların bulunup bulunmadığını sormaktır. Değerlendiren, niceleyici için uyumlu tanıtma ve eleme kuralları yazılıp yazılamayacağını ve bu kuralların niceleyicinin bütün geçerli çıkarımlarını türetip türetmediğini sorar.

Dördüncü adım, iki sınamanın ayrıştığı yerde niceleyicinin taşıdığı içeriği adlandırmaktır. Değerlendiren, niceleyici anlambilimsel sınamadan geçip çıkarımsal sınamadan geçemiyorsa, bu farkın hangi matematiksel içerikten kaynaklandığını belirler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Niceleyicileri ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir niceleyicinin mantıksal olup olmadığı iki ayrı sınamayla değerlendirilir. Kerem'in niceleyici listesinde görüldüğü gibi, Mostowski'nin anlambilimsel sınaması, yalnızca büyüklüklere duyarlı olan bütün niceleyicileri, "her" ile birlikte "çoğu" ve "sonsuz sayıda"yı da, mantıksal sayar. Lina'nın miktar sözcükleri, bu sınamanın bağlama bağlı sözcükleri dışarıda bıraktığını gösterdi. Selin'in bitmeyen kural listesinde görüldüğü gibi, çıkarımsal sınama yalnızca birinci derece niceleyicileri geçirir; "sonsuz sayıda" tıkızlığı bozar ve tam bir kural sistemine sığmaz. İkinci derece niceleyiciler için Quine, Tolga'nın adsız kümelerinde görülen bağlanmayı küme kuramına verdi. Boolos ise Barış'ın birlikte faillerinde görüldüğü gibi, çoğul okumayla bu niceleyicileri mantığa geri almaya çalıştı. Defne'nin sonuç cümlesi, iki sınamanın ayrıştığı yerde kalan içeriğin aritmetik olduğunu gösterdi. "Her" ve "bazı", iki sınamadan birlikte geçen niceleyicilerdir. Öteki niceleyicilerin mantıksal olup olmadığı, hangi sınamaya öncelik verildiğine bağlıdır ve bu karar, mantık ile matematik arasındaki sınırı çizer.

Açık kalan sorular

Lina'nın miktar sözcükleri, "birkaç" gibi bağlama bağlı sözcüklerin konu tarafsız olmadığını, "çoğu" gibi kesin sözcüklerin ise öyle olduğunu gösterdi. Konu tarafsızlık, bir sözcüğün mantıksal olması için yeterli midir? Yoksa "çoğu" gibi sözcükler, konu tarafsız oldukları hâlde, taşıdıkları aritmetik içerik yüzünden mantığın dışında mı kalmalıdır?

Tolga'nın adsız kümeleri ve Barış'ın birlikte failleri, ikinci derece niceleyicilerin kümelere bağlanarak ya da çoğul okunarak anlaşılabileceğini gösterdi. Çoğul okuma, gerçekten kümelere bağlanmadan bir anlam verir mi? Bu sorunun cevabı, ikinci derece mantığın mantık mı yoksa matematik mi olduğu sorusunu çözer mi?

Üçüncü itiraz, "her" sözcüğünün kurallarının alan konusunda sessiz olduğunu ve mutlak genelliğin tartışmalı olduğunu gösterdi. Gerçekten her şey üzerinde niceleme yapabilir miyiz? Yapamıyorsak, "her" sözcüğünün mantıksal anlamı, hangi alanda kullanıldığına göre değişen bir şey midir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir niceleyicinin mantıksal olup olmadığı iki ayrı sınamayla değerlendirilir: doğruluk koşulunun yalnızca büyüklüklere bağlı olup olmadığını soran anlambilimsel sınama ve uyumlu, tutucu ve tam kurallarının bulunup bulunmadığını soran çıkarımsal sınama.

Mostowski'nin 1957 tarihli makalesi "her" ve "bazı"yı büyüklüklere duyarlı geniş bir niceleyiciler ailesinin iki üyesi olarak ele aldı, Quine'ın 1970 tarihli kitabı ikinci derece niceleyicileri küme kuramına verdi, Boolos'un 1984 tarihli makalesi ise bu niceleyicileri çoğul okuyarak mantığa geri almaya çalıştı.

Bir niceleyicinin mantıksallığı dört adımla değerlendirilir: anlambilimsel koşulunu yazmak, bu koşulun yalnızca büyüklüklere bağlı olup olmadığını sınamak, tam ve sesli kurallarının bulunup bulunmadığını sormak ve iki sınamanın ayrıştığı yerde taşıdığı içeriği adlandırmak.

Birinci derece ayrıcalığın keyfîliği, çoğul okumanın gizli küme kuramı oluşu ve "her"in alan konusundaki sessizliği itirazları, Lindström teoreminin ayrıcalığı ifade gücü ile denetlenebilirlik arasındaki bir seçime bağladığını, anlambilimin her durumda açıkladığı sözcüklerin bir benzerini kullandığını ve kuralların sessizliğinin konu tarafsızlığın bir ifadesi olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden "her" ve "bazı" iki sınamadan birlikte geçen niceleyicilerdir, ama öteki niceleyicilerin mantıksal olup olmadığı hangi sınamaya öncelik verildiğine bağlıdır ve bu karar mantık ile matematik arasındaki sınırı çizer.

Sonraki derse köprü

İki sınamadan birincisi, anlambilimsel olanı, bir niceleyicinin nesnelerin yer değiştirmesi altında doğruluk değerini koruyup korumadığını soruyordu. Kerem, bu sınamanın yalnızca niceleyiciler için değil, bağlaçlar, eşitlik ve belki başka kavramlar için de uygulanabileceğini fark ediyor. Hangi kavramlar nesnelerin yer değiştirmesine duyarsızdı?

Selin, Tarski'nin mantıksal sonuç tanımını verdiği 1936 tarihli makalesinin sonunda, mantıksal sabitlerle öteki sözcükler arasında keskin bir sınır bulunmadığını, bu sınırın belirlenmesinin açık bir soru olarak kaldığını yazdığını hatırlıyor. Tolga, Tarski'nin bu soruya sonradan döndüğünü, yer değiştirme düşüncesini mantıksal kavramların genel bir ölçütüne dönüştürmeye çalıştığını duyduğunu söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Tarski dersi, Tarski'nin mantıksal kavramları neyle ayırt etmeyi önerdiğini, bu önerinin 1936 tarihli mantıksal sonuç tanımının açık bıraktığı mantıksal sabitler sorusuna nasıl bir cevap verdiğini ve bu cevabın hangi kavramları mantığın içine aldığını soruyor.