İspat kuramsal sonuç

Açılış sahnesi

Kerem, katalog programının bir türetimi nasıl denetlediğini izliyor. Program, her satırın ya bir öncül olduğunu ya da önceki satırlardan tanımlı bir kuralla elde edildiğini sınıyor. Satır sayısı sonlu, kurallar sonlu, denetim de birkaç saniyede bitiyor. Oysa bir çıkarımın model kuramsal geçerliliğini sınamak için bütün modellere bakmak gerekiyordu ve modellerin sayısı sonlu değildi. Kerem, bir sonucun öncüllerden çıktığını söylemenin asıl ölçüsünün, bütün modellerde doğruluğun korunması değil de öncüllerden sonuca giden denetlenebilir bir kanıtın varlığı olup olamayacağını soruyor.

Selin, bir türetimin ancak kurallar doğruysa bir şey gösterdiğini, kuralların doğruluğunu ise yine modellerle sınadıklarını hatırlatıyor. Tolga, bunun tersinin de söylenebileceğini, "ve" sözcüğünün anlamını, onu içeren cümlelerin nasıl kurulup nasıl kullanıldığını söyleyen kuralların verdiğini ileri sürüyor. Lina, kendi dilinde bağlaçları öğrenirken kimsenin ona bir doğruluk tablosu göstermediğini, onları ne zaman söyleyebileceğini ve söyledikten sonra neye bağlandığını öğrenerek kullandığını anlatıyor. Barış, bir mahkeme kararının geçerliliğinin, kararın kabul edilmiş kurallardan adım adım türetilmesine bağlı olduğunu düşünüyor. Defne ise bir tanının iki olasılık arasında kaldığı durumlarda, hangisinin doğru olduğunu bilmeden "ikisinden biri" demenin bir kanıt sayılıp sayılamayacağını merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Mantık Felsefesi kursunda, mantıksal sonucun modeller yerine kanıtlar ve çıkarım kurallarıyla tanımlanmasının ne demek olduğunu, bu tanımın mantıksal sabitlerin anlamını kurallarla vermeye nasıl dayandığını ve model kuramsal tanımla hangi noktalarda ayrıştığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Model kuramsal sonuç dersi, Tarski'nin tanımını, dildeki değiştirme ölçütünün yetersizliğine bir cevap olarak inceledi ve Etchemendy'nin eleştirisiyle bu tanımın yorumsal bir anlambilime dayandığını gösterdi. Akademinin önceki derslerinde doğal çıkarım sistemleri kurulmuş, Gentzen'in ve Prawitz'in çalışmaları tanıtılmış, kanıt koşullu anlam ile tanıtma ve eleme uyumu kavramları tanımlanmış, tamlık teoremi de kanıtlanabilirlik ile model kuramsal geçerliliği birinci derece mantıkta aynı kapsama bağlamıştı. Bu ders, bu parçaları mantık felsefesinin bir sorusu olarak ele alıyor: kanıtlar, mantıksal sonucun bir tanımını verebilir mi, yoksa yalnızca modellerle tanımlanmış bir kavramı izleyen bir araç mıdır?

Sonra üç kaynağa bakacağız. Gerhard Gentzen, 1934 ile 1935 arasında yayımlanan çalışmasının ardışık hesabı ve temel teoremi kurduğu kesiminde, bir türetimin doğrudan, yan yoldan geçmeyen bir biçime getirilebileceğini gösterir. Dag Prawitz, 1974 tarihli Genel Bir İspat Kuramı Düşüncesi Üzerine makalesinde, bir argümanın geçerliliğini modellere başvurmadan, kanıtların yapısıyla tanımlamayı önerir. Peter Schroeder-Heister, 2006 tarihli İspat Kuramsal Anlambilimde Geçerlilik Kavramları makalesinde, bu yaklaşımın farklı biçimlerini karşılaştırır ve güçlüklerini ortaya koyar.

Ardından üç itirazı tartacağız: ispat kuramsal sonucun keyfî bir kural sistemine göreli olduğu, ikinci derece mantıkta model kuramsal sonuçtan ayrıştığı ve klasik mantığı dışlama eğiliminde olduğu itirazları.

Sonda, bir çıkarımın ispat kuramsal olarak geçerli olup olmadığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: kuralları belirlemek, türetimi doğrudan biçime getirmek, argümanın kanonik bir kanıta indirgenip indirgenemediğini sınamak ve sonucu model kuramsal tanımla karşılaştırmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: Mantıksal sonuç, bir öncüller kümesinden sonuca giden kanıtın varlığıyla tanımlanabilir mi ve bu tanım, model kuramsal tanımın yalnızca bir yansıması mıdır, yoksa ona rakip bir açıklama mıdır?

Ölçülü iddiam şu: İspat kuramsal tanımın en basit biçimine göre, bir sonuç öncüllerden, belirli bir kural sisteminde öncüllerden sonuca bir türetim varsa çıkar. Bu biçim, sonucu sistemin seçimine bağlar ve tek başına bir tanım değil, bir türetilebilirlik kaydıdır. Ama yaklaşımın daha güçlü bir biçimi vardır. Gentzen, mantıksal sabitlerin anlamının onların tanıtma kurallarında verildiğini ve bir türetimin yan yollardan arındırılıp doğrudan bir biçime getirilebileceğini gösterdi. Prawitz, bu düşünceden yola çıkarak, bir argümanın geçerliliğini, argümanın tanıtma kurallarıyla biten kanonik bir kanıta indirgenebilmesiyle tanımladı. Bu tanım, belirli bir sisteme göreli değildir ve modellere başvurmaz. Bu yüzden ispat kuramsal sonuç, model kuramsal sonucun bir yansıması değil, ona gerçekten rakip bir açıklamadır. İki açıklama farklı sorulara cevap verir. Model kuramsal tanım, bir çıkarımın karşı örneği olmadığını söyler. İspat kuramsal tanım ise çıkarımı neyin haklı kıldığını, öncüllerden sonuca geçişin neden meşru olduğunu söyler. Birinci derece mantıkta, tamlık teoremi sayesinde iki tanım aynı çıkarımları geçerli sayar. Ama ayrıştıkları yerler vardır. İkinci derece mantıkta, standart anlambilime göre geçerli olan her çıkarımı türeten bir kural sistemi yoktur. Uyum koşulu da, tek sonuçlu sistemlerde klasik mantığın bazı kurallarını dışarıda bırakma eğilimindedir. Sonuç olarak ispat kuramsal tanım, mantıksal sonucun gerekçelendirici yanını yakalayan güçlü bir açıklamadır, ama hangi kuralların anlam kurduğunu söyleyen ek bir ölçüte ihtiyaç duyar ve model kuramsal tanımın yerini tek başına alamaz.

Sıfır noktası

Bir öğrenci ispat kuramsal sonucu ilk duyduğunda, onu çoğu zaman "türetilebilirlik" sözcüğünün süslü bir adı sanır. Bir sistem seçilir, kurallar yazılır, türetim bulunursa sonuç çıkar. Bu anlayışta felsefi bir soru yok gibi görünür. Kurallar önceden verilmiştir ve iş yalnızca onları uygulamaktır.

Ama soru tam da burada başlar. Kurallar nereden gelir? Bir kural sistemi, rastgele kurallar içerebilir. Akademinin önceki derslerinde tartışılan tonk gibi bir bağlaç, her cümleden her cümleyi türetmeye izin verir. Bir sistemde türetilebilir olmak, bir sonucun mantıksal olarak çıktığını göstermeye yetmez. Kuralların kendisinin bir gerekçesi olmalıdır.

Model kuramsal yaklaşım bu gerekçeyi dışarıdan verir: bir kural, bütün modellerde doğruluğu koruyorsa sesli, yani güvenilirdir. İspat kuramsal yaklaşım ise gerekçeyi içeriden vermeye çalışır. Bir mantıksal sabitin anlamı, onu içeren cümlelerin nasıl kurulduğunu söyleyen kurallarla belirlenir. Öteki kurallar, bu anlamla uyumlu oldukları ölçüde meşrudur. Bu yaklaşımda modeller değil, kurallar önce gelir.

Görüşler ve pozisyonlar

İspat kuramsal sonucun model kuramsal sonuçla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, model önceliği görüşüdür. Buna göre mantıksal sonucun asıl tanımı model kuramsaldır. Kural sistemleri, bu tanımın izlenebilir birer yaklaşımıdır ve seslilik ile tamlık teoremleriyle ona bağlanırlar. Bir kural sistemi, model kuramsal sonucu doğru izlediği ölçüde başarılıdır.

İkinci görüş, ispat önceliği görüşüdür. Buna göre mantıksal sabitlerin anlamı kurallarla verilir ve mantıksal sonuç, bu kurallardan kurulmuş geçerli argümanların varlığıyla tanımlanır. Modeller, bu anlamı dışarıdan betimleyen yardımcı araçlardır. Gentzen'in düşüncesini izleyen Prawitz ve Dummett bu görüşün başlıca savunucularıdır.

Üçüncü görüş, tamamlayıcılık görüşüdür. Buna göre iki tanım farklı sorulara cevap verir. Model kuramsal tanım, bir çıkarımın karşı örneği olmadığını söyler; ispat kuramsal tanım ise çıkarımın neden meşru olduğunu söyler. İki tanım, birbirini sınayan iki ölçüt olarak birlikte kullanılır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, ispat kuramsal tanımın gerçek bir tanım olabileceği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, model kuramsal tanımın kural sistemlerini sınamak için güçlü bir araç olduğunu doğru görür. Ama kurallara anlam veren şeyin ne olduğunu açıklamaz. İkinci görüş, anlamın kullanımdan ve kurallardan geldiğini doğru görür. Ama hangi kuralların anlam kurduğunu söyleyen bir ölçüte ihtiyaç duyar ve bu ölçütü bulmak kolay değildir. Üçüncü görüş, iki tanımın güçlü yanlarını ve sınırlarını birlikte tutar.

Argümanın yapısı

Bir çıkarımın ispat kuramsal olarak geçerli olup olmadığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kuralları belirlemektir. Değerlendiren, çıkarımdaki her mantıksal sabit için tanıtma ve eleme kurallarını yazar ve bu kuralların birbirine uyup uymadığını sınar.

İkinci adım, türetimi doğrudan biçime getirmektir. Değerlendiren, öncüllerden sonuca bir türetim kurar ve bu türetimde ara önermelerin kullanıldığı yan yolları ayıklayarak, yalnızca öncüllerin ve sonucun alt formüllerini içeren bir biçime ulaşmaya çalışır.

Üçüncü adım, argümanın kanonik bir kanıta indirgenip indirgenemediğini sınamaktır. Değerlendiren, argümanın son adımının sonucun ana bağlacı için bir tanıtma kuralı olacak biçimde yeniden düzenlenip düzenlenemediğini sorar.

Dördüncü adım, sonucu model kuramsal tanımla karşılaştırmaktır. Değerlendiren, ispat kuramsal olarak bulunan sonucu, öncülleri doğru sonucu yanlış kılan bir model olup olmadığı sorusuyla karşılaştırır ve iki tanımın bu çıkarım için ayrışıp ayrışmadığını not eder.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İspat kuramsal sonucu ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. En basit biçimiyle, bir sonuç öncüllerden, belirli bir sistemde bir türetim varsa çıkar. Bu biçim sistemin seçimine bağlıdır ve Barış'ın gerekçeli kararında görüldüğü gibi, kuralları sınayan bir ölçüte ihtiyaç duyar. Gentzen, mantıksal sabitlerin anlamının tanıtma kurallarında verildiğini ve türetimlerin kesme eleme ile doğrudan bir biçime getirilebileceğini gösterdi. Selin'in ortadan kalkan ara önermesinde görüldüğü gibi, doğrudan türetim, sonucun öncüllerde örtük olarak bulunandan fazlasına dayanmadığını gösterir. Prawitz, geçerliliği argümanların kanonik kanıtlara indirgenebilmesiyle tanımladı. Tolga'nın temel kurallarında görüldüğü gibi, bu tanım bütün atomik temellere göre kurulur ve model kuramsal tanımdaki bütün yorumlar düşüncesine benzer bir yapı taşır. Schroeder-Heister, bu yaklaşımın farklı seçimlerle kurulmuş bir kuramlar ailesi olduğunu gösterdi. Kerem'in iki sonuçlu satırı ve Defne'nin iki tanısı, klasik ile sezgici mantık arasındaki farkın kuralların biçiminde nasıl göründüğünü gösterdi. İspat kuramsal tanım, mantıksal sonucun gerekçelendirici yanını yakalayan güçlü bir açıklamadır, ama model kuramsal tanımın yerini tek başına alamaz; iki tanım birbirini sınayan iki ölçüt olarak birlikte iş görür.

Açık kalan sorular

Lina'nın bağlaç dersi, kuralların bir sözcüğün mantıksal anlamını verebileceğini, ama her anlamını vermediğini gösterdi. Bir sözcüğün anlamının hangi bölümü mantıksaldır? Bu bölümü öteki bölümlerden ayıran ölçüt, kuralların kendisinden mi gelir, yoksa dışarıdan mı verilmelidir?

Tolga'nın temel kuralları, ispat kuramsal geçerliliğin bütün atomik temellere göre kurulduğunu ve bunun model kuramsal tanımdaki bütün yorumlar düşüncesine benzediğini gösterdi. Bu benzerlik, iki yaklaşımın sanıldığından daha yakın olduğunu mu gösterir? Yoksa ispat kuramsal yaklaşım, fark etmeden model kuramsal bir düşünceyi mi içine almıştır?

Defne'nin iki tanısı, tek sonuçlu ve çok sonuçlu okumaların farklı bilgi durumlarını yansıttığını gösterdi. Mantıksal sonucun asıl biçimi tek sonuçlu mudur, çok sonuçlu mu? Bu soruya verilen cevap, klasik ve sezgici mantık arasındaki tartışmayı çözer mi, yoksa yalnızca başka bir yere mi taşır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İspat kuramsal tanımın en basit biçimine göre, bir sonuç öncüllerden, belirli bir sistemde bir türetim varsa çıkar; bu biçim sistemin seçimine bağlıdır ve kuralları sınayan bir ölçüte ihtiyaç duyar.

Gentzen'in 1934-35 tarihli çalışması ardışık hesabı ve kesme eleme teoremini kurarak türetimlerin doğrudan bir biçime getirilebileceğini gösterdi, Prawitz'in 1974 tarihli makalesi geçerliliği kanonik kanıtlara indirgenebilirlikle tanımladı, Schroeder-Heister'in 2006 tarihli makalesi ise bu yaklaşımın farklı seçimlerle kurulmuş bir kuramlar ailesi olduğunu gösterdi.

Bir çıkarımın ispat kuramsal geçerliliği dört adımla değerlendirilir: kuralları belirlemek, türetimi doğrudan biçime getirmek, argümanın kanonik bir kanıta indirgenip indirgenemediğini sınamak ve sonucu model kuramsal tanımla karşılaştırmak.

Keyfî kural sistemi, ikinci derece mantıktaki ayrışma ve klasik mantığın dışlanması itirazları, Prawitz'in tanımının sisteme göreli olmadığını, ayrışmanın mantık ile küme kuramı arasındaki sınırı gösterebileceğini ve çok sonuçlu sistemlerin klasik mantığa uyumlu kurallar verdiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden ispat kuramsal tanım, mantıksal sonucun gerekçelendirici yanını yakalayan güçlü bir açıklamadır, ama model kuramsal tanımın yerini tek başına alamaz; iki tanım birbirini sınayan iki ölçüt olarak birlikte iş görür.

Sonraki derse köprü

İki tanım da mantıksal sonucu, öncüllerin doğruluğundan sonucun doğruluğuna giden bir bağ olarak ele aldı. Model kuramsal tanım bu bağı bütün yorumlarda, ispat kuramsal tanım ise geçerli argümanlarda aradı. Ama Selin, mantıksal sonucun sezgisel kavramında bir şeyin daha bulunduğunu hatırlatıyor: öncüller doğruysa sonucun yalnızca doğru olması değil, doğru olmak zorunda olması.

Kerem, bu zorunluluğun ne tür bir zorunluluk olduğunu soruyor. Bir nüshanın atölyede yazılmış olması zorunlu değildi; başka türlü de olabilirdi. Ama bütün nüshalar atölyede yazıldıysa ve bu nüsha da o nüshalardan biriyse, bu nüshanın atölyede yazılmış olması başka türlü olamazdı. Tolga, bu "başka türlü olamazdı"nın, suyun başka bir şey olamayacağını söyleyen metafizik zorunluluktan farklı olup olmadığını merak ediyor. Lina ise bu zorunluluğun sözcüklerin anlamından mı, çıkarımın biçiminden mi, yoksa dünyanın kendisinden mi geldiğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Zorunluluk dersi, mantıksal sonucun öncüllerin doğruluğunu zorunlu olarak koruması ne demektir, bu mantıksal zorunluluğun metafizik ve kavramsal zorunluluktan nasıl ayrıldığını ve kaynağının biçimde mi, anlamda mı yoksa dünyada mı aranacağını soruyor.