Model kuramsal sonuç

Açılış sahnesi

Kerem, Bolzano'nun değiştirme ölçütünü katalogun diliyle deniyor. Bir çıkarımı sınamak için, onun mantıksal olmayan sözcüklerinin yerine katalog dilindeki başka sözcükleri koyuyor ve öncüller doğruyken sonucun yanlış olduğu bir değiştirme arıyor. Bulamıyor. Ama Kerem, bunun çıkarımın geçerli olduğunu gösterip göstermediğinden emin değil. Katalog dilinde iki yüz nüshanın her birinin bir adı vardı, ama atölyenin öteki ürünlerinin, kayıp el yazmalarının hiçbirinin adı yoktu. Bir karşı örnek, tam da adı olmayan bir nesne gerektiriyorsa, katalog dili onu hiçbir zaman bulamazdı.

Selin, Tarski'nin bu güçlüğü açıkça gördüğünü ve değiştirmeyi sözcüklerle değil, sözcüklerin olası bütün yorumlarıyla yapmayı önerdiğini hatırlıyor. Tolga, bir yorumun evreninin, dilde adı olan nesnelerle sınırlı olmadığını, bu yüzden dilin yoksulluğunun sorun olmaktan çıktığını söylüyor. Lina, bir sözcüğü yeniden yorumlamak ile dünyanın başka türlü olduğunu düşünmek arasında bir fark olup olmadığını merak ediyor. Barış, bir yasanın geçerliliğinin, onun sözcüklerine başka anlamlar verildiğinde de korunmasına mı, yoksa olayların başka türlü gerçekleştiği bütün durumlarda uygulanabilmesine mi bağlı olduğunu soruyor. Defne ise "hastaların çoğu" gibi bir ifadenin, "bütün" ve "bazı" gibi mantıksal bir sözcük sayılıp sayılamayacağını düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Mantık Felsefesi kursunda, biçimsel sonuç düşüncesinin Tarski'nin tanımında modeller üzerinden nasıl kesinleştirildiğini, bu tanımın dildeki kavramlarla değiştirme ölçütünden ne bakımdan ayrıldığını ve Etchemendy'nin bu tanıma yönelttiği eleştirinin neyi hedeflediğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Biçimsel sonuç dersi, bir çıkarımın mantıksal sabitler yerinde tutulup geri kalan her şey değiştirildiğinde doğruluğu korumasını, Aristoteles'in ve Bolzano'nun yöntemleriyle inceledi ve bu kavramın bir sabitler seçimine göreli olduğunu gösterdi. Akademinin önceki derslerinde ise Tarski'nin 1936 tarihli Mantıksal Sonuç Kavramı Üzerine makalesi, Etchemendy'nin 1990 tarihli eleştirisi, model kuramsal geçerlilik kavramı ve Kreisel'in sıkıştırma argümanı ele alınmış, Barwise ile Cooper'ın genelleştirilmiş niceleyiciler çalışması da tanıtılmıştı. Bu ders, bu parçaları mantık felsefesinin bir sorusu olarak bir araya getiriyor: model kuramsal tanımın biçimsel sonuç düşüncesini ne ölçüde yakaladığını soruyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Alfred Tarski, 1936 tarihli makalesinin yerine koyma ölçütünü tartıştığı kesiminde, bu ölçütün neden yetersiz olduğunu açıklar ve modellere dayanan tanımını önerir. John Etchemendy, 1990 tarihli kitabının yorumsal ve temsilsel anlambilimi ayırdığı bölümlerinde, Tarski'nin tanımının hangi tür anlambilime dayandığını ve bu yüzden neyi yakalayamadığını savunur. Gila Sher ise 1991'de yayımladığı Mantığın Sınırları kitabında, Tarski'nin tanımını, mantıksal sabitleri değişmezlik ölçütüyle belirleyen genel bir kuramla savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: model kuramsal tanımın zorunluluğu yakalamadığı, değişmezlik ölçütünün fazla geniş olduğu ve tanımın küme kuramının evrenine bağımlı olduğu itirazları.

Sonda, bir çıkarımın model kuramsal olarak geçerli olup olmadığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: mantıksal sabitleri belirlemek, bir modelin neyi değiştirip neyi sabit tuttuğunu yazmak, öncülleri doğru sonucu yanlış kılan bir model aramak ve tanımın bu çıkarım için sezgisel geçerlilikle örtüşüp örtüşmediğini sormak.

Merkez soru

Sorumuz şu: Tarski'nin modellere dayanan tanımı, biçimsel sonuç düşüncesini dildeki değiştirme ölçütünden daha iyi yakalar mı ve Etchemendy'nin eleştirisi bu tanımın neyi kaçırdığını gösterir?

Ölçülü iddiam şu: Tarski'nin model kuramsal tanımına göre, bir sonuç öncüllerden, öncülleri doğru kılan her model sonucu da doğru kılıyorsa çıkar. Bir model, mantıksal olmayan sözcüklere bir evren içinde bir yorum verir, mantıksal sabitlerin anlamını ise sabit tutar. Bu tanım, dildeki değiştirme ölçütünden bir bakımdan daha iyidir. Değiştirme, dilde adı olan kavramlarla sınırlıdır. Model ise adı olmayan nesneleri de içerebilir, bu yüzden dilin yoksulluğu bir karşı örneğin gözden kaçmasına yol açmaz. Tarski bu güçlüğü açıkça gördü ve tanımını bu yüzden modellere dayandırdı. Ama Etchemendy'nin gösterdiği gibi, model kuramsal tanım bir yorumsal anlambilime dayanır. Dünyayı sabit tutup sözcüklerin anlamlarını değiştirir. Oysa mantıksal sonucun sezgisel kavramı, anlamları sabit tutup dünyanın başka türlü olabileceği bütün durumlarda doğruluğun korunmasını ister. İki kavram aynı değildir. Model kuramsal tanımın sezgisel kavramı doğru yakalayıp yakalamadığı, bu yüzden tanımın kendisinden değil, mantıksal sabitlerin doğru seçilmesinden ve yeterince çok modelin bulunmasından gelir. Birinci derece mantık için, Kreisel'in sıkıştırma argümanı bu örtüşmenin gerçekleştiğini gösterir. Sher, mantıksal sabitleri, evrendeki nesnelerin yer değiştirmesi altında değişmeyen kavramlar olarak belirleyerek, Tarski'nin tanımını genel bir kuramla savundu. Bu kuram, "sonsuz sayıda" ya da "çoğu" gibi niceleyicileri de mantıksal sayar. Sonuç olarak model kuramsal tanım, mantıksal sonucun güçlü bir kesinleştirmesidir, ama onun sezgisel kavramla örtüştüğü, kendiliğinden değil, mantıksal sabitlerin seçimine ve küme kuramının zenginliğine dayanan bir argümanla gösterilmelidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci model kuramsal sonucu öğrendiğinde, onu çoğu zaman dildeki değiştirme ölçütünün teknik bir ayrıntısı sanır. "Bütün yorumlarda doğruluğun korunması" ile "bütün değiştirmelerde doğruluğun korunması" aynı şey gibi görünür. Ama iki ölçüt arasında önemli bir fark vardır ve Tarski'nin tanımı tam da bu farktan doğmuştur.

Değiştirme ölçütü, bir sözcüğün yerine dildeki başka bir sözcüğü koyar. Dil yoksulsa, yani bazı nesnelerin ya da özelliklerin dilde adı yoksa, bu nesnelere ya da özelliklere dayanan karşı örnekler hiçbir zaman kurulamaz. Bir çıkarım, dil zenginleşince geçersiz çıkabilecekken, yoksul dilde geçerli görünebilir. Geçerlilik, çıkarımın kendisinin değil, dilin zenginliğinin bir özelliği olur.

Model ölçütü ise sözcükleri başka sözcüklerle değil, nesnelerle ve nesne kümeleriyle yorumlar. Bir model, evrenini dilden bağımsız olarak seçer ve bu evrenin herhangi bir alt kümesini bir yüklemin yorumu olarak alabilir. Bu alt kümenin dilde bir adı olması gerekmez. Bu yüzden model ölçütü, dilin yoksulluğundan etkilenmez. Tarski'nin tanımının ilk ve en açık üstünlüğü budur.

Görüşler ve pozisyonlar

Model kuramsal tanımın mantıksal sonucu yakalayıp yakalamadığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, çözümleme görüşüdür. Buna göre model kuramsal tanım, mantıksal sonucun sezgisel kavramının doğru bir çözümlemesidir. Bütün modellerde doğruluğun korunması, mantıksal sonucun ta kendisidir.

İkinci görüş, Etchemendy'nin eleştirel görüşüdür. Buna göre model kuramsal tanım, mantıksal sonucun doğru bir çözümlemesi değildir. Tanım, sözcüklerin yeniden yorumlanması altında doğruluğun korunmasını ölçer; oysa mantıksal sonuç, zorunlu olarak doğruluğun korunmasıdır. Tanımın bazı durumlarda doğru sonuç vermesi, bir çözümlemenin başarısı değil, rastlantısal bir örtüşmedir.

Üçüncü görüş, uzantısal yeterlilik görüşüdür. Buna göre model kuramsal tanım, mantıksal sonucun kavramsal bir çözümlemesi olmayabilir, ama doğru mantıksal sabitler seçildiğinde ve yeterince çok model bulunduğunda, sezgisel olarak geçerli olan çıkarımların tam olarak aynısını geçerli sayar. Bu örtüşme, tanımın kendisinden değil, ayrıca gösterilmesi gereken bir argümandan gelir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, tanımın kavramsal bir çözümleme olmadığı gözlemini kabul eder. Birinci görüş, model kuramsal tanımın sezgisel kavramla birinci derece mantıkta örtüştüğünü doğru görür. Ama bu örtüşmenin neden gerçekleştiğini açıklamaz. İkinci görüş, iki kavram arasındaki farkı doğru teşhis eder. Ama farkın her durumda bir hataya yol açtığını gösteremez. Üçüncü görüş, farkı kabul eder ve örtüşmenin nerede, hangi koşullarla gerçekleştiğini sorar.

Argümanın yapısı

Bir çıkarımın model kuramsal olarak geçerli olup olmadığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, mantıksal sabitleri belirlemektir. Değerlendiren, hangi sözcüklerin anlamının bütün modellerde sabit tutulacağını, hangilerinin yeniden yorumlanacağını yazar.

İkinci adım, bir modelin neyi değiştirip neyi sabit tuttuğunu yazmaktır. Değerlendiren, modelin evreni ve mantıksal olmayan sözcüklerin yorumlarını değiştirdiğini, mantıksal sabitlerin anlamını ise koruduğunu açıkça belirtir.

Üçüncü adım, öncülleri doğru sonucu yanlış kılan bir model aramaktır. Değerlendiren, evrenini ve yorumlarını dilden bağımsız olarak seçebildiği bir karşı model kurmayı dener.

Dördüncü adım, tanımın bu çıkarım için sezgisel geçerlilikle örtüşüp örtüşmediğini sormaktır. Değerlendiren, bulunan sonucu, çıkarımın anlamlar sabitken dünya nasıl olursa olsun doğruluğu koruyup korumadığı sorusuyla karşılaştırır.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Model kuramsal sonucu ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Tarski'nin tanımına göre, bir sonuç öncüllerden, öncülleri doğru kılan her model sonucu da doğru kılıyorsa çıkar. Kerem'in adsız nüshasında görüldüğü gibi, bu tanım dildeki değiştirme ölçütünden bir bakımdan daha iyidir, çünkü modeller dilde adı olmayan nesneleri de içerebilir ve dilin yoksulluğu bir karşı örneğin gözden kaçmasına yol açmaz. Tarski tanımını bu yüzden modellere dayandırdı. Ama Etchemendy'nin gösterdiği ve Lina'nın iki değiştirmesinde görülen gibi, model kuramsal tanım yorumsal bir anlambilime dayanır. Sözcüklerin anlamını değiştirir; oysa mantıksal sonucun sezgisel kavramı, anlamlar sabitken dünyanın başka türlü olabileceği durumları sorar. Tolga'nın beş nesneli evreninde görüldüğü gibi, tanımın doğru sonuç vermesi küme kuramının evreninin büyüklüğüne bağlıdır. Birinci derece mantık için sıkıştırma argümanı ve Löwenheim–Skolem teoremi bu bağımlılığı zayıflatır ve iki kavramın aynı kapsama sahip olduğunu gösterir. Sher, mantıksal sabitleri değişmezlik ölçütüyle belirleyerek tanımı savundu. Defne'nin çoğu hastasında görüldüğü gibi, bu ölçüt mantığın kapsamını genişletir. Model kuramsal tanım, mantıksal sonucun güçlü bir kesinleştirmesidir, ama sezgisel kavramla örtüştüğü, mantıksal sabitlerin seçimine ve küme kuramının zenginliğine dayanan bir argümanla gösterilmelidir.

Açık kalan sorular

Lina'nın iki değiştirmesi, yorumsal ve temsilsel anlambilimin farklı soruları sorduğunu gösterdi. Mantıksal sonucun asıl kavramı bu ikisinden hangisidir? Yoksa mantıksal sonuç, iki soruyu birden cevaplamasını istediğimiz bir kavram mıdır?

Tolga'nın beş nesneli evreni, model kuramsal tanımın doğru sonuç vermesinin küme kuramının evreninin büyüklüğüne bağlı olduğunu gösterdi. Mantık, matematiğin bir parçasına bu ölçüde dayanabilir mi? Mantığın matematikten daha temel olması gerektiği düşüncesi, bu bağımlılıkla nasıl uzlaştırılır?

Defne'nin çoğu hastası, "çoğu" gibi niceleyicilerin mantıksal sayılabileceğini gösterdi. Mantığın kapsamı, değişmezlik ölçütüyle genişletildikçe, mantık ile matematik arasındaki sınır nereye çekilir? Bu sınırın bir anlamı kalır mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Tarski'nin model kuramsal tanımına göre, bir sonuç öncüllerden, öncülleri doğru kılan her model sonucu da doğru kılıyorsa çıkar; modeller dilde adı olmayan nesneleri de içerebildiği için, bu tanım dildeki değiştirme ölçütünün dilin yoksulluğundan doğan yetersizliğini giderir.

Tarski'nin 1936 tarihli makalesi değiştirme ölçütünün yetersizliğini gösterip tanımını modellere dayandırdı, Etchemendy'nin 1990 tarihli kitabı bu tanımın yorumsal bir anlambilime dayandığını ve bu yüzden zorunluluğu kavramsal olarak yakalamadığını savundu, Sher'in 1991 tarihli kitabı ise tanımı mantıksal sabitleri değişmezlik ölçütüyle belirleyen genel bir kuramla savundu.

Bir çıkarımın model kuramsal geçerliliği dört adımla değerlendirilir: mantıksal sabitleri belirlemek, modelin neyi değiştirip neyi sabit tuttuğunu yazmak, öncülleri doğru sonucu yanlış kılan bir model aramak ve sonucu sezgisel geçerlilikle karşılaştırmak.

Tanımın zorunluluğu yakalamadığı, değişmezlik ölçütünün fazla geniş olduğu ve tanımın küme kuramına bağımlı olduğu itirazları, birinci derece mantıkta sıkıştırma argümanının iki kavramın aynı kapsamda olduğunu gösterdiğini, ölçütün ek şartlarla daraltılabildiğini ve Löwenheim–Skolem teoremi sayesinde bu bağımlılığın birinci derece mantık için zayıf olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden model kuramsal tanım, mantıksal sonucun güçlü bir kesinleştirmesidir, ama onun sezgisel kavramla örtüştüğü, kendiliğinden değil, mantıksal sabitlerin seçimine ve küme kuramının zenginliğine dayanan bir argümanla gösterilmelidir.

Sonraki derse köprü

Model kuramsal tanım, mantıksal sonucu doğruluk ve modeller üzerinden tanımladı. Ama Kerem, bu kursun önceki modüllerinde başka bir kavramın da sürekli kullanıldığını hatırlıyor: bir sonucun öncüllerden bir kanıtla türetilmesi. Tamlık teoremi, birinci derece mantıkta bu iki kavramın aynı kapsama sahip olduğunu gösteriyordu. Ama Kerem, hangisinin daha temel olduğunu soruyor.

Selin, Prawitz'in ve Dummett'ın, bir mantıksal sabitin anlamının onun çıkarım kurallarıyla verildiğini savunduğunu hatırlıyor. Bu görüşe göre mantıksal sonuç, modellerden değil, kanıtlardan başlıyordu. Tolga, bir kanıtın, bir modelin aksine, sonlu ve denetlenebilir bir nesne olduğunu, bu yüzden daha güvenilir bir temel olabileceğini söylüyor. Lina, bir sözcüğün anlamını, onu içeren cümlelerin nasıl kurulup nasıl kullanıldığını öğrenerek öğrendiğini düşünüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. İspat kuramsal sonuç dersi, mantıksal sonucun modeller yerine kanıtlar ve çıkarım kurallarıyla tanımlanmasının ne demek olduğunu, bu tanımın mantıksal sabitlerin anlamını kurallarla vermeye nasıl dayandığını ve model kuramsal tanımla hangi noktalarda ayrıştığını soruyor.