Yanlış yorumlar

Açılış sahnesi

Barış, son derslerde yaptığı benzetmeleri yeniden okuyor. Bir anayasanın kendi tutarlılığını kendi maddeleriyle kanıtlayamamasını ikinci eksiklik teoremine benzetmişti. "Bütün doğrular hukuktur" diyen bir kuralın uygulanamazlığını birinci eksiklik teoremine benzetmişti. Barış, bu benzetmelerin bir şeyi aydınlattığını hâlâ düşünüyor. Ama bir soruyla karşı karşıya: bu benzetmeler, anayasalar hakkında bir şey kanıtlıyor muydu, yoksa yalnızca bir şeyi hatırlatıyor muydu?

Selin, bir kitapta, eksiklik teoremlerinin "her şeyin göreli olduğunu" kanıtladığını okuduğunu hatırlıyor. Kerem, bir fizikçinin, teoremlerin her şeyi açıklayan tek bir fizik kuramının imkânsızlığını gösterdiği yönündeki bir konuşmasını duyduğunu söylüyor. Lina, teoremlerin "hiçbir zaman bilemeyeceğimiz doğrular bulunduğunu" gösterdiği biçimindeki yaygın bir özeti sorguluyor. Tolga, bir tartışmada, Tanrı'nın varlığının tıpkı Gödel cümlesi gibi kanıtlanamaz ama doğru olduğunun ileri sürüldüğüne tanık olmuş. Defne ise bir tıp dergisinde, tıbbın Gödel yüzünden hiçbir zaman tamamlanamayacağını söyleyen bir cümle görmüş. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, eksiklik teoremlerinin matematik dışındaki alanlara, hukuka, bilime, dine ve gündelik bilgiye yaygın olarak nasıl uygulandığını, bu uygulamaların teoremin hangi koşullarını gözden kaçırdığını ve bir benzetme ile bir çıkarımın birbirinden nasıl ayırt edilebileceğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Gödel modülünün önceki dört dersi, aritmetikleştirmeyi, iki eksiklik teoremini ve teoremlerin zihin ve matematik felsefesindeki sonuçlarını inceledi. Felsefi sonuçlar dersi, teoremlerden kesin olarak çıkan sonucu, teoreme eklenen öncüllere dayanan sonuçlardan ayırmanın dört adımlı bir yöntemini gösterdi ve bir tanı programı örneğinde, teoremin adının koşullarını karşılamayan bir alana taşındığında içeriğini yitirdiğini gördü. Akademinin önceki derslerinde analojik çıkarım ve kavramsal metafor kavramları da tanımlanmış, Sokal'ın 1996 tarihli yazısı da ele alınmıştı. Bu ders, Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunu kapatıyor: teoremlerin en yaygın yanlış yorumlarını ve onları tanımanın yollarını inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Torkel Franzén, 2005'te yayımladığı Gödel'in Teoremi: Kullanımı ve Kötüye Kullanımı İçin Eksik Bir Rehber kitabında, teoremlerin matematik dışındaki yaygın kullanımlarını tek tek inceler ve hangilerinin teoremlerle ilgili olduğunu gösterir. Alan Sokal ile Jean Bricmont, 1997'de yayımladıkları Entelektüel Sahtekârlıklar kitabında, bazı toplum kuramcılarının matematik ve fizik kavramlarını nasıl yanlış kullandığını, bu arada eksiklik teoremlerinin bir toplum kuramına uygulanışını belgeler. Solomon Feferman ise 2006'da yayımladığı Eksiklik Teoremlerinin Matematik Üzerindeki Etkisi makalesinde, teoremlerin matematiğin kendisini ne ölçüde etkilediğini değerlendirir.

Ardından üç itirazı tartacağız: benzetmelerin de düşünceye değerli bir katkı yaptığı ve onları yasaklamanın düşünceyi kısırlaştıracağı, teoremleri genişletenlerin bazen en saygın uzmanlar olduğu ve teoremlerin gerçekten çok geniş bir kapsama sahip olduğu itirazları.

Sonda, eksiklik teoremlerine başvuran bir iddiayı değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: iddiada söz konusu olan şeyin bir biçimsel sistem olup olmadığını sormak, sistemin teoremin üç koşulunu karşılayıp karşılamadığını denetlemek, iddianın teoremin söylediği türden bir cümleden, yani bir aritmetik cümleden söz edip etmediğini belirlemek ve iddianın bir çıkarım mı yoksa bir benzetme mi olduğunu açıkça yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: eksiklik teoremlerinin matematik dışındaki yaygın kullanımları hangi koşulları gözden kaçırır ve bir benzetme ile bir çıkarım nasıl ayırt edilebilir?

Ölçülü iddiam şu: eksiklik teoremlerinin yanlış yorumlarının çoğu, teoremin üç koşulundan en az birini ya da teoremin konusunu gözden kaçırır. Teorem, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren biçimsel sistemler hakkındadır ve bu sistemlerin kanıtlayamadığı aritmetik cümlelerden söz eder. Bir hukuk sistemi, bir fizik kuramı, bir din ya da gündelik bilgi, çoğu zaman bu anlamda bir biçimsel sistem değildir. Biçimsel sistem olarak yazılsalar bile, teorem yalnızca onların aritmetik cümleler hakkındaki eksikliğini söyler, konularının geri kalanı hakkında hiçbir şey söylemez. Franzén'in gösterdiği gibi, "teoremler her şeyin göreli olduğunu gösterir" ya da "teoremler bilemeyeceğimiz doğrular bulunduğunu gösterir" gibi yaygın özetler, teoremin kanıtlanabilirlik ile doğruluk arasında kurduğu ayrımı, bilgi ile doğruluk arasında bir ayrıma dönüştürür. Bu dönüşüm geçerli değildir. Bir sistemde kanıtlanamayan bir cümle, başka bir sistemde kanıtlanabilir ve bilinebilir. Sokal ile Bricmont, bu tür aktarımların bazı akademik metinlerde nasıl bir kanıt gibi kullanıldığını belgeler. Feferman ise teoremlerin matematiğin kendisi üzerindeki etkisinin bile sanıldığından sınırlı olduğunu gösterir. Bu, benzetmelerin değersiz olduğu anlamına gelmez. Bir benzetme, bir alanı başka bir alanın yapısıyla aydınlatabilir. Ama bir benzetme, bir çıkarım değildir. Bir benzetmenin gücü, onun bir şey kanıtlaması değil, bir soruyu yeniden sormayı mümkün kılmasıdır. Yanlış yorum, bir benzetmenin bir çıkarım gibi sunulmasıyla başlar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci eksiklik teoremlerini öğrendikten sonra, onları her yerde görmeye başlar. Bir kuram bir soruyu cevaplayamıyorsa, bir sistem kendi hakkında bir şeyi bilemiyorsa, bir kurum kendini denetleyemiyorsa, bunlar Gödel'in bir örneği gibi görünür. Bu eğilim anlaşılırdır. Teoremler derin ve genel sonuçlardır ve derin bir sonucun her yerde karşılığını aramak, onu anlamanın bir yoludur.

Ama bu eğilim bir tuzak da taşır. Bir teoremin karşılığını başka bir alanda bulmak, o alanda teoremin geçerli olduğunu göstermez. Teorem, kesin olarak tanımlanmış koşullar altında kanıtlanmıştır. Bu koşullar karşılanmadığında, teoremin sonucu da geçerli değildir. Bir hukuk sisteminin kendi tutarlılığını kanıtlayamaması, ikinci eksiklik teoremine benzeyebilir, ama teoremin bir sonucu değildir, çünkü hukuk sistemi teoremin koşullarını karşılamaz.

Bu yüzden eksiklik teoremlerine başvuran her iddiada, önce iki şeyi ayırmak gerekir. Birincisi, iddianın teoremden bir sonuç çıkarıp çıkarmadığıdır. İkincisi, iddianın yalnızca teoreme benzeyen bir durumu mu betimlediğidir. Birinci durumda iddia, teoremin koşullarının karşılandığını göstermek zorundadır. İkinci durumda ise iddia, teoremin otoritesini değil, yalnızca benzetmenin aydınlatıcılığını kullanabilir.

Görüşler ve pozisyonlar

Eksiklik teoremlerinin matematik dışındaki kullanımları konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, yasaklama görüşüdür. Buna göre eksiklik teoremleri yalnızca matematiksel mantıkta kullanılmalıdır. Onları başka alanlara taşımak, her durumda bir kavram hatasıdır ve düşünceye zarar verir.

İkinci görüş, serbest kullanım görüşüdür. Buna göre eksiklik teoremleri, genel bir düşünce ilkesi, sistemlerin kendi sınırlarını aşamadığı ilkesi olarak her alana uygulanabilir. Teoremlerin gücü, tam da bu genelliklerinden gelir.

Üçüncü görüş, ayrım görüşüdür. Buna göre teoremler iki biçimde kullanılabilir. Çıkarımsal kullanımda, teoremin koşullarının karşılandığı gösterilmelidir. Benzetmeli kullanımda ise teorem bir kanıt değil, bir düşünme aracıdır ve bunun açıkça belirtilmesi gerekir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün, teoremlerin çoğu matematik dışı kullanımının hatalı olduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, bu kullanımların çoğunun teoremin koşullarını gözden kaçırdığını doğru görür. Ama benzetmelerin düşünceye yaptığı katkıyı görmezden gelir. İkinci görüş, teoremlerin genel bir düşünceyi dile getirdiğini doğru hisseder. Ama bu genel düşüncenin teoremin kendisi olmadığını, teoremin kesin koşullarının bir benzetmeye dönüştüğünde kaybolduğunu hesaba katmaz. Üçüncü görüş, iki gözlemi birlikte tutar.

Argümanın yapısı

Eksiklik teoremlerine başvuran bir iddiayı değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, iddiada söz konusu olan şeyin bir biçimsel sistem olup olmadığını sormaktır. Değerlendiren, iddianın konusunun, belirli bir alfabesi, kuruluş kuralları, aksiyomları ve mekanik çıkarım kuralları olan bir sistem olup olmadığını belirler.

İkinci adım, sistemin teoremin üç koşulunu karşılayıp karşılamadığını denetlemektir. Değerlendiren, sistemin tutarlı olup olmadığını, aksiyomlarının mekanik olarak tanınıp tanınamadığını ve temel aritmetiği içerip içermediğini sorar.

Üçüncü adım, iddianın teoremin söylediği türden bir cümleden söz edip etmediğini belirlemektir. Değerlendiren, iddianın sistemin kanıtlayamadığı aritmetik cümlelerden mi, yoksa sistemin konusunun başka bir yanından mı söz ettiğini belirtir.

Dördüncü adım, iddianın bir çıkarım mı yoksa bir benzetme mi olduğunu açıkça yazmaktır. Değerlendiren, ilk üç adım karşılanıyorsa iddiayı bir çıkarım, karşılanmıyorsa bir benzetme olarak sınıflar ve benzetmenin neyi aydınlattığını, neyi kanıtlamadığını belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Yanlış yorumları ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Eksiklik teoremlerinin yanlış yorumlarının çoğu, teoremin üç koşulundan en az birini ya da teoremin konusunu gözden kaçırır. Barış'ın, Tolga'nın ve Defne'nin durumlarında görüldüğü gibi, anayasalar, dinler ve tıp, teoremin anlamında aritmetiği içeren biçimsel sistemler değildir ve onlar hakkındaki iddialar aritmetik cümleler değildir. Kerem'in her şeyin kuramında görüldüğü gibi, bir alan aritmetiği içeren bir sistem olarak yazılsa bile, teorem yalnızca onun aritmetik eksikliğini söyler. Selin'in göreli her şeyinde ve Lina'nın bilinemeyecek doğrularında görüldüğü gibi, en yaygın özetler, teoremin kanıtlanabilirlik ile doğruluk arasında kurduğu ayrımı, bilgi ya da görelilik hakkındaki bir iddiaya dönüştürür ve bazen teoremin söylediğinin tersini söyler. Franzén bu yorumların sistemli bir kataloğunu verdi. Sokal ile Bricmont, bu tür kullanımların akademik metinlerde bir kanıt gibi sunulabildiğini belgeledi. Feferman, teoremlerin matematiğin kendisi üzerindeki etkisinin bile sınırlı olduğunu gösterdi. Benzetmeler değersiz değildir. Bir benzetme bir soruyu yeniden sormayı mümkün kılabilir. Ama bir benzetme bir çıkarım değildir ve yanlış yorum, bir benzetmenin bir çıkarım gibi sunulmasıyla başlar.

Açık kalan sorular

Barış'ın iki benzetmesi, bir benzetmenin bir soruyu yeniden sormaya yardım ettiğini, ama ona cevap vermediğini gösterdi. Bir benzetmenin aydınlatıcı mı yoksa yanıltıcı mı olduğunu önceden bilebilir miyiz? Bir benzetmenin değeri, yalnızca sonradan, ortaya çıkardığı soruların verimliliğiyle mi ölçülebilir?

Selin'in göreli her şeyi, en yaygın yanlış yorumlardan birinin teoremin söylediğinin neredeyse tersini söylediğini gösterdi. Bir teoremin bu kadar yaygın biçimde tersine çevrilmesi, onun anlatılma biçimi hakkında ne söyler? Karmaşık bir sonucu doğru bir biçimde yalınlaştırmanın sınırları nelerdir?

Defne'nin tıp dergisi, doğru bir gözlemin yanlış bir gerekçeye bağlanabildiğini gösterdi. Bir iddianın sonucu doğru ama gerekçesi yanlışsa, o iddia ne ölçüde değerlidir? Bir düşünceyi yanlış bir otoriteye dayandırmak, doğru bir düşünceye bile zarar verir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Eksiklik teoremlerinin yanlış yorumlarının çoğu, teoremin tutarlılık, mekanik tanınabilirlik ve yeterli güç koşullarından en az birini ya da teoremin yalnızca aritmetik cümlelerden söz ettiğini gözden kaçırır.

Franzén'in Gödel'in Teoremi kitabı bu yorumların sistemli bir kataloğunu verdi, Sokal ile Bricmont'un Entelektüel Sahtekârlıklar kitabı bu tür kullanımların akademik metinlerde bir kanıt gibi sunulabildiğini belgeledi, Feferman'ın 2006 tarihli makalesi ise teoremlerin matematiğin kendisi üzerindeki etkisinin bile sınırlı olduğunu gösterdi.

Eksiklik teoremlerine başvuran bir iddia dört adımla değerlendirilir: söz konusu şeyin bir biçimsel sistem olup olmadığını sormak, sistemin üç koşulu karşılayıp karşılamadığını denetlemek, iddianın bir aritmetik cümlesinden söz edip etmediğini belirlemek ve iddianın bir çıkarım mı bir benzetme mi olduğunu açıkça yazmak.

Benzetmelerin değerli olduğu, genişletmelerin bazen saygın uzmanlardan geldiği ve teoremlerin gerçekten geniş kapsamlı olduğu itirazları, ayrım görüşünün benzetmeyi koruyup yalnızca onun açıkça benzetme olarak sunulmasını istediğini, bir argümanın geçerliliğinin kimden geldiğine değil öncüllerine bağlı olduğunu ve teoremin her sisteme uygulansa da her sistem hakkında yalnızca aynı dar şeyi söylediğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir benzetme bir soruyu yeniden sormayı mümkün kılabilir, ama bir çıkarım değildir; yanlış yorum, bir benzetmenin bir teoremin otoritesiyle bir çıkarım gibi sunulmasıyla başlar.

Sonraki derse köprü

Bu kurs, mantığı bir nesne olarak inceledi: onun sistemlerini, bu sistemlerin sesliliğini, tamlığını, karar verilebilirliğini ve eksikliğini. Bütün bu incelemede, "bir sonucun öncüllerden çıkması" kavramı sürekli kullanıldı. Kerem, bu kavramın kendisinin hiç sorgulanmadığını fark ediyor. Bir sistemde kanıtlanabilir olmak ile bütün modellerde doğru olmak, bu kavramın iki kesin biçimiydi. Ama hangisi mantıksal sonucun gerçek tanımıydı?

Selin, bir çıkarımın geçerliliğinin çoğu zaman onun biçimine bağlandığını hatırlıyor: "bütün müstensihler titizdir, bu kişi müstensihtir, öyleyse titizdir" çıkarımı, müstensihler yerine başka her şey konsa da geçerli kalıyordu. Tolga, bir çıkarımın biçimini neyin belirlediğini, hangi sözcüklerin biçimin parçası, hangilerinin içeriğin parçası sayılacağını soruyor. Lina, "ve", "değil", "her" gibi sözcüklerin neden mantıksal sayıldığını, "büyüktür" ya da "önce gelir" gibi sözcüklerin neden sayılmadığını merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Biçimsel sonuç dersi, bir sonucun öncüllerden mantıksal olarak çıkmasının onların biçiminden mi kaynaklandığını, bir çıkarımın biçiminin nasıl belirlendiğini ve biçimsel sonuç kavramının hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayılacağına dair bir seçime nasıl dayandığını soruyor.