Felsefi sonuçlar

Açılış sahnesi

Kerem, iki eksiklik teoremini yan yana yazıyor ve onlardan çıkarılmış sonuçların bir listesini çıkarıyor. Birinci satırda: insan zihni bir makine değildir. İkinci satırda: matematiksel nesneler bizden bağımsız olarak vardır. Üçüncü satırda: hiçbir biçimsel sistem matematiğin bütün doğrularını yakalayamaz. Dördüncü satırda: matematiğin temelleri güvenilir değildir. Kerem, bu sonuçların hepsinin aynı iki teoremden çıkarıldığını, ama birbirinden çok farklı iddialar olduğunu fark ediyor.

Tolga, birinci satırın Lucas'ın argümanı olduğunu, argümanın bizim Gödel cümlesinin doğru olduğunu görebildiğimize dayandığını hatırlıyor. Selin, Gödel'in kendisinin bu tartışmada daha temkinli bir yer tuttuğunu, bir ikilem ortaya koyduğunu duyduğunu söylüyor. Lina, bir cümlenin doğru olduğunu "görmenin" tam olarak ne demek olduğunu soruyor. Barış, bir iddianın kanıt yükünün kimde olduğunu, mekanizm karşıtının mı yoksa mekanizmcinin mi bir şey kanıtlaması gerektiğini merak ediyor. Defne ise bir tanı programının, eksiklik teoremleri yüzünden bir hekimin yapabildiği bir şeyi yapamayacağının söylenip söylenemeyeceğini düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, eksiklik teoremlerinden insan zihni, matematiksel doğruluğun doğası ve biçimsel yöntemlerin sınırları hakkında hangi sonuçların meşru olarak çıkarılabildiğini ve Lucas'ın mekanizm karşıtı argümanı gibi en etkili felsefi uygulamaların hangi ek varsayımlara dayandığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Gödel modülünün önceki üç dersi, aritmetikleştirmeyi, birinci eksiklik teoremini ve ikinci eksiklik teoremini inceledi. Birinci eksiklik dersinde, Gödel cümlesinin doğruluğunun sistemin tutarlılığı varsayımına bağlı olduğu görülmüş ve Lucas'ın itirazı kısaca anılmıştı. İkinci eksiklik dersinde, bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamadığı ve tutarlılık güvencesinin dışarıdan gelmek zorunda olduğu gösterilmişti. Programın Klasik Olmayan Mantıklar kursunda da matematik gerçekçiliği kavramı ve Gödel'in süreklilik problemi üzerine 1947 tarihli makalesi tanıtılmıştı. Bu ders, bu sonuçlardan felsefeye geçiyor: teoremlerden neyin çıktığını ve neyin çıkmadığını ayırıyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. John Lucas, 1961'de yayımladığı Zihinler, Makineler ve Gödel makalesinde, eksiklik teoreminin insan zihninin bir makine olamayacağını gösterdiğini savunur. Kurt Gödel, 1951'de verdiği ve ölümünden sonra yayımlanan Matematiğin Temelleri Üzerine Bazı Temel Teoremler ve Sonuçları konferansında, teoremlerden kesin olarak çıkan sonucun bir ikilem olduğunu savunur. Paul Benacerraf ise 1967'de yayımladığı Tanrı, Şeytan ve Gödel makalesinde, Lucas'ın argümanının gerçekte neyi gösterdiğini inceler.

Ardından üç itirazı tartacağız: matematikçilerin anlayışının güvenilir olduğunu bildiğimiz için insan zihninin bir algoritma olamayacağı, Gödel'in kendisinin zihnin makineleri aştığına inandığı ve teoremlerin felsefi olarak hiçbir şey göstermediği itirazları.

Sonda, eksiklik teoremlerinden çıkarılan bir felsefi sonucu değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: sonucun hangi teoreme dayandığını yazmak, argümanın teoremin kendisinden fazla hangi öncülleri kullandığını belirlemek, bu ek öncüllerin bilinip bilinemeyeceğini sormak ve sonucun, teoremin kesin olarak gösterdiği şeye ne kadar yakın olduğunu değerlendirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: eksiklik teoremlerinden insan zihni, matematiksel doğruluk ve biçimsel yöntemlerin sınırları hakkında hangi sonuçlar meşru olarak çıkarılabilir?

Ölçülü iddiam şu: eksiklik teoremlerinden kesin olarak çıkan felsefi sonuç, matematiksel doğruluğun, tutarlı ve mekanik olarak tanınabilen herhangi bir biçimsel sistemdeki kanıtlanabilirlikle özdeş olamayacağıdır. Hiçbir tek sistem, aritmetiğin bütün doğrularını kanıtlayamaz. Bu sonuç, Hilbert'in biçimciliğinin güçlü biçimini bırakmayı gerektirir. Bunun ötesindeki sonuçlar, teoremlere eklenen öncüllere dayanır. Lucas, her makine için onun Gödel cümlesini doğru olarak görebildiğimizi ve makinenin onu kanıtlayamadığını söyleyerek, zihnin bir makine olmadığı sonucuna vardı. Ama Benacerraf'ın ve öncesinde Putnam'ın gösterdiği gibi, bir makinenin Gödel cümlesinin doğru olduğunu görmek, o makinenin tutarlı olduğunu bilmeyi gerektirir. Zihnimiz bir makineyse, o makinenin hangisi olduğunu ve tutarlı olup olmadığını bilemeyebiliriz. Lucas'ın argümanı, bu bilgiyi varsaydığı ölçüde geçerlidir, ama bu bilgi tam da tartışılan şeydir. Gödel, daha temkinli bir sonuca vardı. Ona göre teoremlerden kesin olarak çıkan, bir ikilemdir: ya insan zihni her sonlu makineyi aşar ya da insan zihninin karar veremeyeceği, mutlak anlamda karar verilemez aritmetik sorular vardır. Gödel birinci seçeneğe eğilimliydi, ama bunun kanıtlandığını ileri sürmedi. Bu yüzden teoremler, zihin ve matematik felsefesinde önemli bir yer tutar, ama bu yer bir kanıtın değil, bir kısıtın yeridir. Teoremler, bazı görüşleri dışarıda bırakır ve kalan görüşlerin hangi bedelleri ödemesi gerektiğini gösterir; ama hiçbir görüşü tek başına kanıtlamaz.

Sıfır noktası

Bir öğrenci eksiklik teoremlerini öğrendikten sonra, onların felsefi sonuçları hakkında çoğu zaman iki uç tavırdan birini alır. Birinci tavra göre teoremler, insan zihninin, gerçekliğin ya da bilginin doğası hakkında derin ve kesin sonuçlar verir. İkinci tavra göre teoremler, yalnızca belirli biçimsel sistemler hakkında teknik sonuçlardır ve felsefeye hiçbir şey söylemez.

İki tavır da yanlıştır. Teoremler, kesin olarak kanıtlanmış matematik sonuçlardır ve bir kez kanıtlandıktan sonra, felsefi görüşler onlarla uyuşmak zorundadır. Bu, felsefe için önemlidir. Ama teoremler, felsefi bir sonuca ancak ek öncüllerle birlikte götürür ve bu öncüller, çoğu zaman teoremlerin kendisinden çok daha tartışmalıdır.

Bu yüzden eksiklik teoremlerinden çıkarılan bir felsefi sonucu değerlendirmenin ilk kuralı, teoremin kendisini, argümanın geri kalanından ayırmaktır. Teorem, belirli koşulları karşılayan sistemler hakkında bir şey söyler. Argüman, bu koşulların insan zihnine, matematiğe ya da başka bir alana nasıl uygulandığı hakkında ek iddialar içerir. Felsefi tartışmanın gerçek konusu, bu ek iddialardır.

Görüşler ve pozisyonlar

Eksiklik teoremlerinin zihin felsefesi için anlamı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, mekanizm karşıtı görüştür. Buna göre eksiklik teoremleri, insan zihninin hiçbir makine tarafından tam olarak betimlenemeyeceğini gösterir. Lucas ve sonraki bir biçimiyle Roger Penrose bu görüşü savunur.

İkinci görüş, mekanizmle uyumluluk görüşüdür. Buna göre eksiklik teoremleri, insan zihninin bir makine olmasıyla uyumludur. Teoremler yalnızca, eğer zihin bir makineyse, o makinenin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını ya da hangi makine olduğunu bilemeyeceğini gösterir. Putnam ve Benacerraf bu görüşün savunucularıdır.

Üçüncü görüş, ikilem görüşüdür. Buna göre teoremlerden kesin olarak çıkan, bir ikilemdir. Ya zihin her makineyi aşar ya da zihnin karar veremeyeceği matematik soruları vardır. Teoremler, bu iki seçenekten hangisinin doğru olduğunu söylemez. Gödel'in görüşü budur.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, teoremlerin mekanizmle uyumlu olduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, teoremlerin mekanizme ciddi bir kısıt koyduğunu doğru görür. Ama bu kısıtı bir çürütmeye dönüştürmek için, kanıtlanmamış bir öncüle, bizim her makinenin tutarlılığını bildiğimize dayanır. İkinci görüş, bu öncülün eksikliğini doğru teşhis eder. Üçüncü görüş, teoremlerin kesin olarak gösterdiğini söyler ve kalan soruyu açık bırakır.

Argümanın yapısı

Eksiklik teoremlerinden çıkarılan bir felsefi sonucu değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, sonucun hangi teoreme dayandığını yazmaktır. Değerlendiren, argümanın birinci teoreme mi, ikinci teoreme mi, yoksa her ikisine mi başvurduğunu ve teoremin tam olarak hangi koşullarla ne söylediğini açıkça belirtir.

İkinci adım, argümanın teoremin kendisinden fazla hangi öncülleri kullandığını belirlemektir. Değerlendiren, argümanın, zihin, matematik ya da başka bir alan hakkında, teoremin içermediği hangi iddialara dayandığını tek tek listeler.

Üçüncü adım, bu ek öncüllerin bilinip bilinemeyeceğini sormaktır. Değerlendiren, her ek öncülün doğru olduğunu bilmek için ne gerektiğini ve bu bilginin, örneğin bir sistemin tutarlılığının bilgisinin, erişilebilir olup olmadığını sorar.

Dördüncü adım, sonucun teoremin kesin olarak gösterdiği şeye ne kadar yakın olduğunu değerlendirmektir. Değerlendiren, sonucun teoremden doğrudan mı çıktığını, yoksa teorem ile sonuç arasında tartışmalı öncüllerin mi bulunduğunu belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Felsefi sonuçları ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Eksiklik teoremlerinden kesin olarak çıkan felsefi sonuç, matematiksel doğruluğun, tutarlı ve mekanik olarak tanınabilen herhangi bir biçimsel sistemdeki kanıtlanabilirlikle özdeş olamayacağıdır. Bu, güçlü biçimciliği dışarıda bırakır. Lucas, her makinenin Gödel cümlesinin doğru olduğunu görebildiğimiz öncülüyle, zihnin bir makine olmadığı sonucuna vardı. Ama Kerem'in makine listesinde ve Lina'nın görmesinde görüldüğü gibi, bu görme, makinenin tutarlı olduğunu bilmeyi gerektiren bir akıl yürütmedir. Tolga'nın bilinmeyen makinesinde ve Benacerraf'ın çözümlemesinde görüldüğü gibi, zihin bir makineyse, hangi makine olduğunu ve tutarlı olup olmadığını bilemeyebilir. Barış'ın kanıt yükünde görüldüğü gibi, bu yüzden mekanizm çürütülmüş değildir. Gödel'in kendisi, teoremlerden kesin olarak çıkan sonucu bir ikilemle sınırladı: ya zihin her makineyi aşar ya da mutlak karar verilemez aritmetik sorular vardır. Selin'in iki seçeneğinde görüldüğü gibi, teoremler bu seçeneklerden hangisinin doğru olduğunu söylemez. Defne'nin tanı programında görüldüğü gibi, teoremlerin adı, onların koşullarını karşılamayan alanlara taşındığında içeriğini yitirir. Teoremler, felsefi görüşleri kanıtlamaz; onlara kesin bir kısıt koyar.

Açık kalan sorular

Selin'in iki seçeneği, Gödel'in ikileminin iki seçeneğinin de teoremlerle uyumlu olduğunu gösterdi. İkilemin hangi seçeneğinin doğru olduğunu belirlemenin bir yolu var mıdır? Mutlak karar verilemez bir aritmetik sorunun var olduğunu nasıl bilebiliriz, eğer onu bilmek zaten ona bir cevap vermek anlamına geliyorsa?

Lina'nın görmesi, Lucas'ın "görme"sinin bir sezgi değil, daha güçlü bir sistemdeki bir kanıt olduğunu gösterdi. Öyleyse matematiksel sezgi, gizli bir kanıttan başka bir şey midir? Gödel'in savunduğu türden bir matematiksel sezgi, eğer varsa, bir biçimsel sistemle betimlenebilir mi?

Tolga'nın bilinmeyen makinesi, zihin bir makineyse, kendi hakkındaki bilgisinin sınırlı olacağını gösterdi. Kendini tam olarak tanıyamayan bir zihin, kendi hakkında ne kadar güvenilir bir bilgiye sahip olabilir? Bu sınır, felsefede bilinen öteki kendini tanıma sorunlarıyla bir ilişki taşır mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Eksiklik teoremlerinden kesin olarak çıkan felsefi sonuç, matematiksel doğruluğun, tutarlı ve mekanik olarak tanınabilen herhangi bir biçimsel sistemdeki kanıtlanabilirlikle özdeş olamayacağıdır; bunun ötesindeki sonuçlar, teoremlere eklenen ve çoğu zaman teoremlerden çok daha tartışmalı öncüllere dayanır.

Lucas'ın Zihinler, Makineler ve Gödel makalesi eksiklik teoreminden zihnin bir makine olmadığı sonucunu çıkardı, Gödel'in 1951 tarihli Gibbs konferansı teoremlerden kesin olarak çıkan sonucu bir ikilemle sınırladı, Benacerraf'ın Tanrı, Şeytan ve Gödel makalesi ise Lucas'ın argümanının yalnızca bir makinenin kendi hakkındaki bilgisinin sınırlı olduğunu gösterdiğini ortaya koydu.

Eksiklik teoremlerinden çıkarılan bir felsefi sonuç dört adımla değerlendirilir: hangi teoreme dayandığını yazmak, teoremden fazla hangi öncülleri kullandığını belirlemek, bu öncüllerin bilinip bilinemeyeceğini sormak ve sonucun teoremin kesin olarak gösterdiğine ne kadar yakın olduğunu değerlendirmek.

Matematikçilerin anlayışının güvenilir olduğunu bildiğimiz, Gödel'in kendisinin zihnin makineleri aştığına inandığı ve teoremlerin felsefi olarak hiçbir şey göstermediği itirazları, kendi güvenilirliğimizin bir bilgi değil bir inanç olduğunu, Gödel'in kesin sonucu bir ikilemle sınırladığını ve teoremlerin felsefi görüşleri kanıtlamasa da onlara kesin bir kısıt koyduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden eksiklik teoremleri, zihin ve matematik felsefesinde bir kanıtın değil bir kısıtın yerini tutar: bazı görüşleri dışarıda bırakır ve kalanların hangi bedelleri ödemesi gerektiğini gösterir.

Sonraki derse köprü

Defne'nin tanı programı, eksiklik teoremlerinin adının, onların koşullarını karşılamayan bir alana taşındığında içeriğini yitirdiğini göstermişti. Kerem, bu dersteki durumların bazılarının da benzer bir risk taşıdığını fark ediyor. Barış, bir anayasanın kendi tutarlılığını kanıtlayamamasını ikinci eksiklik teoremine benzetmişti. Lina, bir kurumun kendi denetimini aynı teoreme benzetmişti. Bunlar benzetmelerdi. Kerem, bir benzetmenin ne zaman aydınlatıcı, ne zaman yanıltıcı olduğunu soruyor.

Tolga, eksiklik teoremlerinin mantığın en çok alıntılanan, ama belki de en çok yanlış anlaşılan sonuçları olduğunu hatırlıyor. Selin, teoremlerin, her şeyin göreli olduğunu, bilimin eksik kalmaya mahkûm olduğunu ya da Tanrı'nın varlığını gösterdiği iddialarıyla karşılaştığını söylüyor. Lina, bir teoremin koşullarını bilmeden onu kullanmanın, bir sözcüğün anlamını bilmeden onu kullanmaya benzediğini düşünüyor. Barış, teoremin kötüye kullanımlarını tanımanın bir yöntemi olup olmadığını merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Yanlış yorumlar dersi, eksiklik teoremlerinin matematik dışındaki alanlara, hukuka, bilime, dine ve gündelik bilgiye yaygın olarak nasıl uygulandığını, bu uygulamaların teoremin hangi koşullarını gözden kaçırdığını ve bir benzetme ile bir çıkarımın birbirinden nasıl ayırt edilebileceğini soruyor.