İkinci eksiklik

Açılış sahnesi

Kerem, "sistem tutarlıdır" iddiasını aritmetiğin dilinde yazıyor. Tutarlılık, sistemin bir çelişki kanıtlamaması demekti. Bir çelişki, örneğin "sıfır eşittir bir" cümlesi, kanıtlanabilseydi, onun kanıtının bir Gödel numarası olurdu. Öyleyse "sistem tutarlıdır" iddiası, "hiçbir sayı, sıfır eşittir bir cümlesinin bir kanıtının kodu değildir" diyen aritmetik bir cümleye dönüşüyordu. Kerem bu cümleye tutarlılık cümlesi diyor. Cümle, yalnızca sayılar hakkında konuşuyordu ama kodlama aracılığıyla sistemin kendi tutarlılığını söylüyordu.

Tolga, birinci eksiklik teoreminin akıl yürütmesini hatırlıyor: sistem tutarlıysa, Gödel cümlesi kanıtlanamazdı. Bu akıl yürütme sistemin içinde yapılabilirse, sistem "tutarlılık cümlesi doğruysa Gödel cümlesi doğrudur" diyen bir cümleyi kanıtlayacaktı. Selin, sistem tutarlılık cümlesini de kanıtlayabilseydi, Gödel cümlesini de kanıtlamış olacağını söylüyor. Lina, bir kurumun kendi dürüstlüğünü kendi raporuyla güvence altına alıp alamayacağını merak ediyor. Barış, bir anayasanın kendi tutarlılığını kendi maddeleriyle kanıtlayıp kanıtlayamayacağını soruyor. Defne ise bir test yazılımının kendi doğruluğunu kendi testleriyle doğrulayıp doğrulayamayacağını düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, tutarlı ve yeterince güçlü bir sistemin kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi neden kanıtlayamadığını, bu sonucun birinci eksiklik teoreminin kanıtının sistemin içinde yapılmasından nasıl çıktığını ve Hilbert'in programı için ne anlama geldiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Birinci eksiklik dersi, Gödel cümlesinin, sistem tutarlıysa kanıtlanamadığını, Rosser'in bu sonucu yalnızca tutarlılığa dayandırdığını ve Gödel cümlesinin doğruluğunun sistemin dışında, tutarlılık varsayımıyla bilindiğini gösterdi. Metateori modülünün Nesne dil/üstdil dersinde Hilbert'in 1926 tarihli Sonsuz Üzerine konferansı ve matematiğin tutarlılığını güvenilir sonlu yöntemlerle kanıtlama programı tanıtılmıştı. Akademinin önceki derslerinde Hilbert ile Bernays'ın Matematiğin Temelleri kitabının ikinci cildi ve Gentzen'in doğal çıkarım çalışması da ele alınmıştı. Bu ders, ikinci eksiklik teoremini ve onun Hilbert'in programı için doğurduğu sonucu inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. David Hilbert ile Paul Bernays, 1939'da yayımladıkları Matematiğin Temelleri kitabının ikinci cildinde, ikinci eksiklik teoreminin kanıtı için gereken koşulları ilk kez ayrıntılı biçimde çıkarır. Martin Löb, 1955'te yayımladığı Leon Henkin'in Bir Probleminin Çözümü makalesinde, bu koşulları sadeleştirir ve onlardan kendi adıyla anılan bir teorem çıkarır. Gerhard Gentzen ise 1936'da yayımladığı Saf Sayılar Kuramının Tutarlılığı makalesinde, aritmetiğin tutarlılığını, aritmetiğin kendisinin kanıtlayamadığı bir ilkeyle kanıtlar.

Ardından üç itirazı tartacağız: bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlamasının zaten değersiz olacağı, Gentzen'in kanıtının Hilbert'in programını kurtardığı ve sonucun tutarlılık cümlesinin nasıl yazıldığına bağlı olduğu itirazları.

Sonda, bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayıp kanıtlayamayacağını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: tutarlılık cümlesini sistemin dilinde yazmak, birinci eksiklik teoreminin akıl yürütmesini sistemin içinde yeniden kurmak, bu akıl yürütmenin gerektirdiği koşulları denetlemek ve sistemin tutarlılığının hangi dış kaynaktan güvence alabileceğini sormak.

Merkez soru

Sorumuz şu: tutarlı ve yeterince güçlü bir sistem kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi neden kanıtlayamaz ve bu sonuç Hilbert'in programı için ne anlama gelir?

Ölçülü iddiam şu: ikinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her sistemin, kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi kanıtlayamadığını söyler. Bu sonuç, birinci eksiklik teoreminin kanıtının sistemin kendi içinde yapılmasından çıkar. Birinci teoremin akıl yürütmesi, "sistem tutarlıysa, Gödel cümlesi kanıtlanamaz" diyordu. Gödel cümlesi de kendi kanıtlanamazlığını söylediği için, bu akıl yürütme "tutarlılık cümlesi doğruysa Gödel cümlesi doğrudur" biçiminde sistemin içinde kanıtlanabilir. Sistem tutarlılık cümlesini de kanıtlasaydı, Gödel cümlesini kanıtlamış olurdu. Ama birinci teoreme göre, sistem tutarlıysa Gödel cümlesini kanıtlayamaz. Öyleyse tutarlılık cümlesini de kanıtlayamaz. Bu akıl yürütmenin sistemin içinde yapılabilmesi, sistemin kanıtlanabilirlik kavramının belirli koşulları karşılamasına bağlıdır. Hilbert ile Bernays bu koşulları ilk kez ayrıntılı olarak çıkardı. Löb onları üç yalın koşula indirdi ve bu koşullardan, kendi kanıtlanabilirliğini söyleyen bir cümlenin kanıtlanabilir olduğunu gösteren teoremini çıkardı. İkinci teoremin Hilbert'in programı için sonucu ağırdır. Hilbert, matematiğin tutarlılığının, aritmetiğin küçük ve güvenilir bir parçasında yapılabilecek sonlu yöntemlerle kanıtlanmasını istiyordu. Bu yöntemler aritmetiğin içinde yapılabiliyorsa, ikinci teorem, aritmetiğin tutarlılığının onlarla kanıtlanamayacağını söyler. Gentzen'in kanıtı, aritmetiğin tutarlılığını kanıtlamıştır, ama aritmetiğin kendisinin kanıtlayamadığı bir ilkeye başvurarak. Tutarlılık, sistemin içinden değil, ondan güçlü bir ilkenin dışarıdan verdiği bir güvenceyle kanıtlanabilir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci ikinci eksiklik teoremini ilk duyduğunda, onun tuhaf bir sonuç olduğunu düşünür. Bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamaması, onun tutarsız olduğunu mu gösterir? Hayır. Teorem, tam tersine, yalnızca tutarlı sistemler hakkındadır. Tutarlı bir sistem, kendi tutarlılığını kanıtlayamaz. Tutarsız bir sistem ise her şeyi kanıtladığı için, kendi tutarlılığını da kanıtlar.

Bu, ilk bakışta bir paradoks gibi görünür. Kendi tutarlılığını kanıtlayan bir sistem, bu yüzden şüphelidir: tutarsız olabilir. Kendi tutarlılığını kanıtlayamayan bir sistem ise, tutarlı olabilir. Bir sistemin kendi hakkında verdiği tutarlılık güvencesi, bu yüzden hiçbir zaman tek başına yeterli değildir.

Teoremin gücü, birinci teoremden farklı bir yerden gelir. Birinci teorem, sistemin kanıtlayamadığı bir cümlenin var olduğunu söylüyordu, ama bu cümle, kendi kanıtlanamazlığını söyleyen, özel olarak kurulmuş bir cümleydi. İkinci teorem ise, sistemin kanıtlayamadığı cümlelerden birinin, kendi tutarlılığını söyleyen, bütün matematik için en önemli cümlelerden biri olduğunu söyler.

Görüşler ve pozisyonlar

İkinci eksiklik teoreminin Hilbert'in programı için anlamı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, çöküş görüşüdür. Buna göre ikinci teorem, Hilbert'in programını ortadan kaldırmıştır. Hilbert, matematiğin tutarlılığını aritmetiğin içinde yapılabilecek sonlu yöntemlerle kanıtlamak istiyordu. İkinci teorem, aritmetiğin kendi tutarlılığını bile kanıtlayamadığını göstererek bu amacın gerçekleşemeyeceğini göstermiştir.

İkinci görüş, değişim görüşüdür. Buna göre ikinci teorem, Hilbert'in programının özgün biçimini ortadan kaldırmıştır, ama programın bir değişmiş biçimi sürdürülebilir. Gentzen'in kanıtı, aritmetiğin tutarlılığını, sonlu yöntemleri biraz aşan ama hâlâ güvenilir sayılabilecek bir ilkeyle kanıtlamıştır.

Üçüncü görüş, göreli güvence görüşüdür. Buna göre ikinci teorem, bir sistemin tutarlılığının her zaman başka bir sisteme göre güvence altına alınabildiğini gösterir. Mutlak bir tutarlılık güvencesi yoktur. Her güvence, bir başka sistemin ilkelerine duyulan güvene dayanır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci ile ikinci görüşün birer gözlemini kabul eder. Birinci görüş, Hilbert'in programının özgün biçiminin gerçekleşemeyeceğini doğru görür. İkinci görüş, Gentzen'in kanıtının bir tutarlılık kanıtı olduğunu ve değersiz olmadığını doğru görür. Ama her iki görüş de, tutarlılık güvencesinin yapısal olarak dışarıdan gelmek zorunda olduğu sonucunu tam olarak adlandırmaz. Üçüncü görüş, bu sonucu açıkça söyler.

Argümanın yapısı

Bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayıp kanıtlayamayacağını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, tutarlılık cümlesini sistemin dilinde yazmaktır. Değerlendiren, "sistem bir çelişki kanıtlamaz" iddiasını, aritmetikleştirme aracılığıyla, sayılar hakkında bir cümle olarak yazar.

İkinci adım, birinci eksiklik teoreminin akıl yürütmesini sistemin içinde yeniden kurmaktır. Değerlendiren, "sistem tutarlıysa Gödel cümlesi kanıtlanamaz" akıl yürütmesinin her adımını, sistemin dilindeki bir cümle olarak yazar ve bu cümlelerin sistemde kanıtlanabildiğini gösterir.

Üçüncü adım, bu akıl yürütmenin gerektirdiği koşulları denetlemektir. Değerlendiren, sistemin kanıtlanabilirlik yükleminin, bir cümleyi kanıtladığında onun kanıtlanabilirliğini de kanıtlaması gibi, Löb'ün sadeleştirdiği üç koşulu karşılayıp karşılamadığını sorar.

Dördüncü adım, sistemin tutarlılığının hangi dış kaynaktan güvence alabileceğini sormaktır. Değerlendiren, sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağına göre, onun tutarlılığını hangi daha güçlü sistemin ya da hangi ilkenin güvence altına alabileceğini belirler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İkinci eksikliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İkinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her sistemin kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi kanıtlayamadığını söyler. Kerem'in içeriden kanıtında görüldüğü gibi, bu sonuç birinci eksiklik teoreminin kanıtının sistemin içinde yapılmasından çıkar. Sistem "tutarlılık cümlesi doğruysa Gödel cümlesi doğrudur" cümlesini kanıtlar ve tutarlılık cümlesini de kanıtlasaydı Gödel cümlesini kanıtlamış olurdu. Hilbert ile Bernays, bu akıl yürütmenin sistemin içinde yapılabilmesi için gereken koşulları ilk kez ayrıntılı olarak çıkardı. Löb, onları üç yalın koşula indirdi ve Tolga'nın kanıtlanabilir cümlesinde görüldüğü gibi, ikinci teoremi de içeren teoremini çıkardı. Selin'in sisteminde görüldüğü gibi, kendi tutarsızlığını söyleyen bir sistem tutarlı kalabilir. Gentzen, aritmetiğin tutarlılığını, aritmetiğin kendisinin kanıtlayamadığı bir ilkeyle kanıtladı. Lina'nın kurumunda, Barış'ın anayasasında ve Defne'nin test yazılımında görüldüğü gibi, tutarlılık güvencesi yapısal olarak dışarıdan gelmek zorundadır. Hilbert'in programının özgün biçimi gerçekleşemez. Tutarlılık, mutlak değil, her zaman bir başka ilkeye göre güvence altına alınabilir.

Açık kalan sorular

Lina'nın kendini denetleyen kurumu, tutarlılık güvencesinin bir zincir oluşturduğunu ve bu zincirin bir yerde bir güvenle durdurulması gerektiğini gösterdi. Bu güven, matematikte neye dayanır? Gentzen'in tümevarım ilkesinin güvenilirliği, bir sezgiye mi, bir pratiğe mi, yoksa bir başka kanıta mı dayanır?

Selin'in kendi tutarsızlığını söyleyen sistemi, tutarlı ama yanlış bir şey söyleyen bir sistemin mümkün olduğunu gösterdi. Tutarlılık, bir sistemin güvenilir olması için yeterli midir? Bir sistemin doğru olduğunu, yani amaçlanan modelinde yalnızca doğru cümleleri kanıtladığını, tutarlılığından ayrı olarak nasıl bilebiliriz?

Tolga'nın kanıtlanabilir cümlesi, Löb teoreminin kendi kanıtlanabilirliğini söyleyen bir cümlenin kanıtlanabilir olduğunu gösterdiğini ortaya koydu. Kendi hakkında olumlu bir şey söyleyen bir cümlenin kanıtlanabilir, olumsuz bir şey söyleyenin ise kanıtlanamaz olması, bir sistemin kendi hakkındaki bilgisinin yapısı hakkında ne söyler?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İkinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her sistemin kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi kanıtlayamadığını söyler; bu sonuç, birinci eksiklik teoreminin kanıtının sistemin kendi içinde yapılmasından çıkar.

Hilbert ile Bernays'ın Matematiğin Temelleri kitabının ikinci cildi bu akıl yürütmenin sistemin içinde yapılabilmesi için gereken koşulları ilk kez ayrıntılı olarak çıkardı, Löb'ün 1955 tarihli makalesi bu koşulları üç maddeye indirip ikinci teoremi de içeren teoremini çıkardı, Gentzen'in 1936 tarihli makalesi ise aritmetiğin tutarlılığını aritmetiğin kanıtlayamadığı bir tümevarım ilkesiyle kanıtladı.

Bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayıp kanıtlayamayacağı dört adımla değerlendirilir: tutarlılık cümlesini sistemin dilinde yazmak, birinci teoremin akıl yürütmesini sistemin içinde yeniden kurmak, bu akıl yürütmenin gerektirdiği türetilebilirlik koşullarını denetlemek ve tutarlılığın hangi dış kaynaktan güvence alabileceğini sormak.

Bir sistemin kendi tutarlılık kanıtının zaten değersiz olacağı, Gentzen'in kanıtının Hilbert'in programını kurtardığı ve sonucun tutarlılık cümlesinin yazımına bağlı olduğu itirazları, teoremin zayıf bir sistemin güçlü bir sistem hakkındaki güvencesini de olanaksız kıldığını, Gentzen'in ilkesinin aritmetikten güçlü olduğunu ve kanıtlanabilirliği doğal biçimde ifade eden her yazımda teoremin geçerli olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden ikinci eksiklik teoremi, tutarlılık güvencesinin yapısal olarak dışarıdan gelmek zorunda olduğunu gösterir ve Hilbert'in matematiğin tutarlılığını küçük ve güvenilir bir parçanın içinden kanıtlama umudunu, göreli güvenceler zincirine dönüştürür.

Sonraki derse köprü

İki eksiklik teoremi artık birlikte duruyordu. Birinci teorem, uygun her sistemin kanıtlayamadığı doğru bir cümle bulunduğunu söylüyordu. İkinci teorem, bu cümlelerden birinin sistemin kendi tutarlılığı olduğunu söylüyordu. Kerem, bu sonuçlardan ne çıkarılabileceğini soruyor.

Tolga, Lucas'ın, bizim Gödel cümlesinin doğru olduğunu görebildiğimizden insan zihninin bir makine olamayacağı sonucunu çıkardığını hatırlıyor. Selin, Gödel'in kendisinin, bu teoremlerden matematiksel nesnelerin bizden bağımsız bir gerçekliğe sahip olduğu sonucunu çıkardığını duyduğunu söylüyor. Lina, teoremlerin, matematiğin biçimsel yöntemlerle tam olarak yakalanamayacağını göstermesinin, matematiksel bilginin neye dayandığı hakkında ne söylediğini merak ediyor. Barış ise bu sonuçların hangilerinin teoremlerden gerçekten çıktığını, hangilerinin ek varsayımlara dayandığını ayırmak gerektiğini söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Felsefi sonuçlar dersi, eksiklik teoremlerinden insan zihni, matematiksel doğruluğun doğası ve biçimsel yöntemlerin sınırları hakkında hangi sonuçların meşru olarak çıkarılabildiğini ve Lucas'ın mekanizm karşıtı argümanı gibi en etkili felsefi uygulamaların hangi ek varsayımlara dayandığını soruyor.