Önce özete göz atDersin sonundaki özet, okumaya başlamadan önce yol haritası olarak.
Beş cümlede dersin iskeleti.
Birinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her biçimsel sistemin, ne kendisini ne de olumsuzlamasını kanıtlayabildiği bir cümle içerdiğini söyler; kendi kanıtlanamazlığını söyleyen Gödel cümlesi, sistem tutarlıysa kanıtlanamaz ve bu yüzden doğrudur.
Gödel'in 1931 tarihli makalesinin altıncı önermesi teoremi ω-tutarlılık varsayımıyla kanıtladı, Rosser'in 1936 tarihli makalesi bu varsayımı kaldırıp teoremi yalnızca tutarlılığa dayandırdı, Paris ile Harrington'ın 1977 tarihli makalesi ise eksikliğin doğal bir matematik cümlesiyle de ortaya çıktığını gösterdi.
Birinci eksiklik teoreminin bir sisteme uygulanıp uygulanamayacağı dört adımla sınanır: sistemin tutarlı olup olmadığını sormak, aksiyomlarının mekanik olarak tanınıp tanınamadığını belirlemek, yeterince aritmetik içerip içermediğini denetlemek ve bu koşullar karşılanıyorsa sistemin olumsuzlama bakımından tam olamayacağı sonucuna varmak.
Gödel cümlesinin yapay olduğu, onun doğruluğunu görebilmemizin zihnin sistemleri aştığını gösterdiği ve eksikliğin aksiyom eklenerek giderilebileceği itirazları, eksikliğin doğal cümlelerle de ortaya çıktığını, Gödel cümlesinin doğruluğuna dair bilgimizin tutarlılık varsayımına bağlı olduğunu ve her eklemenin yeni bir Gödel cümlesi doğurduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.
Bu yüzden birinci eksiklik teoremi, belirli bir sistemin kusurunu değil, kendi hakkında konuşabilecek kadar güçlü her sistemin tam ve uygulanabilir olmayı birlikte başaramamasını gösterir.
Açılış sahnesi
Kerem, köşegen önsavını kanıtlanamazlık özelliğine uyguluyor ve bir cümle elde ediyor. Ona G diyor. G, aritmetiğin dilinde yazılmış bir cümleydi ve yalnızca sayılar hakkında konuşuyordu. Ama kodlama aracılığıyla okununca, kendi hakkında bir şey söylüyordu: "Benim Gödel numaramı taşıyan formülün bu sistemde bir kanıtı yoktur." Kısacası G, kendi kanıtlanamazlığını söylüyordu. Kerem, G'nin sistemde kanıtlanıp kanıtlanamayacağını soruyor.
Lina, G kanıtlanabilseydi, sistemin hem G'yi hem de G'nin söylediğinin yanlış olduğunu kanıtlamış olacağını düşünüyor. Tolga, G'nin olumsuzlamasının kanıtlanabilmesinin de bir sorun doğurup doğurmayacağını soruyor. Selin, G kanıtlanamıyorsa, söylediği şeyin doğru olduğunu, yani G'nin doğru ama kanıtlanamaz bir cümle olduğunu fark ediyor. Barış, bu sonucun hangi sistemler için geçerli olduğunu, bir sistemi daha fazla aksiyomla güçlendirmenin sorunu çözüp çözmeyeceğini merak ediyor. Defne ise yalnızca toplamayı içeren daha zayıf bir aritmetiğin de aynı kaderi paylaşıp paylaşmadığını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, kendi kanıtlanamazlığını söyleyen cümlenin, sistem tutarlıysa neden kanıtlanamadığını, sistemin bu cümlenin olumsuzlamasını da neden kanıtlayamadığını ve birinci eksiklik teoreminin tam olarak hangi sistemler için ne söylediğini soruyor.
Bu derste ne olacak
Önce bu dersin yerini belirleyelim. Aritmetikleştirme dersi, Gödel numaralamasını, temsil edilebilirliği ve köşegen önsavını inceledi ve kendi kanıtlanamazlığını söyleyen bir cümlenin aritmetiğin içinde kurulabildiğini gösterdi. Metateori modülünün Tamlık dersinde olumsuzlama tamlığı tanımlanmış ve yüklemler mantığının tamlığı ile aritmetiğin eksikliğinin iki farklı tamlık kavramı olduğu belirtilmişti. Birinci derece mantık modülünün Kompaktlık dersinde de aritmetiğin standart olmayan modelleri tanıtılmıştı. Bu ders, bu parçaları bir araya getiriyor: birinci eksiklik teoreminin kanıtını, koşullarını ve kapsamını inceliyor.
Sonra üç kaynağa bakacağız. Kurt Gödel, 1931'de yayımladığı makalenin altıncı önermesinde, belirli koşulları karşılayan her biçimsel sistemin, ne kendisini ne de olumsuzlamasını kanıtlayabildiği bir cümle içerdiğini gösterir. J. Barkley Rosser, 1936'da yayımladığı Gödel ile Church'ün Bazı Teoremlerinin Genişletmeleri makalesinde, Gödel'in koşullarından birini zayıflatarak teoremi yalnızca tutarlılığa dayandırır. Jeff Paris ile Leo Harrington ise 1977'de yayımladıkları Peano Aritmetiğinde Matematiksel Bir Eksiklik makalesinde, kendine gönderimle hiçbir ilgisi olmayan doğal bir matematik cümlesinin, aritmetiğin standart aksiyomlarıyla kanıtlanamadığını gösterir.
Ardından üç itirazı tartacağız: Gödel cümlesinin yapay olduğu ve gerçek matematikle ilgisi bulunmadığı, bizim Gödel cümlesinin doğru olduğunu görebildiğimizin insan zihninin biçimsel sistemleri aştığını gösterdiği ve eksikliğin daha fazla aksiyom eklenerek giderilebileceği itirazları.
Sonda, birinci eksiklik teoreminin bir sisteme uygulanıp uygulanamayacağını sınamanın dört adımını göstereceğiz: sistemin tutarlı olup olmadığını sormak, aksiyomlarının mekanik olarak tanınıp tanınamadığını belirlemek, sistemin yeterince aritmetik içerip içermediğini denetlemek ve bu üç koşul karşılanıyorsa, sistemin olumsuzlama bakımından tam olamayacağı sonucuna varmak.
Merkez soru
Sorumuz şu: kendi kanıtlanamazlığını söyleyen cümle neden kanıtlanamaz, olumsuzlaması neden kanıtlanamaz ve birinci eksiklik teoremi tam olarak hangi sistemler hakkında ne söyler?
Ölçülü iddiam şu: birinci eksiklik teoremi, üç koşulu karşılayan her biçimsel sistemin olumsuzlama bakımından tam olmadığını söyler. Sistem tutarlı olmalı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilmeli ve sistem temel aritmetiği içerecek kadar güçlü olmalıdır. Böyle bir sistemde, Gödel cümlesi G kanıtlanamaz. G kanıtlanabilseydi, bu kanıtın varlığı sistemin içinde de kanıtlanabilirdi, yani sistem G'nin kanıtlanabilir olduğunu kanıtlardı. Ama G kendi kanıtlanamazlığını söylediği için, sistem G'yi kanıtlarken G'nin kanıtlanamaz olduğunu da kanıtlamış olurdu. Sistem çelişkili olurdu. G'nin olumsuzlaması da kanıtlanamaz, ama bunun kanıtı biraz daha güçlü bir koşul gerektirir. Gödel bu koşula ω-tutarlılık adını verdi. Rosser, cümleyi ustaca değiştirerek bu koşulu kaldırdı ve teoremi yalnızca tutarlılığa dayandırdı. Sistem tutarlıysa, G kanıtlanamaz olduğu için söylediği doğrudur. G, doğru ama sistemde kanıtlanamaz bir cümledir. Ama bu doğruluk, sistemin dışında, sistemin tutarlı olduğunu varsayarak yapılan bir akıl yürütmeyle bilinir. Teorem, belirli bir sistemin bir kusurunu değil, her uygun sistemin yapısal bir sınırını gösterir. Sisteme G eklenirse, yeni sistemin kendi Gödel cümlesi olur. Paris ile Harrington'ın sonucu, bu sınırın yalnızca kendine gönderen cümlelerle değil, doğal matematik cümleleriyle de ortaya çıktığını gösterir. Koşulların her biri gereklidir. Tutarsız bir sistem her şeyi kanıtlar. Bütün doğruları aksiyom alan bir sistem tamdır, ama aksiyomları mekanik olarak tanınamaz. Yalnızca toplamayı içeren bir aritmetik ise tamdır, çünkü teoremin gerektirdiği gücü taşımaz.
Sıfır noktası
Bir öğrenci birinci eksiklik teoremini ilk duyduğunda, onu çoğu zaman "matematikte kanıtlanamayan doğrular vardır" biçiminde özetler. Bu özet yanlış değildir, ama eksiktir ve yanıltıcı olabilir. Teorem, mutlak anlamda kanıtlanamayan doğrulardan söz etmez. Belirli bir biçimsel sistemde kanıtlanamayan doğrulardan söz eder. Bir sistemde kanıtlanamayan bir cümle, başka bir sistemde kanıtlanabilir.
Teoremin söylediği, belirli koşulları karşılayan her sistemin olumsuzlama bakımından tam olmadığıdır. Yani sistemin dilinde öyle bir cümle vardır ki, sistem ne onu ne de olumsuzlamasını kanıtlayabilir. Tamlık dersinde görüldüğü gibi, bu, yüklemler mantığının tamlığıyla çelişmez. Yüklemler mantığı, bir aksiyom kümesinin bütün modellerinde doğru olan her cümleyi kanıtlar. Gödel cümlesi, aritmetiğin bütün modellerinde doğru değildir. Standart doğal sayılarda doğrudur, ama aksiyomları karşılayan standart olmayan bazı modellerde yanlıştır.
Bu yüzden teorem, iki tür doğruluğu ayırmayı gerektirir. Bir cümle, bir sistemde kanıtlanabilir olabilir. Bir cümle, aritmetiğin amaçlanan modelinde, yani olağan doğal sayılarda doğru olabilir. Birinci eksiklik teoremi, bu iki kavramın, uygun her sistemde birbirinden ayrıldığını gösterir.
Görüşler ve pozisyonlar
Birinci eksiklik teoreminin anlamı konusunda üç görüş var.
Birinci görüş, sınır görüşüdür. Buna göre teorem, biçimsel yöntemlerin matematik doğruluğunun tamamını yakalayamayacağını gösterir. Uygun her biçimsel sistem, bazı doğruları kanıtlayamaz. Matematiksel doğruluk, herhangi bir biçimsel sistemdeki kanıtlanabilirlikten daha geniştir.
İkinci görüş, göreli görüştür. Buna göre teorem, yalnızca belirli sistemler hakkında bir şey söyler. Bir sistemde kanıtlanamayan bir cümle, daha güçlü bir sistemde kanıtlanabilir. Teorem, mutlak bir sınır değil, her sistemin kendi erişim alanının bir sınırı olduğunu gösterir.
Üçüncü görüş, zihin görüşüdür. Buna göre teorem, insan zihninin biçimsel sistemleri aştığını gösterir. Biz Gödel cümlesinin doğru olduğunu görebiliriz, ama sistem onu kanıtlayamaz. Öyleyse bizim matematik bilgimiz, herhangi bir biçimsel sistemin kanıtlayabildiğinden fazlasını kapsar.
Bu ders ikinci görüşü temel alır ve birinci görüşün, uygun her sistemin bir sınırı bulunduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, bu sınırın yapısal olduğunu doğru görür. Ama "matematiksel doğruluk" ifadesinin, amaçlanan modelde doğruluk olarak anlaşıldığını ve bu kavramın kendisinin de bir sistemin dışında ele alındığını açıkça belirtmez. Üçüncü görüş, tartışmalı bir sonuca varır ve itirazlarda görülecek bir güçlükle karşılaşır. İkinci görüş, teoremin söylediğini söyler: her uygun sistem eksiktir, ama eksik olduğu yer sistemden sisteme değişir.
Argümanın yapısı
Birinci eksiklik teoreminin bir sisteme uygulanıp uygulanamayacağını sınamak için dört adım izlenebilir.
Birinci adım, sistemin tutarlı olup olmadığını sormaktır. Sınayan, sistemin hem bir cümleyi hem olumsuzlamasını kanıtlayıp kanıtlamadığını sorar. Tutarsız bir sistem her şeyi kanıtladığı için eksik değildir, ama işe yaramazdır.
İkinci adım, aksiyomlarının mekanik olarak tanınıp tanınamadığını belirlemektir. Sınayan, bir cümlenin sistemin aksiyomu olup olmadığını belirleyen bir algoritmanın bulunup bulunmadığını sorar.
Üçüncü adım, sistemin yeterince aritmetik içerip içermediğini denetlemektir. Sınayan, sistemin toplamayı ve çarpmayı içeren temel aritmetik gerçekleri kanıtlayabildiğini ve mekanik olarak denetlenebilen ilişkileri temsil edebildiğini gösterir.
Dördüncü adım, bu üç koşul karşılanıyorsa, sistemin olumsuzlama bakımından tam olamayacağı sonucuna varmaktır. Sınayan, sistemin dilinde ne kendisinin ne de olumsuzlamasının kanıtlanabildiği bir cümlenin bulunduğunu yazar.
En güçlü itiraz
Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.
Birinci eksikliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Birinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her biçimsel sistemin olumsuzlama bakımından tam olmadığını söyler. Kerem'in birinci durumunda görüldüğü gibi, Gödel cümlesi kanıtlanabilseydi, sistem onun hem kanıtlanabilir hem kanıtlanamaz olduğunu kanıtlardı; bu yüzden tutarlı bir sistem onu kanıtlayamaz. Tolga'nın ikinci durumunda görüldüğü gibi, olumsuzlamasının kanıtlanamazlığı Gödel'in kanıtında ω-tutarlılığı gerektiriyordu. Rosser bu koşulu kaldırdı ve teoremi yalnızca tutarlılığa dayandırdı. Selin'in doğru cümlesinde görüldüğü gibi, Gödel cümlesi doğrudur, ama bu doğruluk sistemin dışında, tutarlılık varsayımıyla bilinir. Lina'nın eklenen maddesinde görüldüğü gibi, eksiklik bir cümle eklenerek giderilemez; her yeni sistem kendi Gödel cümlesine sahip olur. Paris ile Harrington, eksikliğin doğal matematik cümleleriyle de ortaya çıktığını gösterdi. Barış'ın doğrular kanununda ve Defne'nin toplama aritmetiğinde görüldüğü gibi, teoremin üç koşulu da gereklidir. Tam ve uygulanabilir olmak birlikte elde edilemez. Kendi hakkında konuşabilecek kadar güçlü her sistem eksiktir.
Açık kalan sorular
Selin'in doğru cümlesi, Gödel cümlesinin doğruluğunun sistemin tutarlılığına bağlı olduğunu gösterdi. Bir sistemin tutarlı olduğunu nasıl bilebiliriz? Bu bilgi, sistemin kendi içinde kanıtlanabilir mi, yoksa her zaman sistemin dışından mı gelmelidir?
Lina'nın eklenen maddesi, eksikliğin her eklemeyle yeniden ortaya çıktığını gösterdi. Gödel cümlelerini sırayla eklemeye devam edersek, bir sınırda, bütün aritmetik doğrulara ulaşır mıyız? Ulaşmıyorsak, bu sürecin dışında kalan doğrular hangileridir?
Paris ile Harrington'ın sonucu, doğal bir matematik cümlesinin Peano aritmetiğinde kanıtlanamadığını gösterdi. Matematikçilerin bugün çözmeye çalıştığı açık sorulardan bazıları da aynı durumda olabilir mi? Bir sorunun kanıtlanamaz olduğunu bilmek, onun cevabı hakkında ne söyler?
Yaygın hatalar
Yaygın yanlışEksikliği mutlak kanıtlanamazlık sanmak.
Birinci eksiklik teoremini, bazı matematik doğrularının hiçbir yolla kanıtlanamayacağı biçiminde okumak, Lina'nın eklenen maddesinde görüldüğü gibi, bir sistemde kanıtlanamayan bir cümlenin daha güçlü bir sistemde kanıtlanabildiğini ve teoremin yalnızca belirli sistemler hakkında olduğunu gözden kaçırır.
Yaygın yanlışGödel cümlesinin doğruluğunu koşulsuz bilmek.
Gödel cümlesinin doğru olduğunu koşulsuz olarak bildiğimizi varsaymak, Selin'in doğru cümlesinde görüldüğü gibi, bu bilginin sistemin tutarlı olduğu varsayımına dayandığını ve bu varsayımın kendisinin kanıtlanması gereken bir şey olduğunu gözden kaçırır.
Yaygın yanlışTeoremin koşullarını gözden kaçırmak.
Birinci eksiklik teoremini her biçimsel sisteme uygulamak, Barış'ın doğrular kanununda ve Defne'nin toplama aritmetiğinde görüldüğü gibi, aksiyomları mekanik olarak tanınamayan sistemlerin ve temel aritmetiği içermeyen zayıf sistemlerin tam olabildiğini gözden kaçırır.
Yaygın yanlışEksikliği tamlık teoremiyle çelişik saymak.
Aritmetiğin eksik olmasını yüklemler mantığının tamlığıyla çelişik saymak, sıfır noktasında görüldüğü gibi, Gödel cümlesinin aritmetiğin bütün modellerinde değil yalnızca amaçlanan modelde doğru olduğunu ve iki teoremin farklı tamlık kavramlarından söz ettiğini gözden kaçırır.
Kendin dene
Aklında kalsın
Beş cümlede dersin iskeleti.
Birinci eksiklik teoremi, tutarlı, aksiyomları mekanik olarak tanınabilen ve temel aritmetiği içeren her biçimsel sistemin, ne kendisini ne de olumsuzlamasını kanıtlayabildiği bir cümle içerdiğini söyler; kendi kanıtlanamazlığını söyleyen Gödel cümlesi, sistem tutarlıysa kanıtlanamaz ve bu yüzden doğrudur.
Gödel'in 1931 tarihli makalesinin altıncı önermesi teoremi ω-tutarlılık varsayımıyla kanıtladı, Rosser'in 1936 tarihli makalesi bu varsayımı kaldırıp teoremi yalnızca tutarlılığa dayandırdı, Paris ile Harrington'ın 1977 tarihli makalesi ise eksikliğin doğal bir matematik cümlesiyle de ortaya çıktığını gösterdi.
Birinci eksiklik teoreminin bir sisteme uygulanıp uygulanamayacağı dört adımla sınanır: sistemin tutarlı olup olmadığını sormak, aksiyomlarının mekanik olarak tanınıp tanınamadığını belirlemek, yeterince aritmetik içerip içermediğini denetlemek ve bu koşullar karşılanıyorsa sistemin olumsuzlama bakımından tam olamayacağı sonucuna varmak.
Gödel cümlesinin yapay olduğu, onun doğruluğunu görebilmemizin zihnin sistemleri aştığını gösterdiği ve eksikliğin aksiyom eklenerek giderilebileceği itirazları, eksikliğin doğal cümlelerle de ortaya çıktığını, Gödel cümlesinin doğruluğuna dair bilgimizin tutarlılık varsayımına bağlı olduğunu ve her eklemenin yeni bir Gödel cümlesi doğurduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.
Bu yüzden birinci eksiklik teoremi, belirli bir sistemin kusurunu değil, kendi hakkında konuşabilecek kadar güçlü her sistemin tam ve uygulanabilir olmayı birlikte başaramamasını gösterir.
Sonraki derse köprü
Selin'in doğru cümlesi, Gödel cümlesinin doğruluğunun sistemin tutarlılığına bağlı olduğunu göstermişti: sistem tutarlıysa, Gödel cümlesi doğruydu. Kerem, bu akıl yürütmenin kendisinin de aritmetikleştirilebileceğini fark ediyor. "Sistem tutarlıdır" iddiası da, aritmetiğin dilinde bir cümle olarak yazılabilirdi: hiçbir sayı, bir çelişkinin kanıtının kodu değildir. Kerem, bu cümleye tutarlılık cümlesi diyor.
Tolga, Kerem'in birinci durumunda yaptığı akıl yürütmenin, yani sistem tutarlıysa Gödel cümlesinin kanıtlanamayacağı akıl yürütmesinin, sistemin kendi içinde yapılıp yapılamayacağını soruyor. Yapılabilirse, sistem "tutarlılık cümlesi doğruysa Gödel cümlesi doğrudur" diyen bir cümleyi kanıtlayacaktı. Selin, sistem kendi tutarlılık cümlesini de kanıtlayabilseydi, Gödel cümlesini de kanıtlamış olacağını söylüyor. Barış, bunun Hilbert'in, matematiğin tutarlılığını güvenilir yöntemlerle kanıtlama umudu için ne anlama geldiğini merak ediyor.
Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. İkinci eksiklik dersi, tutarlı ve yeterince güçlü bir sistemin kendi tutarlılığını söyleyen cümleyi neden kanıtlayamadığını, bu sonucun birinci eksiklik teoreminin kanıtının sistemin içinde yapılmasından nasıl çıktığını ve Hilbert'in programı için ne anlama geldiğini soruyor.