Aritmetikleştirme

Açılış sahnesi

Kerem, aritmetiğin biçimsel dilinin sembollerini bir listeye yazıyor ve her birine bir numara veriyor. Sıfır işaretine bir, eşittir işaretine iki, ardıl işaretine, yani bir sayıdan sonra geleni gösteren işarete üç. Sonra en basit formülü alıyor: "sıfır eşittir sıfır." Formül, üç sembolden oluşuyordu ve sembollerin numaraları sırasıyla bir, iki, birdi. Kerem, bu üç numarayı tek bir sayıya dönüştürmenin bir yolunu arıyor. İlk asal sayı olan ikiyi birinci numaranın, ikinci asal sayı olan üçü ikinci numaranın, üçüncü asal sayı olan beşi üçüncü numaranın kuvvetine yükseltip çarpıyor. İki üzeri bir, çarpı üç üzeri iki, çarpı beş üzeri bir. Sonuç doksan.

Tolga, doksanın artık iki şey birden olduğunu fark ediyor: bir sayı ve bir formülün kodu. Selin, katalogdaki kayıt numaralarının da böyle olduğunu, bir numaranın hem bir sayı hem bir nüshanın adı olduğunu hatırlıyor. Lina, bir sözlükteki bir girişin, kendi numarasını bilmeden kendisinden söz edip edemeyeceğini merak ediyor. Barış, bir yasanın kendi sayısıyla kendisine gönderme yapabildiğini söylüyor. Defne ise hastane kayıtlarındaki tanı kodlarının da sayılar olduğunu, ama bu sayılar üzerinde yapılan hesapların tanılar hakkında hiçbir şey söylemediğini hatırlatıyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, bir biçimsel sistemin formüllerinin ve kanıtlarının sayılarla nasıl kodlanabildiğini, bu kodlamanın aritmetiğin kendi sözdizimi hakkında konuşmasını nasıl mümkün kıldığını ve kendi kanıtlanamazlığını söyleyen bir cümlenin aritmetiğin içinde nasıl kurulduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Hesaplanabilirlik modülünün Durma problemi dersi, köşegen argümanını ve bir programın kendi kodunu girdi olarak alabilmesinin bu argümandaki rolünü inceledi. Metateori modülünün Nesne dil/üstdil dersinde Carnap'ın, bir dilin kendi sözdizimini kendi içinde ifade edebileceğini gösteren 1934 tarihli kitabı tanıtılmıştı. Akademinin önceki derslerinde de Gödel'in eksiklik teoremleri iki kez kısaca anılmıştı. Bu ders, Gödel modülünü açıyor: eksiklik teoremlerinin dayandığı ilk ve en temel aracı, bir biçimsel sistemin sözdizimini aritmetiğe çevirme yöntemini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Kurt Gödel, 1931'de yayımladığı Principia Mathematica ve İlgili Sistemlerin Biçimsel Olarak Karar Verilemez Önermeleri Üzerine makalesinin ikinci bölümünde, sembollere, formüllere ve kanıtlara sayı atamanın bir yöntemini verir ve sözdizimsel kavramların aritmetik kavramlar olarak ifade edilebildiğini gösterir. Rudolf Carnap, 1934'te yayımladığı Dilin Mantıksal Sözdizimi kitabında, bu yöntemden, her özellik için o özelliği kendisine yükleyen bir cümlenin kurulabildiğini söyleyen genel bir sonuç çıkarır. Ernest Nagel ile James Newman ise 1958'de yayımladıkları Gödel'in Kanıtı kitabında, bu yöntemi uzman olmayan okurlar için açık bir biçimde sunar.

Ardından üç itirazı tartacağız: kodlamanın keyfi olduğu, sayılar hakkındaki bir cümlenin formüller hakkında konuşmadığı ve kendine gönderimin meşru olmadığı itirazları.

Sonda, bir sözdizimsel iddiayı aritmetik bir iddiaya çevirmenin dört adımını göstereceğiz: sembollere numara vermek, formülleri ve kanıtları sayılarla kodlamak, sözdizimsel bir özelliği kodlar arasında bir aritmetik ilişki olarak yazmak ve bu ilişkinin sistemin içinde ifade edilip kanıtlanabildiğini göstermek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir biçimsel sistemin formülleri ve kanıtları nasıl sayılarla kodlanır ve bu kodlama, aritmetiğin kendi formülleri hakkında konuşmasını nasıl mümkün kılar?

Ölçülü iddiam şu: Gödel'in aritmetikleştirmesi, bir biçimsel sistemin sözdizimini aritmetiğe çeviren sistemli bir kodlamadır. Her sembole bir numara verilir. Bir formül, sembollerinin bir dizisidir ve ardışık asal sayıların, sembol numaralarının kuvvetine yükseltilip çarpılmasıyla tek bir sayıya dönüştürülür. Her sayı asal çarpanlarına yalnızca tek bir biçimde ayrılabildiği için, kodlama tersine çevrilebilir: bir kod sayısından formül geri okunabilir. Bir kanıt da formüllerin bir dizisi olduğu için aynı biçimde kodlanır. Bu kodlama, sözdizimsel özellikleri aritmetik özelliklere dönüştürür. "Şu dizi bir formüldür" iddiası, "şu sayı belirli bir aritmetik özelliği taşır" iddiasına dönüşür. "Şu dizi şu formülün bir kanıtıdır" iddiası da iki sayı arasında bir aritmetik ilişkiye dönüşür. Gödel, bu ilişkilerin mekanik olarak denetlenebildiğini ve aritmetiğin kendi dilinde ifade edilip kanıtlanabildiğini gösterdi. Böylece aritmetik, sayılar hakkında konuşurken, kendi formülleri hakkında da konuşur hâle gelir. Carnap, bu yöntemden genel bir sonuç çıkardı: aritmetiğin dilindeki her özellik için, o özelliği kendi kodunun taşıdığını söyleyen bir cümle kurulabilir. Bu cümle, "bu" gibi bir işaret sözcüğüne başvurmadan, yalnızca aritmetik araçlarla kendinden söz eder. Kendine gönderim, bir dil hilesi değil, aritmetiğin kendi yapısının bir sonucudur.

Sıfır noktası

Bir öğrenci Gödel numaralamasını ilk gördüğünde, onu gereksiz bir karmaşıklık sanır. Neden formüllere sayı veriyoruz? Formüller zaten işaret dizileridir ve onlar hakkında doğrudan konuşabiliriz. Ama bu soru, Gödel'in amacını gözden kaçırır. Gödel'in amacı, formüller hakkında konuşmak değil, aritmetiğin kendisinin formüller hakkında konuşmasını sağlamaktı.

Aritmetiğin biçimsel dili yalnızca sayılardan söz eder. Onun niceleyicileri sayılar üzerinde dolaşır, yüklemleri sayıların özelliklerini ve ilişkilerini dile getirir. Bu dilde "şu formül kanıtlanabilir" demenin doğrudan bir yolu yoktur, çünkü formüller sayı değildir. Ama formüllere sayılar karşılık getirilirse, formüller hakkındaki bir iddia, onların kodları hakkındaki bir iddiaya çevrilebilir. O zaman aritmetiğin dili, yalnızca sayılardan söz ederken, dolaylı olarak kendi formüllerinden de söz eder.

Bu, Nesne dil/üstdil dersinde görülen ayrımı ortadan kaldırmaz; onu aritmetiğin içine taşır. Üst dilin cümleleri, yani sistem hakkındaki cümleler, nesne dilinde, yani aritmetiğin kendi dilinde, kodlar aracılığıyla yeniden yazılır. Aritmetik, kendi üst dilinin bir parçasını kendi içinde taşır.

Görüşler ve pozisyonlar

Aritmetikleştirmenin ne başardığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, teknik araç görüşüdür. Buna göre Gödel numaralaması, eksiklik teoremlerini kanıtlamak için kullanılan ustaca ama yalnızca teknik bir araçtır. Onun felsefi bir önemi yoktur; yalnızca bir kanıtı mümkün kılar.

İkinci görüş, içselleştirme görüşüdür. Buna göre aritmetikleştirme, bir biçimsel sistemin kendi üst dilinin bir bölümünü kendi içinde taşıyabildiğini gösterir. Bu, önemli bir felsefi sonuçtur: yeterince güçlü bir sistem, kendi hakkında konuşabilir.

Üçüncü görüş, çift okuma görüşüdür. Buna göre aritmetikleştirme, aynı cümlenin iki okumasını mümkün kılar. Bir okumada cümle yalnızca sayılar hakkındadır. Öteki okumada, kodlama aracılığıyla, formüller hakkındadır. Eksiklik teoremlerinin gücü, bu iki okumanın birbirine tam olarak karşılık gelmesinden doğar.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, sistemin kendi hakkında konuşabildiği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, numaralamanın bir kanıt aracı olduğunu doğru görür. Ama bu aracın neden işe yaradığını, yani sözdizimsel ilişkilerin aritmetik ilişkilere tam olarak karşılık gelmesini açıklamaz. İkinci görüş, bu karşılığın sonucunu doğru adlandırır. Üçüncü görüş, bu sonucun nasıl mümkün olduğunu gösterir: iki okuma, cümlenin kendisinde değil, kodlamanın kurduğu karşılıkta birleşir.

Argümanın yapısı

Bir sözdizimsel iddiayı aritmetik bir iddiaya çevirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, sembollere numara vermektir. Çeviren, sistemin her temel sembolüne farklı bir doğal sayı atar.

İkinci adım, formülleri ve kanıtları sayılarla kodlamaktır. Çeviren, her formülü ve her formül dizisini, tersine çevrilebilir bir kuralla tek bir sayıya dönüştürür.

Üçüncü adım, sözdizimsel bir özelliği kodlar arasında bir aritmetik ilişki olarak yazmaktır. Çeviren, örneğin "şu dizi şu formülün bir kanıtıdır" iddiasını, iki sayının belirli bir aritmetik koşulu karşılaması olarak tanımlar.

Dördüncü adım, bu ilişkinin sistemin içinde ifade edilip kanıtlanabildiğini göstermektir. Çeviren, aritmetik ilişkinin sistemin kendi dilinde bir formülle yazılabildiğini ve ilişki iki belirli sayı için geçerliyse, sistemin bunu kanıtlayabildiğini gösterir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Aritmetikleştirmeyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Gödel'in aritmetikleştirmesi, bir biçimsel sistemin sözdizimini aritmetiğe çeviren sistemli bir kodlamadır. Kerem'in doksanında görüldüğü gibi, her formül ardışık asal sayıların sembol numaralarının kuvvetine yükseltilip çarpılmasıyla kodlanır ve asal çarpanlara ayırmanın tekliği sayesinde kod sayısından formül geri okunabilir. Tolga'nın kanıt denetçisinde görüldüğü gibi, bu kodlama sözdizimsel ilişkileri, "şu sayı şu formülün bir kanıtının kodudur" gibi, mekanik olarak denetlenebilen aritmetik ilişkilere dönüştürür. Gödel, bu ilişkilerin aritmetiğin kendi dilinde temsil edilebildiğini gösterdi. Selin'in iki okumasında görüldüğü gibi, aritmetiğin bir cümlesi yalnızca sayılar hakkındadır, ama kodlama aracılığıyla formüller hakkında da okunur ve iki okuma kanıtlanmış bir karşılıkla birbirine bağlıdır. Carnap, bu yöntemden köşegen önsavını çıkardı. Lina'nın tırnak oyununda ve Barış'ın kanun sayısında görüldüğü gibi, aritmetiğin dilindeki her özellik için, o özelliği kendi koduna yükleyen bir cümle, bir işaret sözcüğüne başvurmadan kurulabilir. Nagel ile Newman, bu adımın eksiklik teoremlerinin anlaşılması için temel olduğunu gösterdi. Defne'nin tanı kodlarında görüldüğü gibi, bir kodlamanın bu işi görmesi için, sözdizimsel yapıyı hesaplanabilir aritmetik ilişkilerle taşıması gerekir. Kendine gönderim, bir dil hilesi değil, aritmetiğin kendi yapısının bir sonucudur.

Açık kalan sorular

Selin'in iki okuması, aritmetiğin bir cümlesinin kodlama aracılığıyla formüller hakkında da okunabildiğini gösterdi. Bir cümlenin hangi okumasının "asıl" okuma olduğunu kim belirler? Bir cümlenin anlamı, onun hakkında kurulabilecek bütün doğru kodlama karşılıklarını da kapsar mı?

Tolga'nın kanıt denetçisi, "şu formülün bir kanıtı vardır" ilişkisinin karar verilebilir olmadığını düşündürdü. Bu ilişki aritmetiğin içinde temsil edilebilir mi? Temsil edilebiliyorsa, aritmetik kendi kanıtlanabilirliği hakkında her şeyi bilebilir mi?

Lina'nın tırnak oyunu, kendine gönderimin bir işaret sözcüğü değil, kendine uygulanabilen bir işlem gerektirdiğini gösterdi. Kendine uygulanabilen bir işlemi içeren her dil, kendi hakkında konuşabilir mi? Doğal diller, bu yüzden, kendi paradokslarından kaçınamaz mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Gödel'in aritmetikleştirmesi, bir biçimsel sistemin sembollerine, formüllerine ve kanıtlarına, ardışık asal sayıların kuvvetleri aracılığıyla tersine çevrilebilir biçimde sayı atar ve böylece sözdizimsel ilişkileri mekanik olarak denetlenebilen aritmetik ilişkilere dönüştürür.

Gödel'in 1931 tarihli makalesinin ikinci bölümü bu kodlamayı kurup sözdizimsel kavramların aritmetikte temsil edilebildiğini gösterdi, Carnap'ın Dilin Mantıksal Sözdizimi kitabı bu yöntemden her özellik için kendine gönderen bir cümle kuran köşegen önsavını çıkardı, Nagel ile Newman'ın Gödel'in Kanıtı kitabı ise bu adımın eksiklik teoremlerinin anlaşılması için temel olduğunu gösterdi.

Bir sözdizimsel iddia dört adımla aritmetik bir iddiaya çevrilir: sembollere numara vermek, formülleri ve kanıtları sayılarla kodlamak, sözdizimsel özelliği kodlar arasında bir aritmetik ilişki olarak yazmak ve bu ilişkinin sistemin içinde temsil edilebildiğini göstermek.

Kodlamanın keyfi olduğu, sayılar hakkındaki bir cümlenin formüller hakkında konuşmadığı ve kendine gönderimin meşru olmadığı itirazları, sonuçların tersine çevrilebilir her kodlamada korunduğunu, iki okuma arasındaki karşılığın kanıtlanmış bir olgu olduğunu ve kendine gönderimin aritmetiğin kendi işlemlerinden kaçınılmaz olarak doğduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden aritmetikleştirme, bir dilin nesne dili ile üst dili arasındaki ayrımı ortadan kaldırmaz, ama üst dilin bir bölümünü nesne dilinin içine taşır ve aritmetiğin, yalnızca sayılar hakkında konuşurken, kendi formülleri hakkında da konuşmasını mümkün kılar.

Sonraki derse köprü

Köşegen önsavı, aritmetiğin dilindeki her özellik için, o özelliği kendi koduna yükleyen bir cümle kurulabildiğini söylüyordu. Kerem, bu önsavı en ilginç özelliğe uygulamayı düşünüyor: kanıtlanamaz olmak. Tolga'nın kanıt denetçisinden, "şu formülün bir kanıtı yoktur" özelliğinin aritmetiğin dilinde yazılabildiğini biliyordu. Önsava göre, bu özelliği kendi koduna yükleyen bir cümle vardı: kendi kanıtlanamazlığını söyleyen bir cümle.

Selin, bu cümlenin yalancı paradoksuna ne kadar benzediğini fark ediyor. Yalancı cümlesi kendi yanlışlığını, bu cümle ise kendi kanıtlanamazlığını söylüyordu. Lina, bu cümle kanıtlanabilseydi ne olacağını soruyor: kanıtlanabilir olduğu hâlde kanıtlanamaz olduğunu söyleyen bir cümle kanıtlanmış olacaktı. Barış, cümlenin olumsuzlaması kanıtlanabilseydi ne olacağını merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Birinci eksiklik dersi, kendi kanıtlanamazlığını söyleyen cümlenin, sistem tutarlıysa neden kanıtlanamadığını, sistemin bu cümlenin olumsuzlamasını da neden kanıtlayamadığını ve birinci eksiklik teoreminin tam olarak hangi sistemler için ne söylediğini soruyor.