Model kuramına giriş

Açılış sahnesi

Kerem, son üç haftanın notlarına bakıyor ve bir sözcüğün her sayfada geçtiğini fark ediyor: model. Kataloğun modeli, sayılardan oluşan model, sonsuz küçükler içeren model, sayılamaz model. Ama Kerem, bir modelin tam olarak ne olduğunu hiçbir sayfada yazmamış. Bir model, bir nesneler kümesi miydi? Yoksa o nesnelerin arasındaki ilişkiler de modelin parçası mıydı? Bir cümle bir modelde doğru olduğunda, bu doğruluğu tam olarak ne belirliyordu?

Selin, atölyenin kataloğu ile kütüphanenin elindeki kopyasını karşılaştırıyor. İki katalog farklı kâğıtlara, farklı mürekkeplerle yazılmıştı, ama aynı nüshaları aynı sırayla ve aynı ilişkilerle kaydediyordu. Selin, bunların aynı yapı olup olmadığını soruyor. Tolga, sayılamaz adlarla kurulan modelin doğal sayılarla aynı cümleleri doğruladığını, ama onlarla aynı yapıda olmadığını hatırlatıyor. Lina, iki sözlüğün, sözcükleri farklı olsa da aynı düzende sıralanıp sıralanamayacağını düşünüyor. Barış, iki ülkenin mahkeme sistemlerinin, adları ve yerleri farklı olsa da aynı basamaklarla örgütlenip örgütlenemeyeceğini merak ediyor. Defne ise bir hastaneyi bir yapı olarak betimlemenin, hastanenin hangi yanlarını dışarıda bıraktığını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, bir yapının, bir dilin ve bir kuramın modelinin tam olarak ne olduğunu, iki modelin yapıca eş olması ile aynı cümleleri doğrulaması arasındaki farkı ve model kuramının matematiğin farklı yapılarını tek bir çerçevede incelemek için nasıl bir araç olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Birinci derece mantık modülünün önceki üç dersi, tamlık teoremini, tıkızlık teoremini ve Löwenheim–Skolem teoremini inceledi ve bu teoremlerin modeller hakkında ne söylediğini gösterdi. Kompaktlık dersinde kategoriklik ve temel sınıf kavramları, Löwenheim–Skolem dersinde ise temel alt yapı kavramı anılmıştı. Programın Yüklemler Mantığı kursunda da model, modelin evreni ve model içinde doğruluk kavramları tanımlanmış, Abraham Robinson'ın cebirde model kuramsal yöntemler kullanan 1951 tarihli çalışması ele alınmıştı. Bu ders, modülü kapatıyor: bu kavramları model kuramı adıyla anılan disiplinin temel kavramları olarak bir araya getiriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Alfred Tarski, 1954'te yayımlamaya başladığı Modeller Kuramına Katkılar makale dizisinde, bu disipline adını veren kavramları ve sorunları tanımlar. Chen Chung Chang ile H. Jerome Keisler, 1973'te yayımladıkları Model Kuramı kitabında, disiplini evrensel cebir ile mantığın birleşimi olarak betimler ve onun temel sonuçlarını sistemli biçimde sunar. Michael Morley ise 1965'te yayımladığı Büyüklükte Kategoriklik makalesinde, birinci derece kuramların belirli büyüklüklerde kategorik olabildiğini ve bunun kuramın bütün büyük modellerine yayıldığını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: model kuramının mantık değil, küme kuramı ve cebir olduğu, yapıca eş modellerin aynı sayılmasının matematiğin konusu hakkında tartışmalı bir görüşe dayandığı ve model kuramının kendisinin bir küme kuramsal evreni varsaydığı itirazları.

Sonda, bir alanı bir yapı olarak betimlemenin dört adımını göstereceğiz: bir dil, yani bir sembol dağarcığı seçmek, bir evren ve bu sembollerin yorumlarını belirlemek, iki yapının yapıca eş olup olmadığını sınamak ve iki yapının aynı cümleleri doğrulayıp doğrulamadığını ayrıca sormak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir yapı ve bir kuramın modeli tam olarak nedir ve iki modelin yapıca eş olması ile aynı birinci derece cümleleri doğrulaması arasındaki fark, model kuramına neyi incelemeyi mümkün kılar?

Ölçülü iddiam şu: bir yapı, bir evrenden, yani boş olmayan bir nesneler kümesinden, ve bir dilin sembollerinin bu evrendeki yorumlarından oluşur. Dil, sabitleri, işlev sembollerini ve ilişki sembollerini içerir. Bir cümlenin bir yapıda doğru olması, Tarski'nin doyurma tanımına göre, yalnızca bu yorumlara ve evrene bağlıdır. Bir kuramın modeli, kuramın bütün cümlelerini doğrulayan bir yapıdır. İki yapı, evrenleri arasında bütün yorumları koruyan bire bir bir eşleme varsa yapıca eştir. Yapıca eş iki yapı, bütün birinci derece cümlelerde anlaşır. Ama tersi doğru değildir. Aynı cümleleri doğrulayan iki yapı, yapıca eş olmayabilir. Rasyonel sayılar ile gerçek sayılar, sıralamaları bakımından, aynı birinci derece cümleleri doğrular, ama büyüklükleri farklı olduğu için yapıca eş değildir. Model kuramı, bu iki ilişki arasındaki aralığı inceler. Chang ile Keisler'in betimlediği gibi, bu inceleme, cebirin yapıları ile mantığın dilini birleştirir. Grupları, sıralamaları, cisimleri aynı kavramlarla ele alır. Bu çerçevede, önceki derslerin olumsuz sonuçları olumlu sorulara dönüşür. Birinci derece bir kuram, sonsuz modellerini genel olarak belirleyemez. Ama Morley'in gösterdiği gibi, bazı kuramlar belirli büyüklüklerde kategorik olabilir ve bu özellik, kuramın bütün sayılamaz büyüklüklerine yayılır. Model kuramı, bir kuramın modellerini ne ölçüde belirlediğini ölçen bir disiplin olarak işler.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "model" sözcüğünü duyduğunda, çoğu zaman bir maketi ya da bir benzetmeyi düşünür. Mantıkta model başka bir şeydir. Bir model, bir kuramın cümlelerinin doğru olduğu bir durumdur ve bu durum kesin olarak tanımlanır. Tanım iki parçalıdır: bir dil ve bir yapı.

Dil, hangi sembollerin kullanılabileceğini belirler. Sabitler, belirli nesnelerin adlarıdır. İşlev sembolleri, nesnelerden nesnelere götüren işlemlerin adlarıdır. İlişki sembolleri, nesneler arasındaki ilişkilerin adlarıdır. Bir yapı ise bu sembollere bir anlam verir. Bir evren seçer ve her sabite evrenden bir nesne, her işlev sembolüne evren üzerinde bir işlem, her ilişki sembolüne evrenin nesneleri arasında bir ilişki atar.

Bu tanımla, bir cümlenin bir yapıda doğru olup olmadığı, yalnızca yapıya bağlıdır. Tarski'nin doyurma tanımı, önceki kurslarda görüldüğü gibi, bu doğruluğu yalın cümlelerden bileşik cümlelere adım adım belirler. Model kuramı, bu tanımın üzerine kurulur. Onun sorusu, bir cümlenin bir yapıda doğru olup olmadığı değil, yapılar ile onları betimleyen cümle kümeleri arasındaki genel ilişkilerdir.

Görüşler ve pozisyonlar

Model kuramının ne tür bir disiplin olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, mantık görüşüdür. Buna göre model kuramı, mantığın bir dalıdır. Onun konusu, cümleler ile onları doğrulayan yapılar arasındaki ilişkidir ve temel kavramı mantıksal doğruluktur.

İkinci görüş, cebir görüşüdür. Buna göre model kuramı, cebirin bir genellemesidir. Onun konusu, grupları, halkaları, sıralamaları kapsayan genel yapılardır. Mantık, bu yapıları sınıflandırmak için kullanılan bir araçtır.

Üçüncü görüş, birleşim görüşüdür. Buna göre model kuramı, Chang ile Keisler'in formülüyle, evrensel cebir ile mantığın birleşimidir. İki disiplinin hiçbiri tek başına onun yaptığını yapamaz. Cebir yapıları sağlar, mantık onları betimleyen dili sağlar, model kuramı ikisi arasındaki ilişkiyi inceler.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün, model kuramının mantıksal doğruluk kavramına dayandığı gözlemini kabul eder. Birinci görüş, model kuramının temelinde Tarski'nin doğruluk tanımının bulunduğunu doğru görür. İkinci görüş, model kuramının sonuçlarının çoğunun cebirde uygulandığını doğru görür. Ama iki görüş, model kuramının asıl verimliliğinin iki alanın buluştuğu yerde ortaya çıktığını tek başına açıklayamaz. Robinson'ın cebirdeki çalışması ve daha önce görülen standart olmayan analiz, bu buluşmanın örnekleridir.

Argümanın yapısı

Bir alanı bir yapı olarak betimlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, bir dil, yani bir sembol dağarcığı seçmektir. Betimleyen, alanın hangi nesnelerinin adlandırılacağını, hangi işlemlerin ve hangi ilişkilerin sembolle gösterileceğini belirler. Dilin dışında kalan her şey, yapının da dışında kalır.

İkinci adım, bir evren ve bu sembollerin yorumlarını belirlemektir. Betimleyen, yapının nesnelerini seçer ve her sembole bu nesneler üzerinde bir anlam atar.

Üçüncü adım, iki yapının yapıca eş olup olmadığını sınamaktır. Betimleyen, iki yapının evrenleri arasında bütün yorumları koruyan bire bir bir eşleme arar.

Dördüncü adım, iki yapının aynı cümleleri doğrulayıp doğrulamadığını ayrıca sormaktır. Betimleyen, iki yapı yapıca eş değilse bile, dilin bütün birinci derece cümlelerinde anlaşıp anlaşmadıklarını sorar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Model kuramına girişi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir yapı, bir evrenden ve bir dilin sembollerinin bu evrendeki yorumlarından oluşur. Kerem'in tanımlarında görüldüğü gibi, bir cümlenin bir yapıda doğru olması yalnızca bu yorumlara bağlıdır ve bir yapı yalnızca dilinin adlandırdığı şeyleri taşır. Bir kuramın modeli, kuramın bütün cümlelerini doğrulayan bir yapıdır. İki yapı, bütün yorumları koruyan bire bir bir eşleme varsa yapıca eştir. Selin'in iki kataloğunda görüldüğü gibi, yapıca eş yapılar nesneleri bakımından farklı, yapıları bakımından aynıdır. Tolga'nın iki sıralamasında görüldüğü gibi, yapıca eş olmayan yapılar da temel olarak denk olabilir: rasyonel sayılar ile gerçek sayılar aynı cümleleri doğrular, ama büyüklükleri farklıdır. Tarski bu disiplinin çerçevesini çizdi. Chang ile Keisler onu evrensel cebir ile mantığın birleşimi olarak sistemleştirdi. Morley ise Löwenheim–Skolem sınırının içinde bile, bazı kuramların belirli büyüklüklerde kategorik olabildiğini ve bunun bütün sayılamaz büyüklüklere yayıldığını gösterdi. Lina'nın, Barış'ın ve Defne'nin durumlarında görüldüğü gibi, model kuramının bütün sonuçları bir dile görelidir. Bir yapı, bir alanın dilin seçtiği bir kesitidir. Model kuramı, bir kuramın modellerini ne ölçüde belirlediğini ölçen bir disiplin olarak işler.

Açık kalan sorular

Tolga'nın iki sıralaması, rasyonel sayılar ile gerçek sayıların temel olarak denk olduğunu, ama yapıca eş olmadığını gösterdi. Bir matematikçi, gerçek sayıları rasyonel sayılardan ayırmak için, birinci derece dilin söyleyemediği bir şeye mi başvurur? Bu şey, gerçek sayıların tamlığı mıdır ve o ne tür bir özelliktir?

Lina'nın dil seçimi, iki yapının aynı olup olmadığının dilin hangi ilişkileri adlandırdığına bağlı olduğunu gösterdi. Bir alanı betimlemek için doğru dil nasıl seçilir? Bir dilin bir alanın "gerçek" yapısını yakaladığı söylenebilir mi, yoksa her dil yalnızca bir amaca hizmet eden bir kesit mi verir?

Morley'in teoremi, bazı kuramların belirli büyüklüklerde kategorik olabildiğini gösterdi. Hangi kuramlar bu özelliği taşır ve bu özellik, bir kuramın konusunun ne kadar "iyi davrandığının" bir ölçüsü müdür? Bir kuramın modellerini belirleme gücü, onun anlaşılırlığıyla ilişkili midir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir yapı, bir evrenden ve bir dilin sabitlerinin, işlemlerinin ve ilişkilerinin bu evrendeki yorumlarından oluşur; bir kuramın modeli, kuramın bütün cümlelerini doğrulayan bir yapıdır ve bir yapı yalnızca dilinin adlandırdığı şeyleri taşır.

Tarski'nin Modeller Kuramına Katkılar dizisi yapı sınıfları ile onları tanımlayan cümle kümeleri arasındaki ilişkiyi inceleyen disiplinin çerçevesini çizdi, Chang ile Keisler'in Model Kuramı kitabı onu evrensel cebir ile mantığın birleşimi olarak sistemleştirdi, Morley'in Büyüklükte Kategoriklik makalesi ise bir kuramın belirli büyüklüklerde kategorik olabildiğini ve bunun bütün sayılamaz büyüklüklere yayıldığını gösterdi.

Bir alan dört adımla bir yapı olarak betimlenir: bir dil seçmek, bir evren ve yorumları belirlemek, iki yapının yapıca eş olup olmadığını sınamak ve aynı cümleleri doğrulayıp doğrulamadıklarını ayrıca sormak.

Model kuramının mantık değil cebir olduğu, yapıca eş modelleri aynı saymanın tartışmalı bir görüşe dayandığı ve bir küme kuramsal evren varsaydığı itirazları, temel denkliğin bir dil olmadan tanımlanamadığını, model kuramının matematiksel nesnelerin doğası sorusunu açık bıraktığını ve bu sınırın nesne dili ile üst dil ayrımının bir örneği olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden model kuramı, yapıca eşlik ile temel denklik arasındaki aralığı inceleyen ve bir kuramın modellerini ne ölçüde belirlediğini bir dile göre ölçen bir disiplindir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın iki sıralaması, yoğun ve uçları olmayan sıralamaların kuramının tam olduğunu göstermişti: her cümlenin ya kendisi ya olumsuzlaması bu kuramdan çıkıyordu. Tolga, bunun bir sonucunu fark ediyor. Kuramın aksiyomları sonlu bir listeydi ve bütün kanıtlar sırayla üretilebiliyordu. Bir cümle verildiğinde, kanıtları sırayla aramak, eninde sonunda ya cümlenin ya olumsuzlamasının kanıtını bulacaktı. Arama her zaman bitecekti. Bu kuram karar verilebilirdi.

Kerem, bu yöntemin daha önce gördükleri yarı karar yönteminden farkını görüyor: kuram tam olduğu için, "hayır" cevabı da eninde sonunda geliyordu. Ama Kerem, bu yöntemin gerçekten mekanik olup olmadığını, bir makinenin onu adım adım nasıl yürüteceğini soruyor. Selin, Turing'in bir hesabı yapan insanın ne yaptığını çözümlediğini hatırlıyor, ama bir algoritmanın tam olarak ne olduğunu, onu bir tarif ya da bir kural listesinden neyin ayırdığını merak ediyor. Defne, bir tanı kılavuzunun adımlarının bir algoritma sayılıp sayılamayacağını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Algoritma dersi, bir algoritmanın sezgisel kavramının hangi özellikleri taşıdığını, bu kavramı kesinleştirmek için önerilen birbirinden farklı tanımların neden aynı kapsama sahip çıktığını ve bir yöntemi mekanik kılan şeyin tam olarak ne olduğunu soruyor.