Löwenheim–Skolem

Açılış sahnesi

Selin, Kerem'in son nüsha numarasını bir adım ileri götürüyor. Kerem, doğal sayıların kuramına tek bir yeni ad eklemiş ve bütün olağan sayılardan büyük bir sayı bulunan bir model elde etmişti. Selin, tek bir ad yerine sayılamaz çoklukta yeni ad ekliyor ve her birinin ötekilerden farklı olduğunu söyleyen cümleler yazıyor. Her sonlu parça doğal sayılarda karşılanabiliyordu, çünkü sonlu sayıda farklı sayı her zaman bulunabilirdi. Tıkızlığa göre bütünün bir modeli vardı. Bu model, doğal sayılar hakkında doğru olan her birinci derece cümleyi doğruluyordu, ama gerçek sayılardan bile daha çok öğe içeriyordu.

Tolga, daha önce gördükleri sonucu hatırlıyor: tutarlı her kuramın sayılabilir bir modeli vardı. Şimdi de sonsuz bir modeli olan her kuramın, istenen her sonsuz büyüklükte bir modeli olduğu anlaşılıyordu. Kerem, grubun kataloğu betimlemek için yazabileceği en iyi kuramın bile, nüshalardan başka şeylerden oluşan modelleri bulunup bulunmayacağını soruyor. Lina, kendi dilinin bir sözcüğünün neyi gösterdiğinin, o dildeki bütün doğru cümlelerle belirlenip belirlenemeyeceğini merak ediyor. Barış, bir yasanın sözlerinin, yasa koyucunun kastettiği şeyleri gösterdiğini neyin güvence altına aldığını düşünüyor. Defne ise bir hekimin "bu hasta" derken hastaya dokunduğunu, sözcüklerinin bu yüzden neyi gösterdiğinin belli olduğunu söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, sonsuz bir modeli olan birinci derece bir kuramın her sonsuz büyüklükte bir modeli bulunduğunu söyleyen teoremin aşağı ve yukarı yönlerini, bu teoremin bir kuramın sözcüklerinin neyi gösterdiği sorusu için ne anlama geldiğini ve bu sonuçtan anlamın belirlenemezliği hakkında çıkarılan felsefi argümanları soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Tamlık teoremi dersi, Gödel'in kanıtından tutarlı her kümenin sayılabilir bir modeli bulunduğu sonucunu çıkarmış ve Skolem paradoksunu incelemişti. Kompaktlık dersi ise standart olmayan modelleri, kategorikliği ve Mal'cev'in her büyüklükteki dil için tıkızlık teoremini tanıtmıştı. Programın Yüklemler Mantığı kursundaki Yorum dersinde, Putnam'ın 1980 tarihli makalesindeki nesnelerin yerlerini değiştirmeye dayanan argüman tartışılmış. Bu ders, bu parçaları bir araya getiriyor: Löwenheim–Skolem teoremini iki yönüyle birlikte kuruyor ve ondan anlam hakkında çıkarılan argümanı tartıyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Alfred Tarski ile Robert Vaught, 1957'de yayımladıkları Bağıntısal Sistemlerin Aritmetik Genişlemeleri makalesinde, teoremin yukarı yönünü genel biçimiyle kanıtlar ve temel alt yapı kavramını kurar. Hilary Putnam, 1980'de yayımladığı Modeller ve Gerçeklik makalesinin Löwenheim–Skolem teoremine dayanan argümanında, bir dilin sözcüklerinin neyi gösterdiğinin, o dilin en iyi kuramıyla bile belirlenemeyeceğini savunur. David Lewis ise 1984'te yayımladığı Putnam'ın Paradoksu makalesinde, bu sonuca, bazı gönderim adaylarının ötekilerden daha doğal, bu yüzden daha uygun olduğunu söyleyerek karşı çıkar.

Ardından üç itirazı tartacağız: nedensel bir gönderim ilişkisinin belirlenemezliği ortadan kaldırdığı, Lewis'in çözümünün ağır bir metafizik bedel taşıdığı ve teoremin doğal dil hakkında hiçbir şey söylemediği, çünkü doğal dilin birinci derece bir dil olmadığı itirazları.

Sonda, bir kuramın modellerinden anlam hakkında bir sonuç çıkarmanın dört adımını göstereceğiz: teoremin kurama ne dediğini yazmak, amaçlanmamış bir model kurmak, bu modeli dışarıda bırakmak için eklenebilecek her kısıtın kendisinin de karşılanıp karşılanmadığını sormak ve belirlenemezlik sonucuna hangi ek öncülle varıldığını açıkça belirtmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: Löwenheim–Skolem teoremi birinci derece kuramların modelleri hakkında ne söyler ve bu sonuçtan, bir dilin sözcüklerinin neyi gösterdiğinin belirlenemez olduğu sonucu çıkar mı?

Ölçülü iddiam şu: Löwenheim–Skolem teoremi, sayılabilir bir dilde yazılmış ve sonsuz bir modeli olan her birinci derece kuramın, her sonsuz büyüklükte bir modeli bulunduğunu söyler. Aşağı yönü, Löwenheim ile Skolem'in kanıtladığı gibi, sayılabilir bir model verir. Yukarı yönü, Tarski ile Vaught'un genel biçimini kanıtladığı gibi, istenen her büyüklükte daha büyük modeller verir. Bu yüzden birinci derece bir kuram, sonsuz modellerinin büyüklüğü hakkında hiçbir şey söyleyemez. Bu biçimsel sonuç kesindir. Tartışmalı olan, ondan anlam hakkında çıkarılan sonuçtur. Putnam, bir dilin en iyi kuramının, bütün gözlemlerle uyumlu hâle getirilmiş olsa bile, amaçlanmamış modelleri bulunduğunu ve bu modelleri dışarıda bırakmak için eklenecek her kısıtın da yalnızca yeni bir cümle olduğunu, bu yüzden yine amaçlanmamış bir modelde karşılanabileceğini savundu. Buradan, sözcüklerin neyi gösterdiğinin belirlenemez olduğu sonucuna vardı. Bu sonuç, teoremden değil, teoreme eklenen bir öncülden çıkar: bir dilin sözcüklerinin neyi gösterdiğini belirleyen her şeyin, o dilin cümlelerinin doğru olmasından ibaret olduğu öncülü. Lewis bu öncülü reddetti. Ona göre gönderimi, cümlelerin yanında, dünyanın kendisinin taşıdığı bir yapı, bazı özelliklerin ötekilerden daha doğal olması da belirliyordu. Bu yüzden Löwenheim–Skolem teoremi, birinci derece kuramların sonsuz yapıları tek başına belirleyemediğini kesin olarak gösterir. Anlamın belirlenemezliğini göstermek için ise, anlamın yalnızca kuramlarla belirlendiğini ayrıca savunmak gerekir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci Löwenheim–Skolem teoremini ilk kez duyduğunda, onu bir matematik tuhaflığı olarak görür. Gerçek sayıların kuramının sayılabilir bir modeli vardır; doğal sayıların kuramının gerçek sayılardan büyük modelleri vardır.

Teoremin felsefi önemi, onun bir kuramın neyi betimlediği hakkında söylediğinden gelir. Bir kuram, cümlelerden oluşur. Bir model, bu cümleleri doğrulayan bir yapıdır. Kuramın amaçlanan modeli, kuramı yazanın betimlemek istediği yapıdır. Teorem, sonsuz bir amaçlanan modeli olan her kuramın, amaçlanan modelden farklı büyüklükte, bu yüzden ondan farklı modelleri de bulunduğunu söyler. Kuram, cümleleriyle, amaçlanan modeli ötekilerden ayıramaz.

Bu, bir kuramın sözcüklerinin neyi gösterdiği sorusuna bir güçlük getirir. Bir sözcüğün neyi gösterdiği, onun hangi modelde neyi gösterdiğine bağlıysa, ve kuram hangi modelden söz ettiğini belirleyemiyorsa, sözcüğün neyi gösterdiği de belirsiz kalır gibi görünür. Tartışmanın bütünü, bu "gibi görünür" ifadesinin arkasında ne olduğu sorusudur.

Görüşler ve pozisyonlar

Löwenheim–Skolem teoreminin anlam hakkında ne gösterdiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, belirlenemezlik görüşüdür. Buna göre teorem, bir dilin sözcüklerinin neyi gösterdiğinin, o dilin en iyi kuramıyla bile belirlenemeyeceğini gösterir. Putnam'ın 1980 tarihli argümanı bu görüşü savunur ve ondan, dilden bağımsız bir gerçeklikle eşleşen gönderim düşüncesinin tutarsız olduğu sonucunu çıkarır.

İkinci görüş, dışsal kısıt görüşüdür. Buna göre teorem, kuramların cümlelerinin gönderimi tek başına belirleyemediğini gösterir, ama gönderimi cümlelerin dışında bir şey de belirler. Bu şey, sözcükler ile nesneler arasındaki nedensel bağlar ya da dünyanın kendisinin taşıdığı yapı olabilir. Lewis'in görüşü bu türdendir.

Üçüncü görüş, sınırlı sonuç görüşüdür. Buna göre teorem, yalnızca birinci derece kuramlar hakkında biçimsel bir sonuçtur ve anlam hakkında hiçbir şey söylemez. Doğal dil ve matematik pratiği, birinci derece kuramlardan daha zengindir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve birinci görüşün, kuramların cümlelerinin gönderimi tek başına belirleyemediği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, bu gözlemi doğru yapar. Ama gözlemden anlamın belirlenemezliğine geçerken, gönderimi belirleyen her şeyin cümlelerin doğruluğundan ibaret olduğu öncülüne dayanır ve bu öncül tartışmalıdır. Üçüncü görüş, teoremin birinci derece mantığa özgü olduğunu doğru görür. Ama sorunun, daha önce kompaktlık üzerine yapılan tartışmada görüldüğü gibi, daha güçlü mantıklara geçildiğinde küme kuramına taşındığını hesaba katmaz. İkinci görüş, teoremin gösterdiğini kabul eder ve gönderimin kaynağını cümlelerin dışında arar.

Argümanın yapısı

Bir kuramın modellerinden anlam hakkında bir sonuç çıkarmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, teoremin kurama ne dediğini yazmaktır. Değerlendiren, kuramın sonsuz bir modeli olup olmadığını belirler ve varsa, teoreme göre hangi büyüklüklerde modelleri bulunduğunu yazar.

İkinci adım, amaçlanmamış bir model kurmaktır. Değerlendiren, kuramın bütün cümlelerini doğrulayan ama kuramı yazanın kastettiği yapıdan farklı olan bir model kurar ya da teoreme dayanarak böyle bir modelin varlığını gösterir.

Üçüncü adım, bu modeli dışarıda bırakmak için eklenebilecek her kısıtın kendisinin de karşılanıp karşılanmadığını sormaktır. Değerlendiren, kurama "sözcükler amaçlanan nesneleri gösterir" gibi bir kısıt eklemeyi dener ve bu kısıtın, yeni bir cümle olarak, yine amaçlanmamış bir modelde doğrulanıp doğrulanamayacağını sorar.

Dördüncü adım, belirlenemezlik sonucuna hangi ek öncülle varıldığını açıkça belirtmektir. Değerlendiren, sözcüklerin neyi gösterdiğinin belirlenemez olduğu sonucunun, teoremden mi yoksa gönderimin yalnızca cümlelerle belirlendiği öncülünden mi çıktığını yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Löwenheim–Skolem teoremini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Teorem, sayılabilir bir dilde yazılmış ve sonsuz bir modeli olan her birinci derece kuramın her sonsuz büyüklükte bir modeli bulunduğunu söyler. Selin'in sayılamaz adlarında görüldüğü gibi, doğal sayıların kuramının bile sayılamaz modelleri vardır. Tolga'nın büyüklük sorusunda görüldüğü gibi, sonsuz bir kuram, modellerinin büyüklüğü hakkında hiçbir şey söyleyemez. Tarski ile Vaught, teoremin yukarı yönünü temel alt yapı kavramıyla genel biçimde kanıtladı. Bu biçimsel sonuç kesindir. Putnam, Kerem'in ideal kataloğunda görüldüğü gibi, amaçlanmamış modelleri dışarıda bırakacak her kısıtın yalnızca daha fazla kuram olduğunu ve yeniden yorumlanabileceğini savundu. Buradan sözcüklerin neyi gösterdiğinin belirlenemez olduğu sonucuna vardı. Ama Lina'nın çeviri belirsizliğinde ve Defne'nin dokunuşunda görüldüğü gibi, bu sonuç teoremden değil, gönderimin yalnızca cümlelerle belirlendiği öncülünden çıkar. Lewis bu öncülü, gönderimin dünyanın doğal yapısıyla da belirlendiğini söyleyerek reddetti. Barış'ın sözü ve özü ise gönderime bir topluluğun pratiğinin de katkı yapabileceğini gösterdi. Bu yüzden teorem, birinci derece kuramların sonsuz yapıları tek başına belirleyemediğini kesin olarak gösterir. Anlamın belirlenemezliği ise, anlamın yalnızca kuramlarla belirlendiğini ayrıca savunmayı gerektirir.

Açık kalan sorular

Kerem'in ideal kataloğu ve Defne'nin dokunuşu, gönderimi belirleyen şeyin bir cümle değil, bir ilişki ya da bir olgu olduğu sezgisini doğurdu. Ama bu sezgi dile getirildiği anda bir cümleye dönüşüyor. Dile getirilemeyen bir şey, gönderimi nasıl belirleyebilir? Belirliyorsa, bunu nereden bilebiliriz?

Lewis'in gönderim mıknatısı, bazı özelliklerin ötekilerden daha doğal olduğunu varsaydı. Doğallık, bilimin keşfettiği bir şey midir, yoksa bizim sınıflandırma alışkanlıklarımızın bir yansıması mı? İkincisiyse, Lewis'in cevabı Putnam'ın sonucundan gerçekten farklı mıdır?

Selin'in sayılamaz adları, doğal sayıların kuramının doğal sayıların sayılabilir olduğunu bile söyleyemediğini gösterdi. Bir matematikçi, doğal sayıların sayılabilir olduğunu nereden bilir? Bu bilgi, bir kuramın dışında kalan bir sezgiye mi dayanır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Löwenheim–Skolem teoremi, sayılabilir bir dilde yazılmış ve sonsuz bir modeli olan her birinci derece kuramın her sonsuz büyüklükte bir modeli bulunduğunu söyler; bu yüzden sonsuz bir kuram, modellerinin büyüklüğü hakkında hiçbir şey söyleyemez.

Tarski ile Vaught'un 1957 tarihli makalesi teoremin yukarı yönünü temel alt yapı kavramıyla genel biçimde kanıtladı, Putnam'ın Modeller ve Gerçeklik makalesi teoremden sözcüklerin neyi gösterdiğinin belirlenemez olduğu sonucunu çıkardı, Lewis'in Putnam'ın Paradoksu makalesi ise bu sonucu gönderimin dünyanın doğal yapısıyla da belirlendiğini söyleyerek reddetti.

Bir kuramın modellerinden anlam hakkında bir sonuç dört adımla çıkarılır: teoremin kurama ne dediğini yazmak, amaçlanmamış bir model kurmak, onu dışarıda bırakacak her kısıtın da karşılanıp karşılanmadığını sormak ve belirlenemezlik sonucuna hangi ek öncülle varıldığını belirtmek.

Nedensel gönderimin belirlenemezliği ortadan kaldırdığı, Lewis'in çözümünün ağır bir metafizik bedel taşıdığı ve teoremin doğal dil hakkında bir şey söylemediği itirazları, nedensel gönderimin ancak bir olgu olarak Putnam'a cevap verebildiğini, her seçeneğin bir bedel taşıdığını ve daha güçlü mantıkların sorunu yalnızca küme kuramına taşıdığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden Löwenheim–Skolem teoremi birinci derece kuramların sonsuz yapıları tek başına belirleyemediğini kesin olarak gösterir, ama anlamın belirlenemezliği ayrıca, gönderimin yalnızca cümlelerle belirlendiği öncülünü savunmayı gerektirir.

Sonraki derse köprü

Bu modülün üç dersi, modeller hakkında konuştu: bir kuramın modelinin var olduğunu, sonsuz küçükler ya da standart olmayan sayılar içerebildiğini, her büyüklükte olabildiğini. Ama Kerem, "model" sözcüğünü hep sezgisel bir anlamda kullandıklarını fark ediyor. Bir modelin tam olarak neden oluştuğunu, bir cümlenin bir modelde doğru olmasının kesin tanımını ve iki modelin "aynı yapıda" olmasının ne demek olduğunu hiç açıkça yazmamışlardı.

Selin, sayılamaz adlarla kurduğu modelin doğal sayılarla aynı cümleleri doğruladığını, ama onlarla aynı yapıda olmadığını hatırlatıyor. İki modelin aynı cümleleri doğrulaması ile birbirine bire bir eşlenebilmesi farklı şeylerdi. Tolga, Tarski ile Vaught'un temel alt yapı kavramının, bu iki ilişkinin arasında bir yerde durduğunu söylüyor. Lina, model kuramının matematiğin bütün yapılarını, grupları, sıralamaları, sayı sistemlerini, aynı kavramlarla inceleyip inceleyemeyeceğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Model kuramına giriş dersi, bir yapının, bir dilin ve bir kuramın modelinin tam olarak ne olduğunu, iki modelin yapıca eş olması ile aynı cümleleri doğrulaması arasındaki farkı ve model kuramının matematiğin farklı yapılarını tek bir çerçevede incelemek için nasıl bir araç olduğunu soruyor.