Kompaktlık

Açılış sahnesi

Defne, bir hastane kaydını betimleyen küçük bir kuram yazıyor. İlk cümle, en az bir hasta olduğunu söylüyor. İkinci cümle, en az iki hasta olduğunu. Üçüncüsü, en az üç. Cümleler sonsuza kadar sürüyor. Sonra Defne, bu cümlelerin yanına bir cümle daha eklemek istiyor: hastaların sayısı sonludur. Hastane ne kadar büyük olursa olsun, hastaları sayılabilir bir yerde bitmeliydi.

Defne, bu son cümleyi birinci derece mantıkta yazmaya çalışıyor ve başaramıyor. Kerem, doğal sayılar hakkında bir kurama benzer bir şey eklemeyi deniyor: "bu sayı birden büyüktür", "bu sayı ikiden büyüktür" diye sonsuza kadar giden cümleler. Tolga, bu cümlelerin her sonlu parçasının doğal sayılarda karşılanabildiğini, ama bütününün karşılanamadığını söylüyor. Selin, katalogdaki iki yüz nüshanın tek bir cümleyle eksiksiz betimlenip betimlenemeyeceğini merak ediyor. Lina, gündelik dilde "sonlu" sözcüğünü herkesin anladığını, ama bir mantığın onu neden tanımlayamadığını soruyor. Barış ise bir yasa tanımının, yasa koyucunun hiç düşünmediği kurumları da kapsayıp kapsamadığını düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, sonsuz bir cümle kümesinin her sonlu parçası karşılanabilirse bütününün de karşılanabilir olmasının birinci derece mantıkta hangi beklenmedik modelleri doğurduğunu, bu özelliğin doğal sayıların standart olmayan modellerini nasıl ortaya çıkardığını ve birinci derece mantığın sonluluk gibi kavramları neden tanımlayamadığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Tamlık dersi, tıkızlık teoremini tanımlamış ve onun, bir çelişkinin her zaman sonlu bir parçada saklı olduğunu gösterdiğini söylemişti. Tamlık teoremi dersi ise Gödel'in kanıtını, sayılabilir model sonucunu ve Skolem paradoksunu incelemişti. Parakonsistent mantık modülünün Uygulamalar dersinde, Berkeley'in erken kalkülüsün sonsuz küçüklerine yönelttiği eleştiri ele alınmıştı. Bu ders, tıkızlık teoremini, bu kez bir güvence olarak değil, birinci derece mantığın ifade gücünü sınırlayan ve beklenmedik modeller üreten bir araç olarak inceliyor. Teoremin adı Türkçe mantık yazınında hem tıkızlık hem kompaktlık olarak geçer.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Thoralf Skolem, 1934'te yayımladığı Sayı Dizisinin Belirlenemezliği Üzerine makalesinde, doğal sayıların birinci derece aritmetiğinin, doğal sayılardan farklı modelleri bulunduğunu gösterir. Anatoli Mal'cev, 1936'da yayımladığı Matematiksel Mantık Alanından Araştırmalar makalesinde, tıkızlık teoremini her büyüklükteki dile genişletir ve onun cebirde nasıl bir araç olarak kullanılabileceğini gösterir. Abraham Robinson ise 1966'da yayımladığı Standart Olmayan Analiz kitabında, tıkızlığı kullanarak sonsuz küçük sayılar içeren tutarlı bir analiz kurar.

Ardından üç itirazı tartacağız: standart olmayan modellerin yalnızca biçimsel birer yapıntı olduğu, ikinci derece mantığın bu sorunları çözdüğü ve tıkızlığın yalnızca tamlığın bir sonucu olup bağımsız bir anlam taşımadığı itirazları.

Sonda, bir kavramın birinci derece mantıkta tanımlanabilir olup olmadığını sınamanın dört adımını göstereceğiz: kavramı tanımlayan bir cümle varsaymak, bu cümleyle çatışan sonsuz bir cümle kümesi kurmak, kümenin her sonlu parçasının karşılanabildiğini göstermek ve tıkızlıkla varsayılan tanımın çöktüğünü göstermek.

Merkez soru

Sorumuz şu: sonsuz bir cümle kümesinin her sonlu parçası karşılanabilirse bütününün de karşılanabilir olması, birinci derece mantığın ifade gücü hakkında ne gösterir ve hangi beklenmedik modelleri doğurur?

Ölçülü iddiam şu: tıkızlık teoremi, birinci derece mantığın hem en güçlü araçlarından hem de en belirgin sınırlarından biridir. Sınır tarafında, teorem bazı kavramların birinci derece mantıkta tanımlanamayacağını gösterir. Sonluluk bunların başında gelir. Yalnızca sonlu modellerde doğru olan bir cümle bulunsaydı, onu "en az n öğe vardır" diyen bütün cümlelerle birleştirmek, her sonlu parçası karşılanabilen bir küme verirdi. Tıkızlığa göre bu kümenin bir modeli olurdu. Ama bu model hem sonlu hem sonsuz olmak zorunda kalırdı. Aynı yöntem, doğal sayılar hakkında doğru olan bütün birinci derece cümlelerin, doğal sayılardan farklı modelleri de bulunduğunu gösterir. Bu modellerde, bütün olağan sayılardan büyük bir "sayı" vardır. Skolem bu modelleri tıkızlığı kullanmadan, doğrudan kurmuştu. Tıkızlık onları kısa bir argümanla verir. Bu yüzden birinci derece aritmetik kategorik değildir: doğal sayıları yapılarıyla birlikte tek başına belirleyemez. Güç tarafında ise aynı teorem, istenen özelliklere sahip modelleri, her sonlu parçası karşılanabilen cümle kümeleri kurarak üretmeye izin verir. Mal'cev bu yöntemi cebire uyguladı. Robinson, gerçek sayılar hakkında doğru olan cümlelere "bu sayı sıfırdan büyük ama her pozitif kesirden küçüktür" diyen cümleler ekleyerek, sonsuz küçük sayılar içeren bir model kurdu. Leibniz'in sonsuz küçükleri, Berkeley'in eleştirisinden yaklaşık iki yüz otuz yıl sonra tutarlı bir temele kavuştu. Tıkızlığın sınırı ve gücü aynı yapıdan gelir: birinci derece mantık, bir cümle kümesinin sonlu parçalarından fazlasını göremez.

Sıfır noktası

Bir öğrenci sonluluğun tanımlanamaz olduğunu duyduğunda, bunu çoğu zaman yanlış anlar. Bir kümenin sonlu olduğunu söylemek kolay görünür: öğeleri sayılır ve sayma bir yerde biter. Ama "bir yerde biter" demek, doğal sayılardan söz etmek demektir. Birinci derece mantıkta niceleyiciler yalnızca modelin nesneleri üzerinde dolaşır. Bir cümle, bu nesnelerin sayısının "bir doğal sayı" olduğunu söyleyemez, çünkü doğal sayılar modelin içinde değildir.

Birinci derece mantık, belirli bir sayıyı söyleyebilir. "En az üç nesne vardır" bir cümleyle yazılabilir: birbirinden farklı üç nesne vardır. "En fazla üç nesne vardır" da yazılabilir. İkisi birlikte, tam olarak üç nesne bulunduğunu söyler. Ama "sonlu sayıda nesne vardır" demek, sonsuz sayıda seçeneğin, bir, iki, üç ve böyle devam eden seçeneklerin, birinin geçerli olduğunu söylemektir. Bu, sonsuz uzunlukta bir "ya da" gerektirir ve birinci derece mantığın cümleleri sonlu uzunluktadır.

Tıkızlık teoremi, bu gözlemi kesin bir kanıta dönüştürür. Bir kavramın, sonlu uzunlukta hiçbir cümleyle tanımlanamayacağını gösterir. Tıkızlığın gücü de buradan gelir. Bir modelin var olduğunu göstermek için, onu kurmak yerine, her sonlu parçanın bir modeli olduğunu göstermek yeter.

Görüşler ve pozisyonlar

Tıkızlık teoreminin birinci derece mantık hakkında ne gösterdiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, yetersizlik görüşüdür. Buna göre tıkızlık, birinci derece mantığın matematiğin temel kavramlarını, sonluluğu ve doğal sayıları, ifade edemediğini gösterir. Bu kavramları ifade edemeyen bir mantık, matematiğin mantığı olarak yetersizdir ve daha güçlü bir mantıkla değiştirilmelidir.

İkinci görüş, araç görüşüdür. Buna göre tıkızlık, birinci derece mantığın en verimli araçlarından biridir. Onunla, istenen özelliklere sahip modeller, örneğin sonsuz küçükler içeren gerçek sayılar ya da istenen cebirsel yapılar, doğrudan kurulabilir.

Üçüncü görüş, ödünleşim görüşüdür. Buna göre tıkızlığın sınırı ile gücü aynı yapıdan gelir. Birinci derece mantığın bir cümle kümesinin yalnızca sonlu parçalarını görebilmesi, hem onun bazı kavramları tanımlayamamasının hem de istenen modelleri üretebilmesinin kaynağıdır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün, tıkızlığın bir ifade gücü sınırı koyduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, bu sınırın gerçek olduğunu doğru görür. Ama daha önce Lindström'ün teoreminde görüldüğü gibi, sınırı aşan her mantığın başka bir değeri, tamlığı ya da tıkızlığı yitirdiğini hesaba katmaz. İkinci görüş, tıkızlığın verimliliğini doğru görür. Ama bu verimliliğin, istenmeyen modellerin de kaçınılmaz olmasının öbür yüzü olduğunu gözden kaçırabilir. Üçüncü görüş, iki yüzü birlikte tutar.

Argümanın yapısı

Bir kavramın birinci derece mantıkta tanımlanabilir olup olmadığını sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kavramı tanımlayan bir cümle varsaymaktır. Sınayan, kavramın uygulandığı her modelde doğru, uygulanmadığı her modelde yanlış olan bir cümlenin bulunduğunu varsayar.

İkinci adım, bu cümleyle çatışan sonsuz bir cümle kümesi kurmaktır. Sınayan, her biri tek başına kavramla uyumlu, ama hepsi birlikte kavramı dışlayan sonsuz sayıda cümle yazar.

Üçüncü adım, kümenin her sonlu parçasının karşılanabildiğini göstermektir. Sınayan, varsayılan cümle ile sonsuz kümenin herhangi bir sonlu parçasını birlikte doğrulayan bir model bulur.

Dördüncü adım, tıkızlıkla varsayılan tanımın çöktüğünü göstermektir. Sınayan, tıkızlık teoremine göre kümenin bütününün bir modeli bulunduğunu ve bu modelin hem kavramı taşıması hem de taşımaması gerektiğini gösterir. Çelişki, varsayılan cümlenin bulunamayacağını kanıtlar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Kompaktlığı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Tıkızlık teoremi, birinci derece mantığın hem en güçlü araçlarından hem de en belirgin sınırlarından biridir. Defne'nin sonlu hastanesinde görüldüğü gibi, sonluluğu tanımlayan bir cümle bulunsaydı, onu "en az n öğe vardır" cümleleriyle birleştirmek, tıkızlıkla hem sonlu hem sonsuz bir model verirdi; bu yüzden sonluluk tanımlanamaz. Kerem'in son nüsha numarasında görüldüğü gibi, aynı yöntem doğal sayıların, bütün olağan sayılardan büyük öğeler içeren standart olmayan modellerini verir. Skolem bu modelleri doğrudan kurmuştu. Bu yüzden sonsuz modeli olan hiçbir birinci derece kuram kategorik değildir, ama Selin'in iki yüz nüshasında görüldüğü gibi sonlu yapılar tek bir cümleyle belirlenebilir. Mal'cev tıkızlığı her büyüklükteki dile genişletti ve onu model kurmanın genel bir aracına dönüştürdü. Robinson ise aynı yöntemle sonsuz küçükler içeren tutarlı bir analiz kurdu. İkinci derece mantık bu sınırları aşar, ama tamlığı ve tıkızlığı yitirir ve belirlenemezliği küme kuramına taşır. Barış'ın kurum tanımında ve Lina'nın sözcüğünde görüldüğü gibi, amaçlanan model çoğu zaman cümlelerle değil, adlarla ya da bir pratikle belirlenir. Tıkızlığın sınırı ile gücü aynı yapıdan, birinci derece mantığın bir kümenin yalnızca sonlu parçalarını görebilmesinden gelir.

Açık kalan sorular

Lina'nın "sonlu" sözcüğü, sonluluğun anlamının cümlelerde değil, bir sayma pratiğinde belirlendiğini düşündürdü. Ama bu pratik hiçbir zaman sonsuza kadar sürdürülmüyorsa, standart olmayan sayıları dışarıda bıraktığı nasıl bilinebilir? Doğal sayıların amaçlanan modeli, herhangi bir şeyle tam olarak belirlenebilir mi?

Robinson'ın sonsuz küçükleri, Berkeley'in eleştirdiği yöntemin tutarlı bir biçimde yeniden kurulabildiğini gösterdi. Bu, Leibniz'in ve Newton'un haklı çıktığı anlamına mı gelir? Yoksa onların kastettiği sonsuz küçükler, Robinson'ın modelindekilerden başka bir şey miydi?

Barış'ın kurum tanımı ve Selin'in iki yüz nüshası, sonlu bir sicile sığan adlarla belirlenen yapıların kategorik olduğunu gösterdi. Sonsuz bir yapıyı adlarla belirlemek mümkün müdür? Sonsuz bir sicil, sonlu bir sicilin yaptığı işi yapabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Tıkızlık teoremi, sonsuz bir cümle kümesinin her sonlu parçası karşılanabilirse bütününün de karşılanabilir olduğunu söyler ve birinci derece mantığın hem sınırını hem gücünü aynı yapıdan, bir kümenin yalnızca sonlu parçalarını görebilmesinden alır.

Skolem'in 1934 tarihli makalesi doğal sayıların birinci derece aritmetiğinin standart olmayan modelleri bulunduğunu doğrudan gösterdi, Mal'cev'in 1936 tarihli makalesi tıkızlığı her büyüklükteki dile genişletip bir model kurma aracına dönüştürdü, Robinson'ın 1966 tarihli kitabı ise aynı yöntemle sonsuz küçükler içeren tutarlı bir analiz kurdu.

Bir kavramın tanımlanabilirliği dört adımla sınanır: onu tanımlayan bir cümle varsaymak, bu cümleyle çatışan sonsuz bir küme kurmak, kümenin her sonlu parçasının karşılanabildiğini göstermek ve tıkızlıkla varsayılan tanımın çöktüğünü göstermek.

Standart olmayan modellerin birer yapıntı olduğu, ikinci derece mantığın sorunu çözdüğü ve tıkızlığın yalnızca tamlığın bir sonucu olduğu itirazları, bu modellerin verimli bir araç olabildiğini, ikinci derece mantığın tamlığı yitirip belirlenemezliği küme kuramına taşıdığını ve tıkızlığın kanıtlardan bağımsız bir anlambilim özelliği olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden sonsuz modeli olan hiçbir birinci derece kuram kategorik değildir ve sonluluk birinci derece mantıkta tanımlanamaz; amaçlanan model çoğu zaman cümlelerle değil, adlarla ya da bir pratikle belirlenir.

Sonraki derse köprü

Kerem'in son nüsha numarası, doğal sayıların kuramına yeni bir sabit ekleyerek daha büyük bir model kurmuştu. Selin, aynı yöntemin çok daha ileri götürülebileceğini fark ediyor. Mal'cev'in genişlettiği tıkızlıkla, sayılamaz sayıda yeni sabit eklenebilir ve her biri ötekilerden farklı olsun denebilirdi. O zaman doğal sayıların kuramının, gerçek sayılardan bile daha büyük modelleri olmalıydı.

Tolga, daha önce gördükleri sayılabilir model sonucunu hatırlıyor. Kuramların sayılabilir modelleri vardı; şimdi de her büyüklükte modelleri olduğu anlaşılıyordu. Bir kuram, modellerinin büyüklüğü hakkında neredeyse hiçbir şey söyleyemiyordu. Lina, bir sözcüğün anlamının bir kuramın cümleleriyle belirlenip belirlenemeyeceğini, kuramın bu kadar farklı büyüklükte modelleri varsa sözcüklerin neyi gösterdiğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Löwenheim–Skolem dersi, sonsuz bir modeli olan birinci derece bir kuramın her sonsuz büyüklükte bir modeli bulunduğunu söyleyen teoremin aşağı ve yukarı yönlerini, bu teoremin bir kuramın sözcüklerinin neyi gösterdiği sorusu için ne anlama geldiğini ve bu sonuçtan anlamın belirlenemezliği hakkında çıkarılan felsefi argümanları soruyor.