Tamlık

Açılış sahnesi

Kerem, katalog programına yeni bir kural ekliyor. Artık program, bir rafın kaç nüsha aldığını ve o rafta kaç nüsha bulunduğunu bildiğinde, rafın dolu olup olmadığını türetebiliyordu. Kerem, programın sesli kaldığını denetliyor: yeni kural da doğruluğu koruyordu. Ama Kerem'in aklında başka bir soru var. Bu kural eklendikten sonra, programın türetemediği başka doğru sonuçlar kalmış mıydı? Kaç kural eklenirse, program kayıtlardan zorunlu olarak çıkan her şeyi türetebilir hâle gelecekti?

Tolga, hiçbir şey türetmeyen bir sistemin sesli olduğunu, her şeyi türeten bir sistemin ise bütün doğruları türettiğini söylüyor; ikisi de işe yaramazdı. Selin, bir sistemin bütün geçerli sonuçları türetebildiğini kanıtlamak için, sonsuz sayıda olası sonuca tek tek bakmak gerekip gerekmediğini soruyor. Lina, kendi dilinin dilbilgisi kitabının, dil hakkındaki her soruya cevap vermediğini, ama bunun kitabın akıl yürütmesinin eksikliği olmadığını düşünüyor. Barış, bir kanunun bir olayı hiç düzenlemediği durumlarda hâkimin ne yaptığını hatırlıyor. Defne ise çok sayıda kuralı olan bir tanı kılavuzunda bir çelişki varsa, onun her zaman bulunabilir birkaç kuralda saklı olup olmadığını merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, bir sistemin, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu türetebilmesinin ne demek olduğunu, Gödel'in yüklemler mantığı için kanıtladığı tamlık teoreminin tam olarak neyi gösterdiğini ve tamlığın seslilikten neden çok daha zor kanıtlanan bir özellik olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Seslilik dersi, bir sistemin türettiği her sonucun öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olduğunu söyleyen özelliği ve onun türetme uzunluğu üzerinde tümevarımla kanıtlanışını inceledi. Programın Yüklemler Mantığı kursunda ise Gödel'in 1930 tarihli makalesi ve tamlık teoremi tanıtılmış, Kreisel'in sıkıştırma argümanı ve Löwenheim ile Skolem'in çalışmaları ele alınmış, Önermeler Mantığı kursunda Hilbert ile Ackermann'ın kitabı, Klasik Olmayan Mantıklar kursunda da azami tutarlı alt küme kavramı tanıtılmıştı. Bu ders, tamlık teoremini bu kez sonucu bakımından değil, metateorinin bir sorusu olarak ele alıyor: neyi söylediğini, nasıl kanıtlandığını ve bedelini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. David Hilbert ile Wilhelm Ackermann, 1928'de yayımladıkları Kuramsal Mantığın Ana Hatları kitabında, yüklemler mantığının tam olup olmadığını açık bir sorun olarak ortaya koyar. Leon Henkin, 1949'da yayımladığı Birinci Derece İşlevler Hesabının Tamlığı makalesinde, tamlık teoremi için, tutarlı bir kümenin kendi terimlerinden bir model kuran yeni bir kanıt verir. Per Lindström ise 1969'da yayımladığı Temel Mantığın Genişletmeleri Üzerine makalesinde, yüklemler mantığının tamlıkla ilişkili özelliklerinin onu hangi mantıklardan ayırdığını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: tamlığın, kendisine uyacak biçimde seçilmiş bir anlambilime göre tanımlandığı, tamlığın Gödel'in eksiklik teoremleriyle çeliştiği ve tamlığın yüklemler mantığına bir ifade gücü sınırı olarak mal olduğu itirazları.

Sonda, bir sistemin tamlığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: hangi tamlığın sorulduğunu belirlemek, tutarlı bir kümenin bir modelinin kurulup kurulamayacağını sormak, sistemin yeterli kurala sahip olup olmadığını bir karşı örnek arayarak sınamak ve tamlığın neye mal olduğunu yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir sistemin öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu türetebilmesi ne demektir, bu özellik yüklemler mantığı için nasıl kanıtlanır ve neden seslilikten çok daha zordur?

Ölçülü iddiam şu: bir sistem, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu o öncüllerden türetebiliyorsa, bu yoruma göre tamdır. Tamlık, sesliliğin tersidir. Seslilik, türetilen her şeyin geçerli olduğunu söyler. Tamlık, geçerli olan her şeyin türetildiğini söyler. İkisi birlikte, türetilebilirlik ile geçerliliğin aynı kapsama sahip olduğunu gösterir. Tamlığın eşdeğer bir biçimi, çelişki türetilemeyen her kümenin bir modeli bulunduğudur. Bu biçim, tamlığın neden zor olduğunu gösterir. Seslilik, kuralları tek tek denetleyerek kanıtlanır. Tamlık ise, yalnızca sözdizimsel bir bilgiden, yani bir kümeden çelişki türetilemediği bilgisinden, bir model kurmayı gerektirir. Henkin'in kanıtı bu modeli, kümenin kendi terimlerinden kurar. Tamlık, bir kuramın her cümleyi ya da onun olumsuzlamasını kanıtladığı anlamındaki tamlıktan farklıdır. Yüklemler mantığı birinci anlamda tamdır. Aritmetiğin kuramları ise Gödel'in eksiklik teoremlerine göre ikinci anlamda tam değildir; iki sonuç çelişmez. Tamlığın bir bedeli de vardır. Kanıtlar sonlu olduğu için, tamlıktan, sonsuz bir kümenin her sonlu parçasının bir modeli varsa bütününün de bir modeli bulunduğu sonucu çıkar. Bu tıkızlık özelliği, yüklemler mantığının doğal sayıları ya da sonluluğu tam olarak tanımlamasını engeller. Lindström'ün teoremi, bu ödünleşimin yüklemler mantığını tam olarak belirlediğini gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci sesliliği öğrendikten sonra, tamlığın onun kolay bir tamamlayıcısı olduğunu düşünür. Seslilik türetilenin doğru olduğunu söylüyordu, tamlık da doğru olanın türetildiğini söyleyecekti. Ama iki özelliğin kanıtları arasında derin bir fark vardır. Sesliliği kanıtlamak için sistemin kurallarına bakmak yeterlidir. Tamlığı kanıtlamak için ise sistemin kurallarının, sonsuz sayıda olası geçerli sonucun hiçbirini dışarıda bırakmadığını göstermek gerekir.

Bu farkı bir örnekle görebiliriz. Tolga'nın gözlemine göre, hiç kuralı olmayan bir sistem seslidir, çünkü hiçbir yanlış sonuç türetmez. Ama tam değildir, çünkü birçok geçerli sonucu türetmez. Her şeyi türeten bir sistem ise tamdır, çünkü her geçerli sonucu da türetir. Ama sesli değildir. Bir sistemin değeri, bu iki özelliği birlikte taşımasındadır. İkisini birlikte taşıyan bir sistemde, bir sonucun türetilebilir olması ile geçerli olması aynı şeydir.

Tamlığın bir de eşdeğer biçimi vardır ve kanıtlarda çoğu zaman bu biçim kullanılır. Bir küme tutarlıysa, yani ondan bir çelişki türetilemiyorsa, onun bir modeli vardır. Bu biçimde tamlık, sözdizimsel bir özellikten anlambilimsel bir sonuca geçer: yalnızca kurallara bakılarak bilinen bir şeyden, bir yorumun var olduğuna.

Görüşler ve pozisyonlar

Tamlık teoreminin felsefi önemi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, doğrulama görüşüdür. Buna göre tamlık teoremi, yüklemler mantığının kanıt sisteminin geçerli akıl yürütmenin tamamını yakaladığını gösterir. Kanıtlanabilirlik ve geçerlilik aynı şeydir ve bir sonucun geçerli olup olmadığını sormak, onun kanıtlanıp kanıtlanamayacağını sormakla aynıdır.

İkinci görüş, göreli görüştür. Buna göre tamlık teoremi, kanıt sisteminin belirli bir anlambilime, küme kuramı içinde tanımlanmış modellere göre tam olduğunu gösterir. Bu anlambilimin geçerliliğin doğru bir çözümlemesi olup olmadığı ayrı bir sorudur ve teorem bu soruyu cevaplamaz.

Üçüncü görüş, ödünleşim görüşüdür. Buna göre tamlık teoremi, yüklemler mantığının bir erdemini olduğu kadar bir sınırını da gösterir. Tamlık, tıkızlıkla birlikte gelir ve tıkızlık, bu mantığın bazı önemli kavramları tanımlamasını engeller.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, tamlığın bir anlambilime göre tanımlandığı gözlemini kabul eder. Birinci görüş, tamlığın kanıtlanabilirlik ile geçerliliği birleştirdiğini doğru görür. Ama bu birleşmenin, geçerliliğin belirli bir tanımına bağlı olduğunu hesaba katmaz. İkinci görüş, bu bağımlılığı doğru teşhis eder. Kreisel'in sıkıştırma argümanı ise, önceki kurslarda görüldüğü gibi, bu anlambilimin sezgisel geçerlilikle aynı kapsama sahip olduğunu savunarak ikinci görüşün kaygısını hafifletir. Üçüncü görüş, tamlığın bedelini de hesaba katar.

Argümanın yapısı

Bir sistemin tamlığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, hangi tamlığın sorulduğunu belirlemektir. Değerlendiren, bir mantığın her geçerli sonucu türetip türetmediğini mi, yoksa bir kuramın her cümleyi ya da olumsuzlamasını kanıtlayıp kanıtlamadığını mı sorduğunu açıkça yazar.

İkinci adım, tutarlı bir kümenin bir modelinin kurulup kurulamayacağını sormaktır. Değerlendiren, sistemden çelişki türetilemeyen bir kümeyi alır ve onun bütün cümlelerini doğru kılan bir yorumun var olup olmadığını, gerekirse kümenin kendi terimlerinden kurmayı deneyerek sorar.

Üçüncü adım, sistemin yeterli kurala sahip olup olmadığını bir karşı örnek arayarak sınamaktır. Değerlendiren, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan ama sistemde türetilemeyen bir sonuç arar. Böyle bir sonuç bulunursa, sistem tam değildir.

Dördüncü adım, tamlığın neye mal olduğunu yazmaktır. Değerlendiren, sistemin tamlıkla birlikte hangi ifade gücünü yitirdiğini, örneğin sonsuz ya da sonlu kavramları tam olarak tanımlayıp tanımlayamadığını belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Tamlığı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir sistem, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu o öncüllerden türetebiliyorsa tamdır. Tolga'nın iki uç sisteminde görüldüğü gibi, tamlık sesliliğin tersidir ve ikisi birlikte türetilebilirlik ile geçerliliğin örtüştüğünü gösterir. Hilbert ile Ackermann, yüklemler mantığı için tamlığı açık bir soru olarak bıraktı ve Gödel bu soruyu cevapladı. Henkin'in kanıtı, Selin'in adlar modelinde görüldüğü gibi, tutarlı bir kümeyi azami tutarlı bir kümeye genişletip var olduğu söylenen her şey için tanık sabitleri ekleyerek, kümenin kendi terimlerinden bir model kurar. Tamlığın seslilikten zor olmasının nedeni budur: kuralları denetlemek yetmez, yalnızca sözdizimsel bir bilgiden bir model kurmak gerekir. Lina'nın ve Barış'ın durumlarında görüldüğü gibi, bu tamlık, bir kuramın her soruyu cevaplaması anlamındaki olumsuzlama tamlığından farklıdır ve bu yüzden eksiklik teoremleriyle çelişmez. Lindström'ün gösterdiği gibi, tamlık tıkızlıkla birlikte gelir ve yüklemler mantığının ifade gücünü sınırlar. Defne'nin çelişen kurallarında görüldüğü gibi, aynı tıkızlık, bir çelişkinin her zaman sonlu bir parçada saklı olduğunu da güvence altına alır.

Açık kalan sorular

Selin'in adlar modeli, kayıtların sözdiziminden bir model kurulabildiğini gösterdi. Ama bu model, gerçek nüshalardan değil, kodlardan oluşuyordu. Bir kuramın bütün modellerinden hangisinin onun amaçlanan modeli olduğunu, kuramın kendisi belirleyebilir mi? Belirleyemiyorsa, amaçlanan model nereden bilinir?

Lindström'ün teoremi, daha güçlü bir mantığın tıkızlığı ya da tam bir kanıt sistemini yitirdiğini gösterdi. İkinci derece mantığın geçerli cümlelerini türeten tam bir kanıt sistemi yoksa, onun geçerli cümlelerini nasıl bilebiliriz? Bir cümlenin geçerli olduğunu bilmek, onu kanıtlamaktan başka bir şey olabilir mi?

Defne'nin çelişen kuralları, tıkızlığın bir çelişkinin sonlu bir parçada saklı olduğunu güvence altına aldığını, ama o parçayı bulmanın süresini söylemediğini gösterdi. Bir formülün geçerli olup olmadığını, yani bir kanıtının bulunup bulunmadığını, her zaman sonlu bir sürede belirleyebilir miyiz?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir sistem, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu türetebiliyorsa tamdır; tamlık sesliliğin tersidir ve ikisi birlikte türetilebilirlik ile geçerliliğin örtüştüğünü gösterir.

Hilbert ile Ackermann'ın Kuramsal Mantığın Ana Hatları kitabı yüklemler mantığının tamlığını açık bir soru olarak bıraktı, Henkin'in 1949 tarihli makalesi tamlığı tutarlı bir kümenin kendi terimlerinden tanık sabitleriyle bir model kurarak kanıtladı, Lindström'ün 1969 tarihli makalesi ise tamlıkla birlikte gelen tıkızlığın yüklemler mantığını mantıklar arasında belirlediğini gösterdi.

Bir sistemin tamlığı dört adımla değerlendirilir: hangi tamlığın sorulduğunu belirlemek, tutarlı bir kümenin bir modelinin kurulup kurulamayacağını sormak, sistemin yeterli kurala sahip olup olmadığını bir karşı örnek arayarak sınamak ve tamlığın neye mal olduğunu yazmak.

Tamlığın kendisine uyan bir anlambilime göre tanımlandığı, eksiklik teoremleriyle çeliştiği ve bir ifade gücü sınırına mal olduğu itirazları, teoremin bütün modellere göre ve bağımsız bir anlambilimle kurulduğunu, iki teoremin farklı tamlıklardan söz ettiğini ve sınırın bir ödünleşimin bilinçli bir tarafı olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden tamlık, seslilikten çok daha zor kanıtlanır, çünkü kuralları denetlemekle yetinmeyip yalnızca sözdizimsel bir bilgiden bir yorumun var olduğunu göstermeyi gerektirir, ve bunun karşılığında yüklemler mantığına hem bir güvence hem de bir sınır verir.

Sonraki derse köprü

Tamlık, geçerli olan her formülün bir kanıtı bulunduğunu söyledi. Kerem, bunun bir yöntem de verdiğini fark ediyor. Kanıtlar sonlu dizilerdi ve bütün sonlu diziler bir sıraya konabilirdi. Bir program, bütün olası kanıtları tek tek sırayla üretip denetleyebilirdi. Bir formül geçerliyse, program eninde sonunda onun kanıtına ulaşacaktı.

Ama Tolga, bir formül geçerli değilse ne olacağını soruyor. Program kanıtı aramaya devam edecek, hiçbir zaman bulamayacak ve hiçbir zaman durmayacaktı. Bir süre sonra kanıt bulunmamışsa, bu formülün geçersiz olduğunu mu, yoksa kanıtın henüz sıraya gelmediğini mi gösteriyordu? Selin, önermeler mantığında böyle bir sorunun olmadığını, doğruluk tablosunun her formül için sonlu sayıda satırla bir cevap verdiğini hatırlatıyor. Defne, bir çelişkiyi arayan birinin de, çelişki yoksa ne zaman aramayı bırakacağını bilemeyeceğini söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Karar verilebilirlik dersi, bir formülün geçerli olup olmadığını sonlu sayıda adımda her zaman belirleyen mekanik bir yöntemin var olup olmadığını, önermeler mantığı ile yüklemler mantığının bu bakımdan neden ayrıldığını ve tamlığın bu soruya neden tek başına bir cevap vermediğini soruyor.