Seslilik

Açılış sahnesi

Kerem, katalog programının kurallarını yeniden okuyor. Program, biçimsel bir sistem olarak kusursuz işliyordu: her türetme kurallara uygundu ve bunu nüshalara bakmadan denetlemek mümkündü. Ama Kerem'i başka bir soru rahatsız ediyor. Program, bir nüshanın üçüncü rafta olduğunu türettiğinde, o nüsha gerçekten üçüncü rafta mıydı? Kuralların doğru uygulanması, türetilen kayıtların doğru olmasını güvence altına alıyor muydu?

Tolga, sorunun kuralların kendisinde olabileceğini söylüyor: yanlış kurulmuş bir kural, doğru kayıtlardan yanlış bir kayıt türetebilirdi ve program bunu fark etmezdi. Selin, bir argümanın sağlam olmasının, geçerli olması ve öncüllerinin doğru olması demek olduğunu hatırlıyor; ama bir sistemin sağlam olmasının ne demek olduğunu soruyor. Lina, bir çeviri kuralının çoğu cümlede anlamı koruyup bir cümlede bozabileceğini düşünüyor. Barış, bir usul kuralının doğru bulgulardan yanlış bir hükme götürüp götüremeyeceğini merak ediyor. Defne ise bir tanı kılavuzunun her kuralının, doğru bulgulardan her zaman doğru bir tanıya götürüp götürmediğini soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, bir biçimsel sistemin türettiği her sonucun, öncüllerinin doğru olduğu her yorumda doğru olmasının ne demek olduğunu, bu özelliğin bir sistem için nasıl kanıtlandığını ve bir sistemin sesli olmasının, onun bütün doğruları türetebilmesinden neden farklı bir şey olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Biçimsel sistem dersi, bir sistemin alfabesini, kuruluş kurallarını, aksiyomlarını ve çıkarım kurallarını yalnızca biçim üzerinden tanımladı ve bir dizinin türetilemezliğinin, kuralların koruduğu bir değişmez özellikle kanıtlanabildiğini gösterdi. Akademinin ilk programında geçerlilik ve bir argümanın sağlamlığı tanımlanmış, Klasik Mantığa Giriş kursunda tutarlılık, Yüklemler Mantığı kursunda ise model kuramsal geçerlilik, karşı model ve yeni ad koşulu tanıtılmıştı. Bu ders, biçim ile yorum arasındaki ilk bağı kuruyor: bir sistemin türettiklerinin bir yorumda doğru olup olmadığını soruyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Herbert Enderton, 1972'de yayımladığı Mantığa Matematiksel Bir Giriş kitabında, seslilik teoreminin standart kanıtını, türetmelerin uzunluğu üzerinde tümevarımla verir. Michael Dummett, 1973'te verdiği Tümdengelimin Gerekçelendirilmesi konferansında, bir sistemin sesliliğini kanıtlamanın, kanıtlanan kuralları kullanmayı gerektirdiğini ve bu döngünün ne ölçüde kusurlu olduğunu tartışır. Susan Haack ise 1976'da yayımladığı aynı adlı makalesinde, tümdengelimin gerekçelendirilmesinin, tümevarımın gerekçelendirilmesi sorununa benzer bir güçlükle karşılaştığını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: seslilik kanıtının döngüsel olduğu, seslilik teoreminin kurallar zaten doğruluğu koruyacak biçimde seçildiği için boş olduğu ve sesliliğin sistemin değil, sistem ile bir yorum arasındaki ilişkinin özelliği olduğu itirazları.

Sonda, bir sistemin sesliliğini sınamanın dört adımını göstereceğiz: yorumu açıkça belirlemek, her aksiyomun yorumda doğru olduğunu denetlemek, her çıkarım kuralının yorumda doğruluğu koruduğunu göstermek ve sonucu türetmelerin uzunluğu üzerinde tümevarımla bütün teoremlere yaymak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir biçimsel sistemin sesli olması ne demektir, bu özellik nasıl kanıtlanır ve kanıtı, kanıtlanan kuralları kullandığı için döngüsel midir?

Ölçülü iddiam şu: bir biçimsel sistem, bir yoruma göre, öncüllerden türettiği her sonuç, öncüllerin doğru olduğu her yorumda da doğruysa seslidir. Seslilik, bir argümanın sağlamlığından farklıdır. Sağlamlık tek bir argümanın öncüllerinin gerçekten doğru olmasını ister. Seslilik ise bir sistemin bütün türetmelerinin doğruluğu koruduğunu söyler. Seslilik, sistemin içinde değil, sistem hakkında kanıtlanan bir metateoremdir. Kanıtı iki adımdan oluşur. Önce her aksiyomun her yorumda doğru olduğu ve her çıkarım kuralının doğruluğu koruduğu gösterilir. Sonra bu, türetmelerin uzunluğu üzerinde tümevarımla bütün teoremlere yayılır. Bu yapı, önceki dersteki değişmez özellik kanıtının aynısıdır; değişmez özellik burada "yorumda doğru olmak"tır. Sesliliğin iki önemli sonucu vardır. Sesli bir sistem, bir modeli bulunan öncüllerden bir çelişki türetemez. Bir sonucun türetilemediği de, öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılan bir karşı model bulunarak gösterilebilir. Seslilik kanıtının üst dilde kanıtlanan kuralları kullandığı doğrudur. Ama Dummett'ın ayrımıyla, bu kanıt kuşkucuyu ikna etmeyi değil, kuralların neden doğruluğu koruduğunu açıklamayı amaçlar. Döngü, bu açıklayıcı işlevi bozmaz. Seslilik, bir sistemin yanlış bir şey türetmediğini söyler, bütün doğruları türettiğini değil. Bu ikinci özellik, tamlık, ayrı ve daha zor bir sorudur.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir mantık sistemiyle ilk kez kanıt yazdığında, her kuralın doğru olduğunu varsayar. Kurallar kitapta yazılıdır ve kitap yanılmaz. Bu varsayım çoğu zaman haklıdır. Ama bir biçimsel sistem, kurallarını yalnızca biçim üzerinden tanımlar. Bir kuralın biçimi, onun doğruluğu koruduğunu kendiliğinden güvence altına almaz. Bu güvence, sistem hakkında ayrıca kanıtlanması gereken bir şeydir.

Akademinin ilk programında bir argümanın sağlam olması, hem geçerli olması hem de öncüllerinin doğru olması olarak tanımlanmıştı. Bu, tek bir argüman hakkında bir yargıydı. Seslilik ise bir sistemin bütünü hakkında bir yargıdır. Sistemin kurallarıyla yapılan her türetme, öncülleri doğru kılan her yorumda sonucu da doğru kılıyorsa, sistem seslidir. Sistemin kuralları, bir argümanı sağlam kılmaz. Yalnızca, doğru öncüllerle kullanıldıklarında doğru sonuçlar verdiklerini güvence altına alır.

Sesliliği kanıtlamanın yolu, önceki derste Tolga'nın üç harfli oyununda kullandığı yoldur. Orada aksiyomun bir özelliği taşıdığı ve her kuralın bu özelliği koruduğu gösterilmiş, böylece bütün teoremlerin bu özelliği taşıdığı sonucuna varılmıştı. Seslilikte bu özellik, bir yorumda doğru olmaktır.

Görüşler ve pozisyonlar

Seslilik kanıtının neyi başardığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, gerekçelendirme görüşüdür. Buna göre seslilik kanıtı, bir sistemin kurallarının doğru olduğunu gösterir ve bu kuralları kullanmayı haklı çıkarır. Kuşkulu bir kullanıcı, seslilik kanıtını okuyarak kurallara güvenmeyi öğrenebilir.

İkinci görüş, kuşkucu görüştür. Buna göre seslilik kanıtı döngüseldir, çünkü üst dilde, kanıtlamaya çalıştığı kuralların kendisini kullanır. Tümdengelimin kurallarını kuşkuya açan biri, seslilik kanıtıyla ikna edilemez. Tümdengelim de, tümevarım gibi, döngüsüz bir gerekçelendirmeden yoksundur.

Üçüncü görüş, açıklama görüşüdür. Buna göre seslilik kanıtı bir kuşkucuyu ikna etmeyi değil, kuralların neden doğruluğu koruduğunu açıklamayı amaçlar. Bu açıklama, kuralları zaten kullanan biri için bilgi verir: kuralların doğruluğu, bağlaçların anlamıyla nasıl ilişkili olduğunu gösterir. Dummett'ın görüşü budur.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, seslilik kanıtının kuşkucuya karşı bir güvence vermediği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, seslilik kanıtının kurallara güveni artırdığını doğru görür. Ama bu güvenin kaynağının, kuralların üst dilde de kullanılması olduğunu hesaba katmaz. İkinci görüş, bu döngüyü doğru teşhis eder. Ama döngünün her zaman bir kusur olduğunu varsayar. Üçüncü görüş, döngünün hangi amaç için kusurlu, hangi amaç için zararsız olduğunu ayırır.

Argümanın yapısı

Bir sistemin sesliliğini sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, yorumu açıkça belirlemektir. Sınayan, sistemin işaretlerinin neyi gösterdiğini ve bir formülün bir yorumda ne zaman doğru sayılacağını yazar.

İkinci adım, her aksiyomun yorumda doğru olduğunu denetlemektir. Sınayan, aksiyomları tek tek alır ve her birinin, yalnızca bir yorumda değil, sistemin kapsaması istenen her yorumda doğru olduğunu gösterir.

Üçüncü adım, her çıkarım kuralının yorumda doğruluğu koruduğunu göstermektir. Sınayan, her kural için, öncüllerin doğru olup sonucun yanlış olduğu bir yorumun bulunmadığını gösterir. Böyle bir yorum bulunursa, kural seslilik bakımından kusurludur.

Dördüncü adım, sonucu türetmelerin uzunluğu üzerinde tümevarımla bütün teoremlere yaymaktır. Sınayan, en kısa türetmelerin doğru sonuç verdiğini ve doğru satırlardan kuralla elde edilen her satırın da doğru olduğunu birleştirerek, sistemin her türetmesinin doğruluğu koruduğu sonucuna varır.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Sesliliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir biçimsel sistem, bir yoruma göre, öncüllerden türettiği her sonuç, öncüllerin doğru olduğu her yorumda da doğruysa seslidir. Selin'in iki sağlamlığında görüldüğü gibi, bu, tek bir argümanın öncüllerinin gerçekten doğru olmasını isteyen sağlamlıktan farklıdır. Seslilik, sistem hakkında kanıtlanan bir metateoremdir. Enderton'ın gösterdiği gibi, her aksiyomun geçerli, her kuralın doğruluğu koruyucu olduğu gösterilerek ve sonuç türetme uzunluğu üzerinde tümevarımla bütün teoremlere yayılarak kanıtlanır. Tolga'nın ikinci değişmezinde görüldüğü gibi, bu, doğruluğu bir değişmez özellik olarak ele alan bir kanıttır. Kerem'in, Lina'nın ve Barış'ın durumlarında görüldüğü gibi, tek bir kuralın tek bir durumda başarısız olması sesliliği bozmaya yeter. Dummett'ın ve Haack'ın gösterdiği gibi, seslilik kanıtı üst dilde aynı türden kuralları kullandığı için döngüseldir. Ama Dummett'ın ayrımıyla, bu döngü kuşkucuyu ikna etmeyi değil, kuralların neden doğruluğu koruduğunu açıklamayı amaçlayan bir kanıt için kusur değildir. Seslilik, bir sistemin yanlış bir şey türetmediğini söyler. Bütün doğruları türetip türetmediği ise ayrı bir sorudur.

Açık kalan sorular

Dummett'ın ayrımı, seslilik kanıtının açıklayıcı olduğunu savundu. Ama kuralları zaten kullanan birine, onların neden doğru olduğunu açıklamak, gerçekten yeni bir bilgi verir mi? Yoksa açıklama da, kuralların zaten kabul edilmiş olmasına dayanan bir döngü müdür?

Haack'ın makalesi, tümdengelimin gerekçelendirilmesinin tümevarımınkine benzediğini savundu. Bu benzerlik tam mıdır? Tümdengelimin kuralları, tümevarımın kuralları gibi, yarın başarısız olabilir mi?

Defne'nin kılavuz kuralı, tıbbın kurallarının sesli olmadığını gösterdi. Sesli olmayan kurallarla çalışan bir sistem için, sesliliğin yerine konabilecek bir ölçüt var mıdır? Bir kuralın doğruluğu ne kadar sıklıkla koruduğunu ölçen bir seslilik derecesi tanımlanabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir biçimsel sistem, bir yoruma göre, öncüllerden türettiği her sonuç öncüllerin doğru olduğu her yorumda da doğruysa seslidir; bu, tek bir argümanın öncüllerinin gerçekten doğru olmasını isteyen sağlamlıktan farklı, sistemin bütünü hakkında kanıtlanan bir metateoremdir.

Enderton'ın Mantığa Matematiksel Bir Giriş kitabı sesliliğin aksiyomların ve kuralların tek tek denetlenip türetme uzunluğu üzerinde tümevarımla birleştirilmesine dayanan standart kanıtını, Dummett'ın ve Haack'ın Tümdengelimin Gerekçelendirilmesi başlıklı çalışmaları ise bu kanıtın döngüselliğini ve bu döngünün tümevarım sorunuyla benzerliğini gösterdi.

Bir sistemin sesliliği dört adımla sınanır: yorumu açıkça belirlemek, her aksiyomun yorumda doğru olduğunu denetlemek, her çıkarım kuralının doğruluğu koruduğunu göstermek ve sonucu türetmelerin uzunluğu üzerinde tümevarımla bütün teoremlere yaymak.

Seslilik kanıtının döngüsel olduğu, seslilik teoreminin boş olduğu ve sesliliğin bir ilişkinin özelliği olduğu itirazları, döngünün açıklayıcı bir kanıt için kusur olmadığını, karmaşık sistemlerde kuralların inceliklerinin tam da seslilik kanıtında ortaya çıktığını ve bir sistemin hangi yorumlara göre sesli olduğunu bilmenin onun ne için kullanılabileceğini bilmek olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden seslilik, biçim ile yorum arasında kurulan ilk köprüdür: bir sistemin yanlış bir şey türetmediğini güvence altına alır, ama bütün doğruları türetip türetmediği sorusunu açık bırakır.

Sonraki derse köprü

Kerem, katalog programının ödünç kuralını düzeltiyor ve programın artık sesli olduğunu gösteriyor. Program hiçbir zaman yanlış bir kayıt türetmiyordu. Ama Kerem, programın türetemediği doğru kayıtlar da bulunduğunu fark ediyor. Kayıtlara göre iki nüsha aynı raftaydı ve rafın yalnızca iki nüsha aldığı da kayıtlıydı. Bu kayıtlar doğru olduğu her durumda rafın dolu olduğu da doğruydu. Program ise bu sonucu türetecek bir kurala sahip değildi.

Tolga, sesli bir sistemin hiç kural içermeyerek de sesli olabileceğini söylüyor: hiçbir şey türetmeyen bir sistem, hiçbir yanlış şey de türetmezdi. Selin, bir sistemin değerinin yalnızca yanlış bir şey türetmemesinde değil, doğru olan her şeyi türetebilmesinde de yattığını ekliyor. Lina, bir çevirmenin de yalnızca yanlış çevirmemekle değil, özgün metnin söylediği her şeyi aktarabilmekle ölçüldüğünü hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Tamlık dersi, bir sistemin, öncüllerin doğru olduğu her yorumda doğru olan her sonucu türetebilmesinin ne demek olduğunu, Gödel'in yüklemler mantığı için kanıtladığı tamlık teoreminin tam olarak neyi gösterdiğini ve tamlığın, seslilikten neden çok daha zor kanıtlanan bir özellik olduğunu soruyor.