Nesne dil/üstdil

Açılış sahnesi

Tolga, katalog programının kurallarını yazdığı sayfaya bakıyor. Sayfada iki türden cümle var ve Tolga onları şimdiye kadar hiç ayırmamış. Birinci türden cümleler nüshalar hakkında: "yüz on yedinci nüsha üçüncü raftadır", "müzedeki el yazması katalogdaki en eski nüshadır." İkinci türden cümleler ise programın kendisi hakkında: "program bir nüshada kenar notu olduğunu türetemiyorsa, o nüshada kenar notu yoktur", "programın hiçbir kuralı bir nüshayı iki rafa birden koymaz." Birinci türden cümleler kataloğun içindeydi. İkinci türden cümleler kataloğun dışında duruyor ve kataloğa bakıyordu.

Selin, raporun yazım kılavuzunun da ikinci türden olduğunu fark ediyor: kılavuz, raporun cümlelerinin nasıl kurulacağını anlatıyordu, el yazmalarını değil. Kerem, bir sistemin tutarlı olduğunu söyleyen bir cümlenin de bu türden olduğunu, çünkü sistemin içinde değil, sistem hakkında konuştuğunu söylüyor. Lina, kendi dilinin dilbilgisini Türkçe anlatırken iki dil arasında durduğunu hatırlıyor. Barış, bir yasanın davranışları düzenlediğini, ama başka bir yasanın yasaların nasıl yapılacağını düzenlediğini düşünüyor. Defne ise tanı ölçütlerinin bir hastayı değil, başka ölçütleri değerlendiren bir kılavuzla sınandığını hatırlıyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunda, bir dil içinde konuşmak ile o dil hakkında konuşmak arasındaki ayrımın neden gerekli olduğunu, bir biçimsel sistem hakkındaki iddiaların hangi dilde kurulduğunu ve bu ayrımın, mantıkların kendilerini inceleyen metateorinin temelini nasıl oluşturduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Programın Yüklemler Mantığı kursundaki Doğruluk dersi nesne dili ile üst dil ayrımını tanımladı ve Tarski'nin bu ayrımı, bir dilin kendi doğruluğundan söz etmesinin doğurduğu çelişkiden kaçınmak için zorunlu saydığını gösterdi. Aynı programda kullanma ile anma ayrımı ve şematik harf kavramı da tanıtılmıştı. Klasik Olmayan Mantıklar kursunun son dersi ise bir bilgi tabanının "türetilemiyorsa yanlıştır" kuralının, bilgi tabanının içinde değil, onun hakkında bir cümle olduğunu gösterdi. Bu ders, Metalojik ve Hesaplanabilirlik kursunu açıyor: nesne dili ile üst dil ayrımını bu kez doğruluk açısından değil, mantığın kendi kendini incelemesinin, yani metateorinin önkoşulu olarak ele alıyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. David Hilbert, 1926'da yayımladığı Sonsuz Üzerine makalesinde, matematiksel kanıtların kendilerinin, sonlu işaret dizileri olarak, ayrı bir kuramın konusu yapılabileceğini savunur. Rudolf Carnap, 1934'te yayımladığı Dilin Mantıksal Sözdizimi kitabında, bir dilin kurallarının, o dilden ayrı bir sözdizim dilinde kesin olarak ifade edilebileceğini gösterir. Stephen Kleene ise 1952'de yayımladığı Üst Matematiğe Giriş kitabının kuramın ve üst kuramın ayrımına ayrılan bölümünde, bu ayrımın matematiksel mantıktaki standart biçimini verir.

Ardından üç itirazı tartacağız: doğal dilin kendi kendisinin üst dili olduğu için ayrımın yapay olduğu, her üst dilin bir üst dil gerektirdiği için ayrımın sonsuz bir geriye gidişe yol açtığı ve üst dilin güvenilirliğinin nesne dilinden daha fazla sorgulanması gerektiği itirazları.

Sonda, bir cümlenin hangi düzeyde konuştuğunu belirlemenin dört adımını göstereceğiz: cümlenin neden söz ettiğini sormak, anılan ifadeleri kullanılanlardan ayırmak, cümlenin doğruluğunun neye bağlı olduğunu yazmak ve cümlenin hangi dilin kurallarıyla sınanacağını belirlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir dil içinde konuşmak ile o dil hakkında konuşmak arasındaki ayrım neden gereklidir ve bu ayrım bir biçimsel sistemi incelemeyi nasıl mümkün kılar?

Ölçülü iddiam şu: nesne dili, incelenen dildir. Üst dil, bu dili incelemek için kullanılan dildir. Ayrım, iki ayrı dil gerektirmez; aynı doğal dil iki düzeyde kullanılabilir. Gerektirdiği şey, bir cümlenin nesne dilinin konusundan mı, yoksa nesne dilinin kendisinden mi söz ettiğinin her zaman belli olmasıdır. Hilbert, bu ayrımı matematiğin kendisine uyguladı. Bir aksiyom sistemindeki kanıtlar, sonlu işaret dizileri olarak ele alınabilir ve bir kanıtın var olup olmadığı, sistemin içinde değil, sistem hakkında bir sorudur. Carnap, bir dilin kurallarının, yani hangi işaret dizilerinin cümle sayıldığının ve hangi cümlelerin hangilerinden çıktığının, ayrı bir sözdizim dilinde kesin biçimde yazılabileceğini gösterdi. Kleene, bu ayrımı kuram ile üst kuram ayrımı olarak standartlaştırdı ve üst kuramın, kuramın kendisinden daha güvenilir sayılan sezgisel akıl yürütmeyle yürütüldüğünü vurguladı. Tutarlılık, tamlık ve karar verilebilirlik gibi kavramlar, bu yüzden nesne dilinin değil, üst dilin kavramlarıdır. Metateori, bir mantığın içinde kanıtlanabilenleri değil, o mantık hakkında kanıtlanabilenleri inceler. Bu ayrım bulanıklaşırsa, bir sistemin içinde söylenenle sistem hakkında söylenen karışır ve yalancı paradoksunda görülen türden bir düğüm ortaya çıkar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir mantık sistemi öğrendiğinde, çoğu zaman iki şeyi birden öğrenir ve onları ayırmaz. Birincisi, sistemin içinde kanıtlar yazmaktır: öncüllerden sonuca adım adım gitmek. İkincisi, sistem hakkında gerçekler öğrenmektir: "bu sistem tutarlıdır", "bu sistemde her geçerli çıkarım kanıtlanabilir." Birincisi sistemin kurallarıyla yapılır. İkincisi ise sistemin kurallarıyla yapılmaz; sistemin dışından, onu bir nesne olarak inceleyen bir akıl yürütmeyle yapılır.

Programın önceki dersleri bu ikinci türden birçok iddia içeriyordu. Kripke'nin tamlık teoremi, sezgici mantıkta kanıtlanabilen önermelerin tam olarak bütün modellerde kurulan önermeler olduğunu söylüyordu. Bu teorem sezgici mantığın içinde kanıtlanmıyordu; sezgici mantık hakkında, klasik bir üst dilde kanıtlanıyordu. Dummett'ın bu modellere yönelttiği itiraz da tam olarak buydu: üst dil klasikti.

Bu ayrımın bir adı vardır. İncelenen dil nesne dili, inceleyen dil üst dildir. İncelenen kuram nesne kuramı, onu inceleyen kuram üst kuram ya da metateoridir. Bu kursun bütünü, bu ikinci düzeyde yürür.

Görüşler ve pozisyonlar

Nesne dili ile üst dil ayrımının niteliği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, katı ayrım görüşüdür. Buna göre nesne dili ile üst dil iki ayrı dildir ve bir dil hiçbir zaman kendi üst dili olamaz. Tarski'nin doğruluk için savunduğu hiyerarşi bu görüşün bir biçimidir.

İkinci görüş, düzey görüşüdür. Buna göre ayrım, iki dil arasında değil, bir dilin iki kullanım düzeyi arasındadır. Aynı doğal dil, tırnak gibi araçlarla, hem bir konudan hem de kendi ifadelerinden söz edebilir. Önemli olan, bir cümlenin hangi düzeyde konuştuğunun belli olmasıdır.

Üçüncü görüş, içselleştirme görüşüdür. Buna göre yeterince güçlü bir biçimsel dil, kendi sözdizimini, yani kendi cümlelerinin ve kanıtlarının yapısını, kendi içinde temsil edebilir. Üst dilin bazı cümleleri, nesne dilinin cümleleri olarak yeniden yazılabilir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncü görüşün, bir dilin kendi sözdizimini temsil edebildiği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, ayrımın çelişkiden kaçınmak için gerekli olduğunu doğru görür, ama Selin'in durumunda görülecek gündelik kullanımları dışarıda bırakır. İkinci görüş, doğal dilin iki düzeyde de kullanılabildiği olgusunu betimler. Üçüncü görüş, Carnap'ın gösterdiği ve kursun sonraki derslerinde Gödel'in eksiklik teoremlerinin dayanacağı olguyu yakalar: bir dil, kendi hakkında konuşan cümleleri kendi içinde kurabilir. Ama bu temsil, iki düzeyin ayrımını ortadan kaldırmaz; onu bir dilin içine taşır.

Argümanın yapısı

Bir cümlenin hangi düzeyde konuştuğunu belirlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, cümlenin neden söz ettiğini sormaktır. Belirleyen, cümlenin nesnelerden mi, yoksa bir dilin ifadelerinden, cümlelerinden ya da kanıtlarından mı söz ettiğini yazar.

İkinci adım, anılan ifadeleri kullanılanlardan ayırmaktır. Belirleyen, cümlede tırnak içinde ya da başka bir yolla anılan ifadeleri işaretler ve bu ifadelerin cümlenin nesne dilinin mi yoksa üst dilinin mi parçası olduğunu belirler.

Üçüncü adım, cümlenin doğruluğunun neye bağlı olduğunu yazmaktır. Belirleyen, cümlenin doğruluğunun dünyadaki bir duruma mı, yoksa bir dilin ya da bir sistemin kurallarına mı bağlı olduğunu belirtir.

Dördüncü adım, cümlenin hangi dilin kurallarıyla sınanacağını belirlemektir. Belirleyen, cümleyi sınamak için nesne dilinin kanıt kurallarının mı, yoksa üst dilin akıl yürütmesinin mi kullanılacağını yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Nesne dili ile üst dil ayrımını ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Nesne dili incelenen dil, üst dil onu inceleyen dildir. Ayrım iki ayrı dil gerektirmez, aynı dilin iki kullanım düzeyiyle de kurulabilir. Selin'in yazım kılavuzunda görüldüğü gibi, gerektirdiği şey, bir cümlenin bir konudan mı yoksa bir dilin ifadelerinden mi söz ettiğinin belli olmasıdır. Hilbert, bir kuramın kanıtlarının sonlu işaret dizileri olarak bir üst kuramın nesnesi yapılabileceğini gösterdi ve metamatematiği başlattı. Carnap, bir dilin kurallarının ayrı bir sözdizim dilinde kesin olarak yazılabileceğini, hatta yeterince güçlü bir dilin kendi sözdizimini kendi içinde ifade edebileceğini gösterdi. Kleene ise bu ayrımı kuram ve üst kuram olarak standartlaştırdı ve üst kuramın güvenilir, sezgisel bir akıl yürütmeyle yürütülmesi gerektiğini vurguladı. Tolga'nın iki sütununda, Kerem'in tutarlılık cümlesinde ve Defne'nin ölçüt kılavuzunda görüldüğü gibi, tutarlılık gibi özellikler nesne dilinin değil, üst dilin kavramlarıdır. Metateori, bir mantığın içinde kanıtlananları değil, o mantık hakkında kanıtlananları inceler ve bu kursun bütünü bu ikinci düzeyde yürür.

Açık kalan sorular

Lina'nın iki dili, bir dili anlatmak için daha güçlü bir dile değil, yalnızca onun ifadelerini anabilen bir dile ihtiyaç duyulduğunu düşündürdü. Hangi kavramları tanımlamak, üst dilin nesne dilinden daha güçlü olmasını gerektirir? Doğruluk bunlardan biriyse, başkaları da var mıdır?

Barış'ın iki tür kuralı, bir anayasanın kendi değişikliğini düzenleyebildiğini gösterdi. Bir üst düzey kural kendi üzerinde işlediğinde, nesne dili ile üst dil ayrımı ne olur? Kendi değiştirilemezliğini söyleyen bir madde, yalancı paradoksuna benzer bir düğüm doğurur mu?

Kerem'in tutarlılık cümlesi, sonlu bir sistemin tutarlılığının somut bir denetimle gösterilebildiğini gösterdi. Sonsuz sayıda olası kanıtı olan bir sistem için böyle bir denetim nasıl yapılır? Sonlu yöntemler, sonsuz bir sistemin tutarlılığını güvenceye alabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Nesne dili incelenen dil, üst dil onu inceleyen dildir; ayrım iki ayrı dil gerektirmez, aynı dilin iki kullanım düzeyiyle de kurulabilir, ama bir cümlenin bir konudan mı yoksa bir dilin ifadelerinden mi söz ettiğinin belli olmasını gerektirir.

Hilbert'in Sonsuz Üzerine makalesi kanıtların sonlu işaret dizileri olarak bir üst kuramın nesnesi yapılabileceğini, Carnap'ın Dilin Mantıksal Sözdizimi kitabı bir dilin kurallarının ayrı bir dilde ve hatta kendi içinde kesin biçimde yazılabileceğini, Kleene'nin Üst Matematiğe Giriş kitabı ise kuram ve üst kuram ayrımının standart biçimini ve üst kuramın güvenilirliğinin önemini gösterdi.

Bir cümlenin düzeyi dört adımla belirlenir: neden söz ettiğini sormak, anılan ifadeleri kullanılanlardan ayırmak, doğruluğunun neye bağlı olduğunu yazmak ve hangi dilin kurallarıyla sınanacağını belirlemek.

Doğal dilin kendi üst dili olduğu, ayrımın sonsuz bir geriye gidişe yol açtığı ve üst dilin daha güvenilir olmadığı itirazları, ayrımın bir dilin iki düzeyi arasında kurulduğunu, üst kuramın ancak bir güvenilirlik sorusu doğduğunda biçimselleştirildiğini ve üst dilin gücünün açıkça seçilmesi gerektiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden tutarlılık, tamlık ve karar verilebilirlik gibi kavramlar bir mantığın içinde değil, onun hakkında konuşan üst dilde yer alır ve metateori, mantığın kendi kendini incelemesinin bu ikinci düzeyde mümkün olmasına dayanır.

Sonraki derse köprü

Kerem'in tutarlılık cümlesi, katalog programını bir nesne olarak ele aldı. Ama Kerem, programın tam olarak neden oluştuğunu hiç yazmadığını fark ediyor. Program hangi işaretleri kullanıyordu? Hangi işaret dizileri bir kayıt sayılıyordu? Hangi kayıtlar başlangıçta veriliyordu, hangileri kurallarla türetiliyordu?

Tolga, bir sistemi bir nesne olarak incelemek için önce onun parçalarını eksiksiz listelemek gerektiğini söylüyor: bir alfabe, cümleleri kuran kurallar, başlangıç cümleleri ve bir cümleden ötekine geçiren kurallar. Selin, Hilbert'in kanıtları anlamlarından bağımsız olarak, yalnızca biçimleriyle incelemek istediğini hatırlatıyor; bunun için sistemin her parçasının biçim olarak tanımlanmış olması gerekiyordu. Defne, bir tanı kılavuzunun da bu parçalara ayrılıp ayrılamayacağını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Biçimsel sistem dersi, bir mantığı bir nesne olarak inceleyebilmek için onun hangi parçalardan oluşan bir biçimsel sistem olarak tanımlanması gerektiğini, alfabenin, kuruluş kurallarının, aksiyomların ve çıkarım kurallarının her birinin ne iş gördüğünü ve bir sistemin anlamından soyutlanarak yalnızca biçimiyle ele alınmasının ne kazandırıp ne kaybettirdiğini soruyor.