Tutarsızlık ve patlama

Açılış sahnesi

Grubun dosyasında iki kayıt yan yana duruyor. Filigran kaydı, kütüphanedeki el yazmasının kâğıdının atölyede hiç kullanılmamış bir kâğıt olduğunu söylüyor. Kolofon ise aynı el yazmasının atölyede, müstensihin elinden çıktığını söylüyor. İki kayıt birlikte doğru olamaz. Ama grup, ikisini de henüz bırakamıyor: filigran kaydı güvenilir bir laboratuvardan geliyor, kolofon da el yazmasının kendi sayfasında duruyor. Rapor gelecek bahar yayımlanacak ve bu çelişki çözülmeden de rapora bir şeyler yazılması gerekiyor.

Kerem, klasik mantığın burada ne söylediğini hatırlıyor: bir önerme ile onun çelişiği birlikte kabul edilirse, onlardan herhangi bir önerme çıkarılabilir. Öyleyse grup, bu iki kayıttan, müzedeki el yazmasının sahte olduğunu da, katalogdaki iki yüz nüshanın hepsinin aynı gün yazıldığını da çıkarabilirdi. Selin, bunun saçma olduğunu, grubun çelişkiyi bu tek el yazmasıyla sınırlı tutması gerektiğini söylüyor. Tolga, iki kaydın iki ayrı uzmandan geldiğini, belki de her birini kendi uzmanının iddiası olarak kaydetmenin yeteceğini düşünüyor. Lina, bir sözlükte birbirine çelişen iki tanım bulduğunda sözlüğü atmadığını hatırlatıyor. Barış, yasaların da bazen birbiriyle çeliştiğini, mahkemelerin buna rağmen karar verdiğini söylüyor. Defne ise bir hastanın dosyasında birbiriyle çelişen iki tetkik sonucu bulunduğunda, hekimin ne yaptığını düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, çelişkili bilgi içeren bir kaynaktan her önermenin çıkmasının neden kabul edilemez göründüğünü, patlama ilkesinin klasik ve sezgici mantıkta nereden geldiğini ve bu ilkeyi bırakan bir mantığın tutarsız bir bilgi kümesiyle nasıl akıl yürütebileceğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Programın Klasik Mantığa Giriş kursunda, Çelişki dersi patlama ilkesini tanımlamış ve Lewis ile Langford'un, bir çelişkiden herhangi bir önermenin iki kısa adımla çıktığını gösteren kanıtını incelemişti. Aynı derste, bazı çelişkilerin gerçekten doğru olduğunu savunan Priest'in görüşü de bir itiraz olarak anılmıştı. Önceki modülün son dersi ise sezgici mantığın Kripke modellerinde çelişkili bir bilgi durumuna yer olmadığını ve sezgici mantığın üçüncü hâlin olmazlığını bırakırken patlama ilkesini koruduğunu göstermişti. Bu ders, Parakonsistent mantık modülünü açıyor: patlama ilkesini bırakan mantıkların neden ortaya çıktığını ve tutarsız bir bilgi kümesiyle nasıl akıl yürüttüklerini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Stanisław Jaśkowski, 1948'de yayımladığı Çelişkili Tümdengelim Sistemleri İçin Önermeler Hesabı makalesinde, birbiriyle çelişen görüşlerin savunulduğu bir tartışmayı, patlamaya yol açmadan kaydedebilen bir mantık önerir. Newton da Costa, 1974'te yayımladığı Tutarsız Biçimsel Sistemler Kuramı Üzerine makalesinde, çelişki içerebilen ama her önermeyi kanıtlamayan bir sistemler ailesi kurar. Nuel Belnap ise 1977'de yayımladığı Bir Bilgisayar Nasıl Düşünmeli makalesinde, birden çok kaynaktan çelişkili bilgi alan bir bilgisayarın, bu bilgiyle nasıl akıl yürütmesi gerektiğini tartışır.

Ardından üç itirazı tartacağız: ayrık tasımın akıl yürütmede vazgeçilmez olduğu, tutarsızlığın bir mantıkla değil düzeltmeyle giderilmesi gerektiği ve parakonsistent mantıkların olumsuzlamasının gerçek bir olumsuzlama olmadığı itirazları.

Sonda, tutarsız bir bilgi kümesiyle akıl yürütmenin dört adımını göstereceğiz: çelişkiyi yerini belirleyerek adlandırmak, tutarsızlık ile önemsizliği ayırmak, patlamaya götüren adımı bulmak ve çelişkiden etkilenmeyen sonuçları ayırmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: çelişkili bilgi içeren bir kaynaktan her önermenin çıkması neden kabul edilemez görünür ve patlama ilkesini bırakan bir mantık, tutarsız bir bilgi kümesiyle nasıl akıl yürütebilir?

Ölçülü iddiam şu: klasik mantıkta ve sezgici mantıkta, bir çelişki içeren her kuram önemsizdir, yani her önermeyi içerir. Bu yüzden bu mantıklarda tutarsızlık ile önemsizlik aynı şeydir. Oysa gerçek bilgi kaynakları, yani bir araştırma dosyası, bir yasa metni, bir hasta kaydı ya da birçok kaynaktan beslenen bir veri tabanı, çoğu zaman tutarsızdır ama önemsiz değildir. İçlerindeki çelişki bir noktada durur ve geri kalanı güvenilir kalır. Parakonsistent mantık, tutarsız ama önemsiz olmayan kuramlara izin veren, yani bir çelişkiden her önermenin çıkmadığı mantıktır. Bunu kurmanın birden çok yolu vardır. Jaśkowski, birbiriyle çelişen iddiaları birleştirme kuralını kısıtlayarak patlamayı engeller. Da Costa, olumsuzlamayı zayıflatır ve patlamayı yalnızca tutarlı olduğu bilinen önermelere uygular. Belnap ise bir önermeye hem doğru hem yanlış bilgisi verilmesine izin veren dört değerli bir yorumla ayrık tasımı sınırlar. Bu mantıkların hiçbiri çelişkilerin doğru olduğunu söylemek zorunda değildir. Yalnızca çelişkili bilgiyle, çelişkiyi çözmeden de, kontrollü biçimde akıl yürütülebileceğini söyler. Bedeli, tutarsız bölgelerde ayrık tasım gibi alışılmış bir kuralın kısıtlanmasıdır.

Sıfır noktası

Patlama ilkesi, bir öğrenciye çoğu zaman bir mantık hilesi gibi görünür. Bir çelişkiden aya dair bir önermenin çıkması, bir kanıt değil, bir şaka gibidir. Ama ilke, klasik mantığın merkezindeki iki masum görünen kuraldan çıkar. Lewis ile Langford'un kanıtında görüldüğü gibi, A'dan "A ya da B" çıkarılır. Sonra "A değil" öncülüyle, ayrık tasım yoluyla, B çıkarılır. İki kural da tek başına makuldür. Birleşince, çelişki içeren bir kümeden her önerme çıkar.

Sezgici mantık bu durumu değiştirmez. Heyting'in sezgici mantık sistemi, çelişkiden her şeyin çıktığı ilkesini bir aksiyom olarak içerir. Kanıt yorumunda bu, bir çelişkinin kanıtının hiçbir zaman bulunamayacağı, bu yüzden ondan her şeyin çıktığını söylemenin boş bir güvence olduğu biçiminde okunur. Önceki modülün Kripke modellerinde de hiçbir bilgi durumu bir çelişkiyi kurmaz. Johansson'ın 1937'de önerdiği asgari mantık, bu aksiyomu bırakan ilk sistemlerden biridir. Ama asgari mantıkta bile bir çelişkiden her önermenin olumsuzlaması çıkar.

Burada iki kavramı ayırmak gerekir. Bir kuram, bir önermeyi ve onun olumsuzlamasını birlikte içeriyorsa tutarsızdır. Bir kuram, dilindeki her önermeyi içeriyorsa önemsizdir. Klasik ve sezgici mantıkta her tutarsız kuram önemsizdir. Parakonsistent mantıkta ise bir kuram tutarsız olup önemsiz olmayabilir. Tartışmanın bütünü, bu iki kavramın ayrılıp ayrılamayacağı sorusudur.

Görüşler ve pozisyonlar

Tutarsız bilgi karşısında mantığın ne yapması gerektiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, klasik görüştür. Buna göre patlama ilkesi doğrudur ve tutarsız bir bilgi kümesi gerçekten önemsizdir. Bir çelişkiyle karşılaşan kişi, mantığını değiştirmemeli, bilgi kümesini düzeltmelidir. Mantığın işi, tutarsız kümelerle akıl yürütmek değil, onları tutarlı hâle getirmeyi zorunlu kılmaktır.

İkinci görüş, parakonsistent görüştür. Buna göre patlama ilkesi, tutarsız bilgiyle akıl yürütmenin doğru modeli değildir. Gerçek bilgi kümeleri tutarsız olabilir ve bir mantık, bu kümelerden her şeyi değil, yalnızca kümenin gerçekten desteklediğini çıkarmalıdır. Bu görüş, çelişkilerin doğru olduğunu söylemez; yalnızca çelişkili bilgiyle akıl yürütmenin mümkün olduğunu söyler.

Üçüncü görüş, dialetheist görüştür. Buna göre bazı çelişkiler gerçekten doğrudur ve patlama ilkesinin reddi, yalnızca bilgi eksikliğinin değil, gerçekliğin bir özelliğinin sonucudur.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve birinci görüşün, tutarsızlığın düzeltilmesi gerektiği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, bir araştırmacının bir çelişkiyle karşılaştığında onu çözmeye çalışması gerektiğini doğru görür. Ama düzeltme zaman alır ve arada akıl yürütmek gerekir. İkinci görüş, bu aradaki akıl yürütmenin bir mantığını verir. Üçüncü görüş ise, tartışmayı bilgi kümelerinden gerçekliğin kendisine taşıdığı için, modülün sonraki derslerinde ayrı olarak ele alınacak.

Argümanın yapısı

Tutarsız bir bilgi kümesiyle akıl yürütmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, çelişkiyi yerini belirleyerek adlandırmaktır. Akıl yürüten, hangi önermenin ve olumsuzlamasının kümede birlikte bulunduğunu ve her birinin hangi kaynaktan geldiğini yazar.

İkinci adım, tutarsızlık ile önemsizliği ayırmaktır. Akıl yürüten, kümenin tutarsız olduğunu kabul eder, ama bundan kümenin her önermeyi desteklediği sonucunu çıkarmaz. Kümenin hangi önermeleri gerçekten desteklediğini ayrıca sorar.

Üçüncü adım, patlamaya götüren adımı bulmaktır. Akıl yürüten, bir sonucun çelişkili önermeye dayanan bir ayrık tasımdan ya da iki ayrı kaynağın iddialarını birleştiren bir adımdan geçip geçmediğini denetler.

Dördüncü adım, çelişkiden etkilenmeyen sonuçları ayırmaktır. Akıl yürüten, çelişkili önermeye hiç dayanmayan sonuçları güvenilir sayar ve çelişkiye dayanan sonuçları, çelişki çözülene kadar askıda tutar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Tutarsızlığı ve patlamayı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Klasik ve sezgici mantıkta her tutarsız kuram önemsizdir, çünkü ayrılmayı genişletme ile ayrık tasım birleşince bir çelişkiden her önerme çıkar. Gerçek bilgi kaynakları ise çoğu zaman tutarsızdır ama önemsiz değildir. Selin'in kataloğunda ve Lina'nın sözlüğünde görüldüğü gibi, çelişki bir noktada durur ve geri kalan bilgi güvenilir kalır. Parakonsistent mantık, tutarsızlık ile önemsizliği ayıran mantıktır. Jaśkowski farklı kaynakların iddialarını birleştirme kuralını kısıtlar. Da Costa patlamayı iyi davranan önermelerle sınırlar. Belnap ise hem doğru hem yanlış bildirilmiş önermeler için ayrık tasımı sınırlar. Bu mantıklar çelişkilerin doğru olduğunu söylemek zorunda değildir. Çelişkiyi çözmeye kadar geçen sürede, çelişkiden etkilenmeyen sonuçları çelişkiye dayananlardan ayırmanın bir yolunu verirler. Bedelleri, çelişkinin bulunduğu bölgede ayrık tasım gibi alışılmış bir kuralın kısıtlanmasıdır.

Açık kalan sorular

Lina'nın iki tanımı, da Costa'nın yönteminin, çelişkinin yerinin bilindiği durumlarda iyi çalıştığını gösterdi. Ama çelişkinin nerede olduğunu bilmediğimiz bir bilgi kümesinde, hangi önermelerin iyi davrandığını nasıl bilebiliriz? Bu bilgi, kendisi tutarlı bir bilgi mi olmalıdır?

Tolga'nın iki tutanağı, farklı kaynakların iddialarını birleştirmemenin patlamayı engellediğini, ama iki uzmanın bulgularını birlikte kullanmayı da zorlaştırdığını gösterdi. Bir araştırma, farklı kaynakları birleştirmeden ilerleyebilir mi? Birleştirmenin sınırı nerede çizilmelidir?

Barış'ın iki yasası, hukukun çelişkiyi kendi öncelik kurallarıyla çözdüğünü gösterdi. Bu öncelik kuralları, bir mantığın parçası sayılabilir mi? Yoksa her alan, tutarsızlıkla başa çıkmak için kendi mantık dışı kurallarını mı kurmak zorundadır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Klasik ve sezgici mantıkta bir çelişki içeren her kuram önemsizdir, çünkü ayrılmayı genişletme ile ayrık tasım birleşince bir çelişkiden her önerme çıkar; bu yüzden bu mantıklarda tutarsızlık ile önemsizlik aynı şeydir.

Jaśkowski'nin makalesi çelişkili görüşlerin savunulduğu bir tartışmayı iddiaları birleştirmeden kaydetmeyi, da Costa'nın makalesi patlamayı iyi davranan önermelerle sınırlamayı, Belnap'ın makalesi ise çelişkili bildirim alan bir bilgisayarın dört değerli bir yorumla ayrık tasımı sınırlamasını önerdi.

Tutarsız bir bilgi kümesiyle akıl yürütmek dört adımla yapılır: çelişkiyi yerini belirleyerek adlandırmak, tutarsızlık ile önemsizliği ayırmak, patlamaya götüren adımı bulmak ve çelişkiden etkilenmeyen sonuçları ayırmak.

Ayrık tasımın vazgeçilmez olduğu, tutarsızlığın düzeltilmesi gerektiği ve parakonsistent olumsuzlamanın gerçek olumsuzlama olmadığı itirazları, bu kuralın tutarlı bölgelerde geri kazanıldığını, parakonsistent mantığın düzeltmeye kadar geçen sürenin mantığı olduğunu ve çelişkili olanın dünya değil bildirimler olabileceğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden patlama ilkesini bırakmak, çelişkileri kabul etmek değil, bir çelişkinin bir bilgi kümesinin geri kalanını yok etmesine izin vermemektir.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki bütün çözümler, çelişkiyi dünyada değil, bilgimizde aradı. İki uzman çelişiyordu, iki yasa çatışıyordu, iki kayıt birbirini tutmuyordu. Ama her durumda, çelişkinin sonunda çözüleceği, iki kayıttan birinin yanlış çıkacağı varsayılıyordu. Parakonsistent mantık, bu çözülmeyi beklerken akıl yürütmenin bir yolunu verdi.

Kerem, çözülmeyi beklemenin her zaman mümkün olup olmadığını soruyor. Grubun raporunda, "bu rapordaki bu cümle yanlıştır" diyen bir cümle bulunsaydı, onun doğru mu yanlış mı olduğuna hangi yeni bilgi karar verebilirdi? Cümle doğruysa, söylediği gibi yanlıştı; yanlışsa, söylediği doğru çıkıyordu. Selin, bu cümlenin çelişkisinin bir kayıt hatasından doğmadığını, cümlenin kendi yapısından geldiğini söylüyor. Lina, bazı çelişkilerin bilgimizin değil, dilin ya da dünyanın bir özelliği olup olamayacağını merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Dialetheizm dersi, bazı çelişkilerin yalnızca bilgimizde değil gerçekten doğru olabileceğini savunan görüşün hangi gerekçelere dayandığını, kendi yanlışlığını söyleyen cümlenin bu görüş için neden merkezî olduğunu ve parakonsistent mantığı kabul etmek ile doğru çelişkileri kabul etmek arasındaki farkı soruyor.