Kripke semantiği

Açılış sahnesi

Kerem, kolofondaki okunaksız sözcüğe yeniden bakıyor. Grup, sözcüğün bir yer adı olup olmadığını henüz bilmiyor. Bugün elde olan bilgiyle, sözcüğün bir yer adı olduğu da, olmadığı da kurulamıyor. Ama araştırma sürüyor: gelecek hafta bir uzman sözcüğü okuyabilir, ya da mürekkep örneğinin incelenmesi yeni bir ipucu verebilir. Kerem, bu durumu bir zaman çizelgesi gibi çiziyor. Bugünün bilgisi bir nokta, yarının olası bilgileri o noktadan çıkan dallar.

Selin, çizime bakınca daha önce gördükleri bir şeyi hatırlıyor. Kip mantığında dünyalar ve erişilebilirlik okları vardı; bu çizim de noktalardan ve oklardan oluşuyordu. Tolga, bir farkı işaret ediyor: buradaki noktalar olanaklı dünyalar değil, bilgi durumlarıydı, oklar da bilginin büyüyebileceği yönleri gösteriyordu. Lina, bir önermenin bugün kurulmamış olmasının, onun hiçbir zaman kurulamayacağı anlamına gelmediğini söylüyor. Barış, bir davada delillerin birikmesini böyle çizmenin mümkün olup olmadığını soruyor. Defne ise bir hastanın tetkik sonuçlarının aynı biçimde, dallanan bir ağaç gibi büyüdüğünü düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, sezgici mantığın genişleyen bilgi durumlarından oluşan çerçevelerle nasıl yorumlanabildiğini, bu yorumda bağlaçların nasıl tanımlandığını ve üçüncü hâlin olmazlığının bu çerçevelerde neden geçerli olmadığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Sezgici mantık modülünün önceki üç dersi, kanıt yorumunu, üçüncü hâlin olmazlığına karşı sezgici tutumu ve bu tutumu destekleyen anlam kuramını inceledi. Modal ve Yoğun Mantıklar kursunda ise Kripke çerçevesi, Kripke modeli ve erişilebilirlik ilişkisi kavramları tanımlanmış, S4 sisteminin yansımalı ve geçişli çerçevelerle eşleştiği görülmüş, Gödel'in sezgici önermeler hesabını S4 içine çeviren 1933 tarihli yorumu tanıtılmıştı. Bu ders, bu iki çizgiyi birleştiriyor: kip mantığının dünyalar anlambilimini, sezgici mantığa, bilgi durumları olarak okunan noktalarla uyguluyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Saul Kripke, 1965'te yayımladığı Sezgici Mantığın Anlamsal Çözümlemesi makalesinde, sezgici mantık için, noktaları kanıt durumları olarak yorumlanan bir model kuramı verir ve sezgici mantığın bu modellere göre tam olduğunu kanıtlar. Alfred Tarski, 1938'de yayımladığı Önermeler Hesabı ve Topoloji makalesinde, sezgici önermeler mantığının, önermeleri bir uzayın açık bölgeleri olarak yorumlayan bir anlambilime göre tam olduğunu gösterir. Michael Dummett ise 1977'de yayımladığı Sezgiciliğin Öğeleri kitabında, bu tür modellerin sezgici mantık için ne sağladığını ve neyi sağlamadığını tartışır.

Ardından üç itirazı tartacağız: bu modellerin klasik bir üst dilde kurulduğu için sezgicinin anlam kuramı olamayacağı, kalıcılık koşulunun gerçek bilginin geri alınabilirliğini yok saydığı ve modelin sezgici mantığı klasik mantığın bir parçasına indirgediği itirazları.

Sonda, bir çıkarımı bir Kripke modeliyle sınamanın dört adımını göstereceğiz: bilgi durumlarını ve aralarındaki sıralamayı çizmek, her durumda hangi yalın önermelerin kurulduğunu yazmak, bağlaçların koşullarını durum durum uygulamak ve bir karşı model bulunursa onu okumak.

Merkez soru

Sorumuz şu: sezgici mantık, kanıtlar yerine genişleyen bilgi durumlarından oluşan bir modelle yorumlanabilir mi ve bu yorum, üçüncü hâlin olmazlığının neden geçersiz olduğunu gösterir mi?

Ölçülü iddiam şu: Kripke'nin modelinde noktalar bilgi durumlarıdır. Bu durumlar, yansımalı ve geçişli bir sıralamayla, bilginin büyüyebileceği yönde birbirine bağlanır. Bir durumda kurulan yalın önerme, ondan sonraki her durumda kurulu kalır; buna kalıcılık denir. Bir durumda "A değil" önermesi, ancak o durumdan sonraki hiçbir durumda A kurulmuyorsa kurulur. "A ise B" önermesi de ancak sonraki her durumda, A kurulduğunda B de kuruluyorsa kurulur. Bu koşullarla, iki durumlu en küçük modelde bile üçüncü hâlin olmazlığı düşer. Birinci durumda A henüz kurulmamıştır, ama sonraki durumda kurulacağı için "A değil" de kurulmamıştır. Model bu yüzden, sezgicinin "henüz bilmiyoruz" ile "bilinemeyeceğini biliyoruz" arasında yaptığı ayrımı somut bir çizime dönüştürür. Kripke'nin tamlık teoremi, sezgici mantıkta kanıtlanabilen önermelerin tam olarak bütün bu modellerde kurulan önermeler olduğunu gösterir. Ama model, klasik bir üst dilde tanımlandığı için, sezgicinin anlam kuramının yerine geçmez. Model bir sınama aracıdır; kanıt yorumunun bir çizimi olarak okunabilir, onun temeli olarak değil.

Sıfır noktası

Bir öğrenci üçüncü hâlin olmazlığının geçersiz olduğunu duyduğunda, çoğu zaman bir üçüncü doğruluk değeri arar: önermeler doğru, yanlış ya da belirsiz olabilir. Ama sezgici mantık üç değerli bir mantık değildir. Sezgici mantığın hiçbir sonlu doğruluk tablosuyla tam olarak verilemeyeceği, Gödel tarafından 1932'de gösterilmişti. Kripke'nin modeli başka bir yol izler: önermeye bir değer vermek yerine, onun hangi bilgi durumlarında kurulduğunu sorar.

Bu modelde bir önermenin bir durumda kurulmamış olması, onun yanlış olduğu anlamına gelmez. Yalnızca o durumda henüz kurulmadığı anlamına gelir. Bir önermenin olumsuzlaması ise daha güçlü bir şey söyler: bu durumdan nereye gidilirse gidilsin, önerme hiçbir zaman kurulmayacaktır. Böylece "kurulmamış" ile "olumsuzlaması kurulmuş" arasında bir boşluk açılır ve üçüncü hâlin olmazlığı bu boşlukta başarısız olur.

Model, kip mantığındaki Kripke çerçevesinin bir türüdür. Noktalar arasındaki sıralama yansımalı ve geçişlidir; bu, S4 çerçevelerinin koşuludur. Bu bağlantı rastlantı değildir. Gödel'in 1933 çevirisi, sezgici bir önermeyi "kanıtlanabilir" okunan bir kip işleciyle S4 içine taşıyordu; Kripke'nin modeli, bu çevirinin anlambilimdeki karşılığı olarak görülebilir.

Görüşler ve pozisyonlar

Kripke modelinin sezgici mantık için ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, modeli sezgici mantığın anlambilimi sayar. Buna göre bir sezgici önermenin anlamı, onun hangi bilgi durumlarında kurulduğudur. Model, kanıt yorumunun sezgisel düşüncesini, kesin bir matematiksel yapıya dönüştürür.

İkinci görüş, modeli yalnızca teknik bir araç sayar. Buna göre model, sezgici mantıkta bir önermenin kanıtlanamadığını göstermek için karşı model kurmaya ve tamlık kanıtlamaya yarar. Ama model, klasik bir matematik içinde tanımlandığı için, sezgicinin önermelere verdiği anlamı dile getirmez.

Üçüncü görüş, modeli bir çizim sayar. Buna göre model, sezgicinin anlam kuramını temellendirmez. Ama kanıt yorumunun ana ayrımlarını, özellikle "henüz kurulmamış" ile "olumsuzlaması kurulmuş" ayrımını, gözle görülebilir kılar. Bu yüzden öğretimde ve çıkarım sınamada vazgeçilmezdir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, modelin klasik bir üst dilde kurulduğu gözlemini kabul eder. Birinci görüş, modelin sezgisel yorumunun, Kripke'nin kendisinin önerdiği kanıt durumları okumasının, doğru bir sezgiyi yakaladığını doğru görür. İkinci görüş, Dummett'ın tartıştığı gibi, modelin bir anlam kuramı olarak okunmasının güçlüğünü gösterir. Üçüncü görüş, iki gözlemi birlikte tutar: model, sezgici mantığın bir resmidir, kanıtı değil.

Argümanın yapısı

Bir çıkarımı bir Kripke modeliyle sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, bilgi durumlarını ve aralarındaki sıralamayı çizmektir. Sınayan, noktaları ve bilginin büyüyebileceği yönleri gösteren okları çizer. Her nokta kendisine erişir ve oklar geçişlidir.

İkinci adım, her durumda hangi yalın önermelerin kurulduğunu yazmaktır. Sınayan, bir durumda kurulan yalın önermenin, o durumdan erişilen bütün durumlarda da kurulu olmasına dikkat eder.

Üçüncü adım, bağlaçların koşullarını durum durum uygulamaktır. "Ve" ile "ya da" bulunduğu durumda denetlenir. "Değil" ile "ise" ise bulunduğu durumdan erişilen bütün durumlara bakarak denetlenir.

Dördüncü adım, bir karşı model bulunursa onu okumaktır. Sınayan, öncüllerin kurulduğu ama sonucun kurulmadığı bir durum bulursa, çıkarımın sezgici mantıkta geçersiz olduğunu yazar ve bu geçersizliğin hangi bilgi eksikliğinden doğduğunu açıklar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Kripke semantiğini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Sezgici mantık, kanıtlar yerine, yansımalı ve geçişli bir sıralamayla bağlanmış bilgi durumlarından oluşan modellerle yorumlanabilir. Bu modellerde kurulan önerme kalıcıdır. "Değil" ve "ise" bağlaçları, bulundukları durumdan erişilen bütün durumlara bakılarak tanımlanır. İki durumlu en küçük modelde bile üçüncü hâlin olmazlığı ve çifte olumsuzlamanın elenmesi düşer. Kerem'in ve Tolga'nın gösterdiği gibi, bunun nedeni bir üçüncü doğruluk değeri değil, "henüz kurulmamış" ile "olumsuzlaması kurulmuş" arasındaki boşluktur. Kripke'nin tamlık teoremi, bu modellerin sezgici mantığı tam olarak yakaladığını gösterir; Tarski'nin topolojik yorumu da aynı mantığın başka bir resmini verir. Ama Dummett'ın tartıştığı gibi, modeller klasik bir üst dilde tanımlandığı için sezgicinin anlam kuramının yerine geçmez. Model, kanıt yorumunun bir çizimidir: çıkarımları sınamak ve ayrımları görünür kılmak için vazgeçilmez, ama bir önermenin ne demek olduğunu temellendirmek için yetersizdir.

Açık kalan sorular

Selin'in kalıcılık sınaması, modelin inancı değil, kanıtla kurulmuş olanı izlediğini gösterdi. Ama bir araştırmacı, bir şeyin kanıtla kurulduğundan emin olabilir mi? Kanıt sandığı bir şeyin sonradan hatalı çıkması, kalıcılık koşulunu matematikte de sarsar mı?

Barış'ın delil ağacı, gerçek bilgi süreçlerinde bilgi durumlarının bazen küçüldüğünü gösterdi. Küçülen bilgi durumlarına izin veren bir model, hangi mantığı doğurur? Bu mantık hâlâ sezgici mantık sayılabilir mi?

Lina'nın açık kalan anlamı, dallanmanın iki yorumu da açık tuttuğunu gösterdi. Ama bir modelde bütün dallar sonunda aynı önermeyi kuruyorsa, bugünkü durumda o önerme kurulmuş sayılmalı mıdır? Beth'in ağaç modelleri, bu soruya Kripke'den farklı bir cevap verir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Kripke'nin modelinde sezgici mantık, yansımalı ve geçişli bir sıralamayla bağlanmış bilgi durumlarıyla yorumlanır; kurulan önerme sonraki bütün durumlarda kurulu kalır ve "değil" ile "ise" erişilen bütün durumlara bakılarak tanımlanır.

Kripke'nin makalesi sezgici mantığın bu modellere göre tam olduğunu, Tarski'nin makalesi aynı mantığın açık bölgelerle uzamsal biçimde de yorumlanabildiğini, Dummett'ın kitabı ise bu modellerin güçlü sınama araçları olduğunu ama sezgicinin anlam kuramının yerine geçmediğini gösterdi.

Bir çıkarım dört adımla sınanır: bilgi durumlarını ve sıralamayı çizmek, her durumda kurulan yalın önermeleri yazmak, bağlaçların koşullarını durum durum uygulamak ve bulunan karşı modeli okumak.

Modelin klasik bir üst dilde kurulduğu, kalıcılığın bilginin geri alınabilirliğini yok saydığı ve sezgici mantığı klasik mantığa indirgediği itirazları, modelin bir anlam kuramı değil bir sınama aracı olduğunu, sezgici mantığın konusunun inanç değil kanıt olduğunu ve çevirinin iki yönde de çalıştığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden Kripke semantiği, üçüncü hâlin olmazlığının neden düştüğünü bir üçüncü değerle değil, bugünün bilgisi ile geleceğin olası bilgileri arasındaki boşlukla gösteren bir çizimdir.

Sonraki derse köprü

Kripke'nin modelinde hiçbir bilgi durumu bir önermeyi ve onun olumsuzlamasını birlikte kurmaz. Bir durumda A kuruluysa, kalıcılık yüzünden sonraki her durumda da kuruludur ve "A değil" orada kurulamaz. Sezgici mantık üçüncü hâlin olmazlığını bıraktı, ama çelişkiden her şeyin çıktığı ilkesini korudu. Modelde çelişkili bir bilgi durumuna yer yoktu.

Tolga, grubun elindeki kayıtların bu kadar düzenli olmadığını söylüyor. Filigran kaydı, kütüphanedeki el yazmasının kâğıdının atölyede hiç kullanılmadığını söylüyordu. Kolofon ise o el yazmasını atölyeye bağlıyor gibiydi. Selin, iki kaydın birlikte doğru olamayacağını, ama grubun ikisini de henüz bırakamadığını ekliyor. Kerem, klasik mantıkta böyle bir çelişkiden her önermenin çıktığını, raporun bu yüzden her şeyi söylemeye izinli olacağını hatırlatıyor. Lina, bir sözlüğün birbiriyle çelişen iki tanım içermesinin, o sözlüğü tümüyle işe yaramaz kılıp kılmadığını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Tutarsızlık ve patlama dersi, çelişkili bilgi içeren bir kaynaktan her önermenin çıkmasının neden kabul edilemez göründüğünü, patlama ilkesinin klasik ve sezgici mantıkta nereden geldiğini ve bu ilkeyi bırakan bir mantığın tutarsız bir bilgi kümesiyle nasıl akıl yürütebileceğini soruyor.