Matematiksel anlam

Açılış sahnesi

Selin, bir öğrencinin bir matematik teoremini nasıl anladığını düşünüyor. Öğrenci, teoremin kanıtını satır satır izlemiş, her adımın bir öncekinden nasıl çıktığını görmüş ve sonunda "şimdi anladım" demişti. Selin, öğrencinin neyi anladığını soruyor: teoremin doğru olduğu koşulları mı, yoksa onun nasıl kanıtlandığını mı? Öğrenci, teoremin bütün sayılar için doğru olduğunu söylüyordu, ama bütün sayılara bakmamıştı; yalnızca kanıtı izlemişti. Belki de bir teoremin anlamı, onun doğru olduğu koşullarda değil, onu kanıtlamanın koşullarında yatıyordu.

Kerem, bu görüşün, üçüncü hâlin olmazlığı tartışmasını bir anlam tartışmasına dönüştürdüğünü fark ediyor: bir önermenin anlamı kanıtlanma koşullarıysa, kanıtlanamayan bir önerme için "ya doğrudur ya yanlıştır" demenin bir dayanağı kalmıyordu. Tolga, bu görüşün, kimsenin kanıtlayamadığı önermelerin anlamsız olduğu sonucuna götürüp götürmediğini soruyor. Lina, bir sözcüğün anlamını öğrenirken, onun doğru olduğu durumları mı, yoksa onu kullanmanın kurallarını mı öğrendiğini merak ediyor. Barış, bir yasa maddesinin anlamının, onun hangi durumlarda uygulandığı mı, yoksa bir mahkemenin onu nasıl gerekçelendirdiği mi olduğunu soruyor. Defne ise bir tanı ölçütünün anlamının, bir hastalığın var olduğu koşullar mı, yoksa onu tespit etmenin yolları mı olduğunu düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, bir matematik önermesinin anlamının onun doğruluk koşullarıyla mı yoksa kanıtlanma koşullarıyla mı verildiğini, sezgiciliğin anlam kuramının klasik mantığa yönelttiği argümanı ve bu argümanın matematik dışındaki önermelere uzanıp uzanmadığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Sezgici mantık modülünün önceki iki dersi, kanıt yorumunu ve üçüncü hâlin olmazlığına karşı sezgici tutumu inceledi; Dışlanmış üçüncü dersinde, yasanın bağlaçların anlamından çıkıp çıkmadığı sorusunun bir anlam kuramı sorusu olduğu belirtilmişti. Programın önermeler mantığı kursunda ise Dummett'ın, sezgici mantığın bir anlam kuramından çıkabileceğini savunan 1973 tarihli çalışması, Gentzen'in ve Prawitz'in doğal çıkarım çalışmaları ve Prior'ın, kuralları keyfi bir bağlaç tanımlayan bir örnekle bağlaçların kurallarla tanımlanmasının sınırını gösteren makalesi tanıtılmış, dil felsefesi derslerinde doğruluk koşulu kavramı tanımlanmıştı. Bu ders, bu parçaları bir araya getiriyor: anlamın kanıt koşullarıyla verildiği görüşünü, bu görüşün hangi ilkelere dayandığını, klasik mantığa nasıl bir argüman çıkardığını ve bu argümana matematik gerçekçiliğinin verdiği cevabı inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Dag Prawitz, 1977'de Theoria'da yayımladığı Anlam ve Kanıtlar makalesinde, klasik mantık ile sezgici mantık arasındaki çatışmanın bir anlam çatışması olduğunu ve bir bağlacın anlamının onun tanıtma kurallarıyla verilebileceğini savunur. Michael Dummett, 1991'de yayımladığı Metafiziğin Mantıksal Temeli kitabında, bir mantığın kurallarının anlam kuramı tarafından doğrulanabilmesi için, bir bağlacın tanıtma ve eleme kurallarının birbirine uyumlu olması gerektiğini savunur. Kurt Gödel ise 1947'de American Mathematical Monthly'de yayımladığı Cantor'un Süreklilik Problemi Nedir? makalesinde, matematiksel nesnelerin bizden bağımsız olarak var olduğunu ve bu yüzden kanıtlanamayan matematik önermelerinin de belirli bir doğruluk değeri taşıdığını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: kanıt koşullu anlamın kanıtlanamayan önermeleri anlamsız kıldığı, bu görüşün matematik pratiğini açıklamadığı ve anlam kuramından mantık seçimine geçişin keyfi olduğu itirazları.

Sonda, bir önermenin anlamını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: önermeyi anlamanın neyi bilmeyi gerektirdiğini sormak, bu bilginin nasıl gösterilebileceğini belirlemek, önermenin bağlaçlarının tanıtma ve eleme kurallarının uyumlu olup olmadığını denetlemek ve seçilen anlam kuramının hangi mantığı haklı çıkardığını yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir matematik önermesinin anlamı, onun doğruluk koşullarıyla mı yoksa kanıtlanma koşullarıyla mı verilir ve bu seçim hangi mantığın doğru olduğunu belirler mi?

Ölçülü iddiam şu: sezgici anlam kuramına göre, bir matematik önermesinin anlamını bilmek, onun kanıttan bağımsız doğruluk koşullarını bilmek değil, onun bir kanıtını tanıyabilmektir; bu görüşün temel dayanağı, bir kişinin bir önermeyi anladığının, ancak onun kullanımında, yani bir kanıtı kabul edip bir kanıt olmayanı reddetmesinde, gösterilebileceğidir; Prawitz'in savunduğu gibi, bu görüşte bir bağlacın anlamı, onun tanıtma kurallarıyla, yani o bağlacı içeren bir önermenin doğrudan nasıl kanıtlanacağını söyleyen kurallarla verilir; Dummett'ın gösterdiği gibi, bir bağlacın eleme kuralları da, tanıtma kurallarının koyduğundan daha fazlasını çıkarmamalı, onlarla uyumlu olmalıdır; bu uyum ölçütü, sezgici bağlaçların kurallarını doğrular, ama klasik mantığın çifte olumsuzlamanın elenmesi kuralını doğrulamaz, çünkü bu kural, olumsuzlamanın tanıtma kuralının koyduğundan daha fazlasını çıkarır; bu yüzden anlam kuramından mantık seçimine bir argüman kurulabilir: anlam kanıt koşullarıyla verilirse, doğru mantık sezgici mantıktır; ama Gödel'in savunduğu matematik gerçekçiliği, matematiksel nesnelerin bizden bağımsız olarak var olduğunu ve önermelerin kanıttan bağımsız doğruluk değerleri taşıdığını söyleyerek bu argümanın öncülünü reddeder; ve iki görüş arasındaki seçim, bir mantık seçiminden çok, anlam ve gerçeklik hakkında bir felsefi seçimdir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir önermenin anlamını düşündüğünde, çoğu zaman onun neyi betimlediğini düşünür: "her çift sayı iki asal sayının toplamıdır" önermesi, sayılar hakkında bir olguyu betimler ve bu olgu ya vardır ya yoktur. Bu görüşe göre önermenin anlamı, onun doğru olduğu koşuldur: her çift sayının iki asal sayının toplamı olması. Dil felsefesi derslerinde tanımlanan doğruluk koşulu kavramı, bu görüşün temelidir.

Sezgici anlam kuramı, bu görüşe bir soru yöneltir: bir kişi bu önermeyi anladığında, neyi bilir? Önermenin doğru olduğu koşul, sonsuz sayıda çift sayının her biri hakkında bir olgudur; hiç kimse bu olguların hepsini inceleyemez. Öyleyse bir kişinin bu koşulu bildiğini nasıl gösterebiliriz? Sezgici kurama göre, bunu ancak kişinin önermeyi nasıl kullandığıyla gösterebiliriz: bir kanıtı kabul etmesiyle, bir karşı örneği tanımasıyla, bir kanıt olmayanı reddetmesiyle. Bu yüzden anlamı bilmek, kanıtı tanıyabilmektir.

Bu görüş, bağlaçların anlamına da uygulanır. "Ya A ya B" önermesinin anlamı, onun doğru olduğu koşul, yani A ya da B'nin doğru olması değil, onu kanıtlamanın yolu, yani A'yı ya da B'yi kanıtlamaktır. Bu, Yapıcı ispat dersinde görülen kanıt yorumunun, bir anlam kuramı olarak okunmasıdır. Bu okumada, kanıt yorumu yalnızca bir kanıt yöntemi değil, bağlaçların ne demek olduğunun açıklamasıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir matematik önermesinin anlamı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, doğruluk koşullu görüştür. Buna göre bir önermenin anlamı, onun doğru olduğu koşuldur ve bu koşul, önermenin kanıtlanıp kanıtlanamayacağından bağımsızdır. Bir önerme, kimse onu kanıtlayamasa da, belirli bir doğruluk değeri taşır; üçüncü hâlin olmazlığı, bu olguyu dile getirir.

İkinci görüş, kanıt koşullu görüştür. Buna göre bir önermenin anlamı, onun bir kanıtının ne sayılacağıdır. Bir önermeyi anlamak, onun bir kanıtını tanıyabilmektir ve bu anlamda, kanıttan bağımsız bir doğruluk değeri varsaymanın bir dayanağı yoktur. Üçüncü hâlin olmazlığı, genel bir yasa olamaz.

Üçüncü görüş, kullanım görüşüdür. Buna göre bir önermenin anlamı, onun bir dil topluluğundaki kullanımıdır ve bu kullanım, doğruluk koşullarını da kanıt koşullarını da içerebilir. Matematikte kullanım büyük ölçüde kanıta dayanır, ama matematikçiler kanıtlanmamış önermeler hakkında da, onların doğru ya da yanlış olduğunu varsayarak konuşur.

Bu ders ikinci görüşün argümanını ciddiye alır ve üçüncü görüşün, matematik pratiğinin iki görüşün öğelerini de taşıdığı gözlemini kabul eder. Birinci görüş, Gödel'in savunduğu gibi, matematikçilerin kanıtlanmamış önermeler hakkında, örneğin açık bir sanı hakkında, onun doğru ya da yanlış olduğunu varsayarak araştırma yaptıkları olgusunu doğru yakalar. İkinci görüş, Selin'in öğrencisinde görüldüğü gibi, anlamın nasıl gösterildiği sorusuna güçlü bir cevap verir. Üçüncü görüş, iki görüş arasındaki çatışmanın, matematik pratiğinin kendisinde değil, bu pratiğin hangi öğesinin anlamı belirlediğine dair felsefi bir yargıda yattığını gösterir.

Argümanın yapısı

Bir önermenin anlamını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önermeyi anlamanın neyi bilmeyi gerektirdiğini sormaktır. Değerlendiren, önermeyi anlayan birinin, onun doğru olduğu koşulu mu, yoksa onun bir kanıtının ne sayılacağını mı bildiğini belirler.

İkinci adım, bu bilginin nasıl gösterilebileceğini belirlemektir. Değerlendiren, önermeyi anlayan birinin, bu anlayışını hangi davranışlarla, bir kanıtı kabul ederek mi, bir durumu tanıyarak mı, bir soruyu cevaplayarak mı, gösterebileceğini sorar.

Üçüncü adım, önermenin bağlaçlarının tanıtma ve eleme kurallarının uyumlu olup olmadığını denetlemektir. Değerlendiren, bir bağlacın eleme kurallarının, o bağlacın tanıtma kurallarının koyduğundan daha fazlasını çıkarıp çıkarmadığını sorar.

Dördüncü adım, seçilen anlam kuramının hangi mantığı haklı çıkardığını yazmaktır. Değerlendiren, anlamı doğruluk koşullarıyla mı kanıt koşullarıyla mı verdiğini ve bu seçimin klasik mi sezgici mi bir mantığı desteklediğini açıkça belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Matematiksel anlamı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Sezgici anlam kuramına göre bir matematik önermesinin anlamını bilmek, onun kanıttan bağımsız doğruluk koşulunu bilmek değil, onun bir kanıtını tanıyabilmektir; bu görüşün dayanağı, anlamın kullanımda gösterilebilmesi gerektiğidir. Prawitz'in savunduğu gibi, bu görüşte bir bağlacın anlamı onun tanıtma kurallarıyla verilir; Dummett'ın gösterdiği gibi, eleme kuralları tanıtma kurallarıyla uyumlu olmalıdır ve bu uyum ölçütü sezgici bağlaçları doğrular, klasik mantığın çifte olumsuzlamanın elenmesi kuralını doğrulamaz. Bu yüzden anlam kuramından mantık seçimine bir argüman kurulabilir; argümanın bütün yükü, karar verilemeyen önermelerin doğruluk koşullarının kullanımda gösterilemeyeceği öncülündedir. Gödel'in savunduğu matematik gerçekçiliği, matematiksel nesnelerin bizden bağımsız olarak var olduğunu söyleyerek bu öncülü reddeder. Bu yüzden iki mantık arasındaki seçim, bir mantık seçiminden çok, anlam ve gerçeklik hakkında bir felsefi seçimdir; ve bu seçimin matematik dışına uzanıp uzanmadığı, bir alanda önermelerin kanıttan bağımsız bir doğrulama yolu bulunup bulunmadığına bağlıdır.

Açık kalan sorular

Selin'in öğrencisi, bir önermeyi kanıtını bilmeden anlamanın, bir kanıtın ne olacağını tanıyabilmek olduğunu gösterdi. Ama bir kanıtın ne olacağını tanıyabilmek, önermenin kanıtlanma koşullarını değil, doğruluk koşullarını bilmeyi gerektirmez mi? Bir kanıtı tanımak, onun neyi kanıtladığını bilmeyi varsayar mı?

Kerem'in anlam argümanı, bütün yükün, karar verilemeyen önermelerin doğruluk koşullarının kullanımda gösterilemeyeceği öncülünde olduğunu gösterdi. Bu öncül doğruysa, geçmişe dair önermeler, örneğin müstensihin kayıp el yazmasının hangi gün bitirildiği hakkındaki bir önerme, de kanıt koşullu olarak mı anlaşılmalıdır?

Defne'nin tanı ölçütü, doğruluk koşullu okumanın, bağımsız bir doğrulama yolunun bulunduğu alanlarda daha güçlü olduğunu düşündürdü. Matematikte, bir önermeyi kanıttan bağımsız olarak doğrulamanın bir yolu var mıdır? Gödel'in matematiksel sezgisi, böyle bir yol mudur?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Sezgici anlam kuramına göre bir matematik önermesinin anlamını bilmek, onun kanıttan bağımsız doğruluk koşulunu bilmek değil, onun bir kanıtını tanıyabilmektir ve bu görüşün dayanağı, anlamın kullanımda gösterilebilmesi gerektiğidir.

Prawitz'in Anlam ve Kanıtlar makalesi bir bağlacın anlamının onun tanıtma kurallarıyla verilebileceğini, Dummett'ın Metafiziğin Mantıksal Temeli kitabı eleme kurallarının tanıtma kurallarıyla uyumlu olması gerektiğini ve bu uyumun sezgici mantığı desteklediğini, Gödel'in makalesi ise matematik gerçekçiliğinin kanıtlanamayan önermelere de bir doğruluk değeri verdiğini gösterdi.

Bir önermenin anlamı dört adımla değerlendirilir: onu anlamanın neyi bilmeyi gerektirdiğini sormak, bu bilginin nasıl gösterileceğini belirlemek, bağlaçların tanıtma ve eleme kurallarının uyumlu olup olmadığını denetlemek ve seçilen anlam kuramının hangi mantığı haklı çıkardığını yazmak.

Kanıtlanamayan önermelerin anlamsızlaştığı, matematik pratiğinin gerçekçi olduğu ve anlamdan mantığa geçişin keyfi olduğu itirazları, anlamın bir kanıtı tanıma yeteneğinde yattığını, iki kuramın kanıtlanmış teoremler hakkında anlaştığını ve uyum ölçütünün keyfi bağlaçları dışarıda bırakmak için de gerektiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden klasik mantık ile sezgici mantık arasında seçim yapmak, bir çıkarım kuralını seçmekten çok, bir önermeyi anlamanın ne demek olduğuna ve dünyanın, bizim kanıtlarımızdan bağımsız olarak, bir doğruluk değeri taşıyıp taşımadığına dair bir felsefi yargı vermektir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın uyum sınaması ve Kerem'in anlam argümanı, sezgici mantığı kanıtlar üzerinden anlaşılan bir mantık olarak göstermişti. Kerem, bu mantığın, kip mantığında olduğu gibi, dünyalar ve erişilebilirlik ilişkileriyle de bir anlambilime sahip olup olamayacağını soruyor. Modal ve Yoğun Mantıklar kursunda Kripke çerçeveleri, zorunluluğu erişilebilir dünyalar üzerinden tanımlamıştı; aynı yapı, sezgici mantık için de kurulabilir miydi?

Selin, bir kanıtın zaman içinde birikmesinin, bir bilgi durumunun genişlemesi gibi düşünülebileceğini söylüyor: bugün kanıtlanmış olan, yarın da kanıtlanmış kalıyordu, ama yarın yeni şeyler kanıtlanabiliyordu. Tolga, bilgi durumlarının, grubun araştırmasında olduğu gibi, zaman içinde dallanabileceğini, farklı araştırma yollarının farklı bulgulara götürebileceğini ekliyor. Lina, bir önermenin bir bilgi durumunda kanıtlanmamış olmasının, onun sonraki bir durumda kanıtlanamayacağı anlamına gelmediğini hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Kripke semantiği dersi, sezgici mantığın, genişleyen bilgi durumlarından oluşan çerçevelerle nasıl yorumlanabildiğini, bu yorumda bağlaçların nasıl tanımlandığını ve üçüncü hâlin olmazlığının bu çerçevelerde neden geçerli olmadığını soruyor.