Dışlanmış üçüncü

Açılış sahnesi

Kerem, sezgici mantık üzerine okuduklarından şaşırtıcı bir sonuç çıkarıyor. Sezgici mantık, üçüncü hâlin olmazlığını genel bir yasa olarak kabul etmiyordu; ama Kerem, bu mantığın o yasanın yanlış olduğunu da söylemediğini fark ediyor. Tersine, sezgici mantıkta "üçüncü hâlin olmazlığı yanlıştır" demek bir çelişkiye yol açıyordu. Sezgici bir mantıkçı, bir önermenin ya kendisinin ya olumsuzlamasının doğru olduğunu ileri sürmüyordu, ama bunun olmadığını da ileri sürmüyordu. Kerem, bu ara durumun ne anlama geldiğini anlamak istiyor: bir yasayı kabul etmemek ile onu reddetmek arasındaki fark neydi?

Lina, katalogdaki iki yüz nüshanın her birini tek tek inceleyerek, "zamanı gelince" okumasını taşıyan bir nüsha olup olmadığını belirleyebileceklerini, bu yüzden bu soru için üçüncü hâlin olmazlığının bir sorun olmadığını söylüyor. Selin, bir matematikçinin, cevabı kimsenin bilmediği bir soruyu kullanarak üçüncü hâlin olmazlığına karşı bir örnek kurduğunu okuduğunu anlatıyor. Tolga, kolofondaki okunaksız sözcüğün, ilkesel olarak bir incelemeyle okunabilir olup olmadığını soruyor. Barış, bir mahkemenin bir davada karar vermekten kaçınamayacağını ve bu yüzden hukukun, kanıtlar yetersiz olsa da, "ya suçlu ya suçsuz" demek zorunda olduğunu hatırlatıyor. Defne ise tıptaki bazı soruların bir testle cevaplanabildiğini, bazılarının ise hiçbir testle cevaplanamayacağını söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, sezgici mantığın üçüncü hâlin olmazlığını neden genel bir yasa olarak kabul etmediğini, bu yasanın hangi durumlarda sezgici olarak da geçerli olduğunu ve Brouwer'in bu yasaya karşı kurduğu zayıf karşı örneklerin neyi gösterdiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Yapıcı ispat dersi, sezgici mantığın kanıt yorumunu tanıttı ve "ya A ya B" önermesinin bir kanıtının, iki seçenekten birinin kanıtını ve hangisinin kanıtlandığının göstergesini gerektirdiğini gösterdi. Bu yorumda, üçüncü hâlin olmazlığının genel bir yasa olamayacağı söylenmişti. Brouwer'in 1908 tarihli makalesi ve üçüncü hâlin olmazlığı ilkesi, önermeler mantığı kursunda tanıtılmıştı. Bu ders, bunları yeniden anlatmadan, sezgici mantığın bu yasaya karşı tutumunun inceliklerini inceliyor: yasayı kabul etmemenin onu reddetmek olmadığını, yasanın hangi önermeler için sezgici olarak da geçerli olduğunu ve yasaya karşı kurulan örneklerin ne tür örnekler olduğunu.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Brouwer, 1923'te yayımladığı Üçüncü Hâlin Olmazlığı İlkesinin Matematikteki Anlamı Üzerine makalesinde, bu ilkenin sonlu kümeler için güvenilir olduğunu, ama sonsuz kümelere uygulandığında, cevabı bilinmeyen sorular yüzünden kanıtlanamayan önermeler doğurduğunu gösterir. David Hilbert, 1927'de Hamburg'da verdiği Matematiğin Temelleri konferansında, üçüncü hâlin olmazlığının matematikçinin vazgeçilmez aracı olduğunu savunur ve Brouwer'in reddine karşı çıkar. Anne Troelstra ile Dirk van Dalen ise 1988'de yayımladıkları Matematikte Yapıcılık kitabında, sezgici mantığın bu yasaya karşı tutumunu sistemli biçimde inceler ve yasanın hangi önermeler için geçerli kaldığını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: üçüncü hâlin olmazlığının mantığın tanımına ait olduğu, zayıf karşı örneklerin yalnızca bilgisizliğimizi gösterdiği ve yasayı bırakmanın matematiği sakatladığı itirazları.

Sonda, üçüncü hâlin olmazlığının bir önermeye uygulanıp uygulanamayacağını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: önermenin sonlu mu yoksa sonsuz bir alan hakkında mı olduğunu belirlemek, önermenin karar verilebilir olup olmadığını sormak, yasanın kullanılmasının bir eylemi mi yoksa yalnızca bir kanıtı mı desteklediğini belirlemek ve yasanın reddedilmediğini, yalnızca ileri sürülmediğini hatırlamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: sezgici mantık üçüncü hâlin olmazlığını neden genel bir yasa olarak kabul etmez ve bu yasa hangi durumlarda sezgici olarak da geçerlidir?

Ölçülü iddiam şu: sezgici mantık, üçüncü hâlin olmazlığını genel bir yasa olarak kabul etmez, çünkü kanıt yorumunda "ya A ya A değil" önermesini kanıtlamak, A'yı ya da onun olumsuzlamasını kanıtlamayı gerektirir ve bu, her A için mümkün değildir; ama sezgici mantık bu yasayı reddetmez de: "üçüncü hâlin olmazlığı yanlıştır" demek, sezgici mantıkta bir çelişkiye yol açar, bu yüzden yasanın hiçbir örneği çürütülemez; yasa, karar verilebilir önermeler için, yani doğru mu yanlış mı olduğunu belirlemenin sonlu bir yöntemi bulunan önermeler için, sezgici olarak da geçerlidir: sonlu bir katalogdaki nüshalar hakkındaki bir önerme, her nüshayı inceleyerek belirlenebilir; Brouwer'in gösterdiği gibi, yasanın sorun doğurduğu yer, sonsuz alanlardır: sonsuz bir diziye dair bir önerme, dizinin her terimi incelenemeyeceği için, karar verilebilir olmayabilir; Brouwer'in zayıf karşı örnekleri, yasanın yanlış olduğunu değil, cevabı bilinmeyen bir soruya dayanarak, yasanın bir örneğinin yapıcı olarak kanıtlanamadığını gösterir; Hilbert'in itirazı, yasanın matematik pratiği için ne kadar önemli olduğunu doğru vurgular; ve Troelstra ile van Dalen'in sistemli incelemesinin gösterdiği gibi, sezgici mantık, klasik matematiğin, karar verilebilir önermelerle sınırlı büyük bir kısmını korurken, yalnızca sonsuz ve karar verilemez alanlarda yasayı ileri sürmekten kaçınır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci üçüncü hâlin olmazlığı ilkesini ilk kez duyduğunda, çoğu zaman onu bir kesinlik olarak görür: bir şey ya öyledir ya değildir, üçüncü bir seçenek yoktur. Sezgici mantığın bu ilkeyi genel olarak kabul etmediğini duyduğunda ise, sezgicilerin bir şeyin hem öyle hem değil olabileceğini, ya da ne öyle ne değil olabileceğini savunduğunu düşünür. Bu, bir yanlış anlamadır.

Sezgici mantık, hiçbir önermenin hem doğru hem yanlış olduğunu söylemez; çelişmezlik ilkesini tamamen korur. Bir önermenin ne doğru ne yanlış olduğunu da söylemez; bu, bir önermenin hem olumsuzlamasının hem de olumsuzlamasının olumsuzlamasının kanıtlanması demek olurdu ve bir çelişkiye yol açardı. Sezgici mantığın söylediği şey daha incedir: her önerme için, onu ya da olumsuzlamasını kanıtlamanın bir yolunun bulunduğunu ileri sürmek için bir gerekçe yoktur.

Bu fark, sezgici mantığın bir sonucunda açıkça görülür. "Ya A ya A değil" önermesinin kendisini kanıtlamak, sezgici mantıkta her A için mümkün değildir. Ama bu önermenin olumsuzlamasının olumsuzlaması, yani "ya A ya A değil önermesi yanlış değildir", her A için sezgici olarak kanıtlanabilir. Sezgici mantık, üçüncü hâlin olmazlığını ileri sürmez, ama onun yanlış olduğunu da hiçbir zaman kabul etmez. Yasa, sezgici mantıkta, kanıtlanamayan ama çürütülemeyen bir ilkedir.

Görüşler ve pozisyonlar

Üçüncü hâlin olmazlığının statüsü konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, klasik görüştür. Buna göre üçüncü hâlin olmazlığı, her önerme için geçerli bir mantık yasasıdır. Bir önerme, kanıtlanıp kanıtlanamayacağından bağımsız olarak ya doğru ya yanlıştır ve bu yasa, bu olguyu dile getirir.

İkinci görüş, sezgici görüştür. Buna göre üçüncü hâlin olmazlığı, karar verilebilir önermeler için geçerlidir, ama genel bir yasa değildir. Karar verilemeyen önermeler için, yasayı ileri sürmek, bir kanıta sahip olmadan bir seçimin yapıldığını iddia etmek demektir. Yasa reddedilmez, ama ileri de sürülmez.

Üçüncü görüş, çoğulcu görüştür. Buna göre farklı alanlar farklı mantıklar gerektirir: klasik mantık, doğruluğun kanıtlanabilirlikten bağımsız olduğu alanlarda, sezgici mantık ise doğruluğun kanıtlanabilirlikle sıkı bağlı olduğu alanlarda uygundur. Üçüncü hâlin olmazlığı, birinci türden alanlarda geçerli, ikinci türden alanlarda ise geçersizdir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncü görüşün, farklı alanların farklı mantıklar gerektirebileceği gözlemini kabul eder. Birinci görüş, yasanın matematik pratiğindeki gücünü, Hilbert'in vurguladığı gibi, doğru görür, ama Kerem'in çürütülemezlik gözleminde görüleceği gibi, sezgici mantığın bu yasayı reddetmediğini, yalnızca ileri sürmediğini gözden kaçırır. İkinci görüş, Brouwer'in ve Troelstra ile van Dalen'in gösterdiği gibi, yasanın sorun doğurduğu yerin karar verilemeyen önermeler olduğunu belirler. Üçüncü görüş, Barış'ın hukuk örneğinde görüleceği gibi, bazı alanların, yasanın bir kanıt olmadan uygulanmasını, bir karar kuralı olarak gerektirebileceğini açıklar.

Argümanın yapısı

Üçüncü hâlin olmazlığının bir önermeye uygulanıp uygulanamayacağını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önermenin sonlu mu yoksa sonsuz bir alan hakkında mı olduğunu belirlemektir. Değerlendiren, önermenin konusunun, öğeleri tek tek incelenebilecek sonlu bir küme mi, yoksa bütün öğeleri incelenemeyecek sonsuz ya da belirsiz sınırlı bir toplam mı olduğunu sorar.

İkinci adım, önermenin karar verilebilir olup olmadığını sormaktır. Değerlendiren, önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu belirlemenin sonlu ve bilinen bir yöntemi bulunup bulunmadığını sorar.

Üçüncü adım, yasanın kullanılmasının bir eylemi mi yoksa yalnızca bir kanıtı mı desteklediğini belirlemektir. Değerlendiren, yasanın, bir kararın ya da bir eylemin gerekçesi olarak mı, yoksa bir kanıtın bir adımı olarak mı kullanıldığını ve iki seçeneğin farklı eylemler gerektirip gerektirmediğini sorar.

Dördüncü adım, yasanın reddedilmediğini, yalnızca ileri sürülmediğini hatırlamaktır. Değerlendiren, karar verilemeyen bir önerme için üçüncü hâlin olmazlığını ileri sürmekten kaçınırken, onun yanlış olduğunu da iddia etmediğini açıkça belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Dışlanmış üçüncüyü ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Sezgici mantık, üçüncü hâlin olmazlığını genel bir yasa olarak kabul etmez, çünkü kanıt yorumunda "ya A ya A değil" önermesini kanıtlamak, A'yı ya da onun olumsuzlamasını kanıtlamayı gerektirir ve bu her A için mümkün değildir; ama yasayı reddetmez de, çünkü yasanın herhangi bir örneğinin yanlış olduğunu söylemek bir çelişkiye yol açar. Yasa, karar verilebilir önermeler için, doğru mu yanlış mı olduğunu belirlemenin sonlu bir yöntemi bulunan önermeler için, sezgici olarak da geçerlidir; Brouwer'in gösterdiği gibi, sorun sonsuz alanlarda, karar verilemeyen sorularda ortaya çıkar. Brouwer'in zayıf karşı örnekleri, yasanın yanlış olduğunu değil, cevabı bilinmeyen sorular bulunduğu sürece yasanın her örneğinin bir kanıtla ileri sürülemeyeceğini gösterir. Hilbert'in itirazı, yasanın matematik pratiği için önemini doğru vurgular, ama Troelstra ile van Dalen'in gösterdiği gibi, sezgici mantık klasik matematiğin karar verilebilir kısmını büyük ölçüde korur. Hukuk gibi bazı alanlar ise yasayı bir doğruluk yasası olarak değil, bir eylem kuralı olarak kullanır.

Açık kalan sorular

Tolga'nın okunaksız sözcüğü, bir önermenin karar verilebilir olup olmadığının, onu belirlemek için ilkesel olarak bulunabilecek yöntemlere bağlı olduğunu gösterdi. Ama "ilkesel olarak bulunabilir" ifadesinin sınırı nedir? Henüz icat edilmemiş bir inceleme yöntemiyle belirlenebilecek bir önerme, bugün karar verilebilir midir?

Barış'ın zorunlu kararı, hukukun üçüncü hâlin olmazlığını bir eylem kuralı olarak kullandığını gösterdi. Bir eylem kuralı olarak yasa, bir doğruluk yasası olarak yasadan hangi noktalarda ayrılır? Bir karar kuralının, bir mantık yasası gibi görünmesi hangi yanılgılara yol açabilir?

Defne'nin iki sorusu, karşıolgusal soruların karar verilemez olabileceğini gösterdi. Karşıolgusal önermeler için sezgici mantık, klasik mantıktan daha uygun bir mantık mıdır? Zaman dersinde tartışılan geleceğe dair önermeler, bu açıdan karşıolgusal önermelere benzer mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Sezgici mantık üçüncü hâlin olmazlığını genel bir yasa olarak ileri sürmez, çünkü "ya A ya A değil" önermesini kanıtlamak her A için mümkün değildir; ama yasayı reddetmez de, çünkü yasanın herhangi bir örneğinin yanlış olduğunu söylemek bir çelişkiye yol açar.

Brouwer'in 1923 tarihli makalesi yasanın sonlu alanlarda güvenilir, sonsuz alanlarda ise karar verilemeyen sorular yüzünden güvenilmez olduğunu, Hilbert'in Hamburg konferansı yasanın klasik matematik pratiği için vazgeçilmez sayıldığını, Troelstra ile van Dalen'in Matematikte Yapıcılık kitabı ise yasanın karar verilebilir önermeler için sezgici olarak da geçerli kaldığını gösterdi.

Üçüncü hâlin olmazlığının bir önermeye uygulanıp uygulanamayacağı dört adımla değerlendirilir: önermenin sonlu mu sonsuz bir alan hakkında mı olduğunu belirlemek, karar verilebilir olup olmadığını sormak, yasanın bir eylemi mi bir kanıtı mı desteklediğini belirlemek ve yasanın reddedilmediğini, yalnızca ileri sürülmediğini hatırlamak.

Yasanın mantığın tanımına ait olduğu, zayıf karşı örneklerin yalnızca bilgisizlik olduğu ve yasayı bırakmanın matematiği sakatladığı itirazları, sezgici bağlaçların farklı anlamlar taşıdığını, sezgici mantığın tam da bu bilgi durumunun mantığı olduğunu ve karar verilebilir önermelerle sınırlı matematiğin büyük ölçüde korunduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir şeyin ya öyle ya değil olduğunu söylemek, bir kesinliği ileri sürmek değil, önce onun belirlenebilir olup olmadığını sormak, belirlenebilirse yöntemi göstermek, belirlenemezse onu bir kanıt gibi değil, bir tahmin ya da bir karar kuralı olarak sunmaktır.

Sonraki derse köprü

Karşı itirazlardan biri, üçüncü hâlin olmazlığının "değil" ve "ya da" sözcüklerinin anlamından çıktığını söylüyordu ve cevap, sezgici mantığın bu sözcüklere farklı anlamlar verdiğini hatırlatıyordu. Kerem, hangi anlamın doğru olduğu sorusunun nasıl cevaplanabileceğini soruyor: bir önermenin anlamı, onun doğru olduğu koşullarla mı, yoksa onu kanıtlamanın koşullarıyla mı verilirdi?

Selin, bir matematik önermesinin anlamını öğrenmenin, onun doğruluk koşullarını değil, onu kanıtlamayı ya da çürütmeyi öğrenmek olduğunu düşünüyor: bir öğrenci, bir teoremin ne dediğini, onun kanıtını izleyerek anlıyordu. Tolga, bu görüşün, kanıtlanamayan önermelerin anlamsız olduğu sonucuna götürüp götürmediğini soruyor. Lina, bir sözcüğün anlamını öğrenirken, onun doğru olduğu durumları mı, yoksa onu kullanmanın kurallarını mı öğrendiğini merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Matematiksel anlam dersi, bir matematik önermesinin anlamının onun doğruluk koşullarıyla mı yoksa kanıtlanma koşullarıyla mı verildiğini, sezgiciliğin anlam kuramının klasik mantığa yönelttiği argümanı ve bu argümanın matematik dışındaki önermelere uzanıp uzanmadığını soruyor.