Bulanık kümeler

Açılış sahnesi

Kerem, raporun ekindeki kırk kenar notunu bir çizelgeye yeniden diziyor, ama bu kez "evet", "hayır" ve soru işareti yerine her not için bir sayı yazıyor. Yazısı düzelticinin eline tamamen uyan bir not için bir; hiç uymayan bir not için sıfır; ikisi arasındakiler için, ne kadar uyduğuna göre, onda sekiz, onda altı, onda üç. Kerem, bu sayılarla "düzelticinin notları" diye bir küme kurduğunu fark ediyor: ama bu, bir notun ya içinde ya dışında olduğu olağan bir küme değildi. Bir not, bu kümeye kısmen ait olabiliyordu. Kerem, bu tür bir kümenin nasıl işleyeceğini, özellikle iki kümenin kesişiminin, birleşiminin ve bir kümenin tümleyeninin nasıl hesaplanacağını soruyor.

Tolga, bir notun "düzelticinin notları" kümesine onda sekiz, "koyu mürekkepli notlar" kümesine onda altı ölçüsünde üye olduğunu ve ikisinin kesişimine ne ölçüde üye olacağının açık olmadığını söylüyor. Selin, bir notun "düzelticinin notları" kümesine ve onun tümleyenine aynı anda kısmen üye olabileceğini ve bunun çelişmezlik ilkesiyle nasıl bağdaşacağını soruyor. Defne, hastanesinde bulanık bir tanı sisteminin kullanıldığını, ama sistemin sonunda yine bir eşikle karar verdiğini anlatıyor. Lina, müzedeki bir şiir derlemesinin, iki ayrı türün ikisine de tam uymadığı hâlde, bu iki türün birleşiminin tipik bir örneği olduğunu fark ediyor. Barış ise bir hukuk kavramının kısmi üyeliğe izin verip veremeyeceğini merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, bir nesnenin bir kümeye kısmen ait olabildiği bulanık küme kuramını, üyelik derecelerinin ve kesişim, birleşim ve tümleme işlemlerinin bu kuramda nasıl tanımlandığını ve bu kuramın belirsiz sözcüklerin mantığı için ne kadar uygun olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Doğruluk derecesi dersi, bir cümlenin sıfır ile bir arasında bir derecede doğru olabildiği sonsuz değerli mantıkları tanıttı; Belirsizlik dersi ise bu derece yaklaşımını yığın paradoksuna verilen cevaplardan biri olarak ele aldı ve Keefe'nin, derece kuramlarının belirsizliği yapay bir kesinlikle değiştirdiği itirazını gösterdi. Programın yüklemler mantığı kursunda da bir yüklemin bir nesneye ya uyduğu ya uymadığı olağan bir yorum incelenmişti. Bu ders, derece yaklaşımının küme kuramındaki biçimini, bulanık kümeleri, tanıtıyor: üyeliğin derecelendirilmesini, küme işlemlerinin nasıl tanımlandığını ve bu kuramın, belirsiz sözcükler ve kavramlar için bir model olarak başarısını ve sınırlarını inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Lotfi Zadeh, 1965'te Information and Control dergisinde yayımladığı Bulanık Kümeler makalesinde, bir nesnenin bir kümeye sıfır ile bir arasında bir derecede ait olabildiği kümeleri ve bu kümeler üzerindeki işlemleri tanımlar. Joseph Goguen, 1969'da Synthese'de yayımladığı Kesin Olmayan Kavramların Mantığı makalesinde, bulanık kümeleri belirsiz kavramların mantığına uygular ve yığın paradoksunun bu çerçevede nasıl çözülebileceğini gösterir. Daniel Osherson ile Edward Smith ise 1981'de Cognition'da yayımladıkları makalede, bulanık küme kuramının kavramların birleşimini açıklamakta başarısız olduğunu gösteren örnekler kurar.

Ardından üç itirazı tartacağız: üyelik derecelerinin keyfi olduğu, bulanık mantığın çelişmezlik ve üçüncü hâlin olmazlığı ilkelerini bozduğu için kullanılamayacağı ve bulanık küme kuramının kavramların bileşimini açıklayamadığı itirazları.

Sonda, bir bulanık modeli değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: üyelik derecelerinin neye dayandığını yazmak, kesişim ve birleşim için hangi işlemin seçildiğini ve neden seçildiğini belirtmek, bileşik kavramlar için modelin sezgiyle uyuşup uyuşmadığını sınamak ve bir karar gerektiğinde keskinleştirmenin nerede yapıldığını bildirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir nesne bir kümeye kısmen ait olabilir mi ve bulanık küme kuramı, belirsiz kavramların mantığı için yeterli bir model midir?

Ölçülü iddiam şu: Zadeh'in tanımladığı biçimiyle, bir bulanık küme, her nesneye sıfır ile bir arasında bir üyelik derecesi veren bir işlevle belirlenir; olağan kümeler, üyelik derecelerinin yalnızca sıfır ve bir olduğu özel bir durumdur; Zadeh'in önerdiği işlemlerde, iki kümenin kesişimine üyelik, iki üyelik derecesinin küçüğü, birleşime üyelik büyüğü, tümleyene üyelik ise birden üyelik derecesinin çıkarılmasıyla elde edilir; bu kuram, belirsiz sözcüklerin sınır vakalarını, kısmi üyelik olarak doğal bir biçimde temsil eder ve Goguen'in gösterdiği gibi, yığın paradoksunu, her adımda doğruluktan küçük bir miktar yitirilmesiyle açıklar; ama kuram üç güçlükle karşılaşır: üyelik dereceleri çoğu zaman bir ölçüme dayanmaz ve Keefe'nin yapay kesinlik itirazına açıktır; kesişim ve birleşim için tek bir doğru işlem yoktur ve farklı işlemler farklı sonuçlar verir; ve Osherson ile Smith'in gösterdiği gibi, bileşik kavramlara üyelik, bileşenlere üyeliklerden bu işlemlerle hesaplanamayabilir; bu yüzden bulanık küme kuramı, belirsizliğin bazı yönlerini, özellikle bir ölçüme dayanan derecelenmeleri, iyi modeller, ama belirsiz kavramların mantığının tamamı değildir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir kümeyi düşündüğünde, çoğu zaman her nesnenin ya içinde ya dışında olduğu bir torba gibi düşünür. Yüklemler mantığında bir yüklemin yorumu da böyle bir kümeydi: bir nesne ya yüklemi doyuruyordu ya doyurmuyordu. Bu resim, keskin sınırlı kavramlar için uygundur, ama belirsiz kavramlar için değildir: bir kenar notu "düzelticinin notları" kümesinin içinde mi dışında mı, sınır vakalarında belirsizdir.

Bulanık küme kuramı, bu resmi değiştirir. Bir küme, bir torba değil, bir üyelik işlevidir: her nesneye, o kümeye ne ölçüde ait olduğunu gösteren, sıfır ile bir arasında bir sayı verir. Bir nesne, sıfır dereceyle kümenin tamamen dışında, bir dereceyle tamamen içinde, aradaki bir dereceyle kısmen içindedir. Olağan kümeler, bu kuramın, bütün derecelerin sıfır ya da bir olduğu özel bir durumudur.

Bu değişiklik, küme işlemlerinin de yeniden tanımlanmasını gerektirir. Olağan kümelerde, bir nesne iki kümenin kesişimindeyse ikisinde de, birleşimindeyse en az birindedir. Bulanık kümelerde, bir nesnenin kesişime ve birleşime ne ölçüde üye olduğu, iki kümeye üyelik derecelerinden hesaplanmalıdır. Bu hesabın nasıl yapılacağı, kuramın en tartışmalı kısmıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Bulanık küme kuramının belirsiz kavramlar için bir model olarak değeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, uygun model görüşüdür. Buna göre bulanık küme kuramı, belirsiz kavramların doğru modelidir. Belirsiz bir kavramın uygulanması gerçekten bir derece meselesidir ve bulanık kümeler bu dereceleri doğrudan temsil eder. Yığın paradoksu, derecelerin azar azar azalmasıyla çözülür.

İkinci görüş, mühendislik aracı görüşüdür. Buna göre bulanık küme kuramı, kavramların bir modeli değil, belirsiz bilgiyle çalışan denetim ve karar sistemleri için kullanışlı bir araçtır. Üyelik dereceleri, bir sistemin davranışını ayarlamak için seçilen parametrelerdir; belirsiz kavramların gerçek yapısı hakkında bir iddiada bulunmazlar.

Üçüncü görüş, kısmi model görüşüdür. Buna göre bulanık küme kuramı, belirsizliğin bazı yönlerini, özellikle bir ölçüme dayanan derecelenmeleri, iyi modeller, ama kavramların bileşimi ve üst belirsizlik gibi başka yönlerini yakalayamaz. Kuram, belirsiz kavramların mantığının bir parçasıdır, tamamı değildir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün, kuramın uygulamalardaki başarısını doğru açıkladığını kabul eder. Birinci görüş, Goguen'in yığın paradoksu çözümünde görüleceği gibi, kuramın açıklayıcı gücünü doğru görür, ama Osherson ile Smith'in bileşik kavram örneklerini ve Keefe'nin yapay kesinlik itirazını karşılayamaz. İkinci görüş, Defne'nin bulanık tanı sisteminde görüleceği gibi, kuramın bir araç olarak değerini doğru yakalar, ama derecelerin bazen gerçek bir ölçüme dayandığını, örneğin Lina'nın çevirisindeki doğru cümlelerin oranında, gözden kaçırır. Üçüncü görüş, kuramın hangi durumlarda bir model, hangi durumlarda bir araç olduğunu ayırmayı sağlar.

Argümanın yapısı

Bir bulanık modeli değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, üyelik derecelerinin neye dayandığını yazmaktır. Değerlendiren, her derecenin bir ölçümden, bir orandan, bir benzerlik karşılaştırmasından ya da bir tahminden gelip gelmediğini belirtir.

İkinci adım, kesişim ve birleşim için hangi işlemin seçildiğini ve neden seçildiğini belirtmektir. Değerlendiren, küçüğü alan işlemi mi, çarpımı mı, yoksa başka bir işlemi mi kullandığını ve bu seçimin kavramlar arasındaki hangi ilişki varsayımına dayandığını yazar.

Üçüncü adım, bileşik kavramlar için modelin sezgiyle uyuşup uyuşmadığını sınamaktır. Değerlendiren, bir bileşik kavramın tipik bir örneğini alır ve modelin, bileşenlere üyeliklerden hesapladığı üyelik derecesinin, bu örneğin bileşik kavrama sezgisel üyeliğiyle uyuşup uyuşmadığını sorar.

Dördüncü adım, bir karar gerektiğinde keskinleştirmenin nerede yapıldığını bildirmektir. Değerlendiren, bulanık bir sonuçtan bir karara geçerken hangi eşiğin kullanıldığını ve bu eşiğin neden seçildiğini açıkça yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Bulanık kümeleri ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Zadeh'in tanımladığı biçimiyle, bir bulanık küme, her nesneye sıfır ile bir arasında bir üyelik derecesi veren bir işlevle belirlenir ve kesişim, birleşim ve tümleme, üyelik dereceleri üzerinden tanımlanır; olağan kümeler, bu kuramın özel bir durumudur. Goguen'in gösterdiği gibi, bu kuram belirsiz kavramlara uygulanabilir ve yığın paradoksunu, doğruluğun zincir boyunca azar azar yitirilmesiyle açıklar. Ama kuram üç güçlükle karşılaşır: tahmine dayanan üyelik dereceleri yapay bir kesinlik taşır; kesişim ve birleşim için tek bir doğru işlem yoktur ve işlemin seçimi kavramlar arasındaki ilişkiye dair bir varsayım taşır; ve Osherson ile Smith'in gösterdiği gibi, bileşik kavramlara üyelik bileşenlerden hesaplanamayabilir. Bu yüzden bulanık küme kuramı, ölçüme dayanan derecelenmeleri iyi modelleyen ve karar sistemlerinde yararlı bir araçtır; ama belirsiz kavramların mantığının tamamı değildir ve bir karar gerektiğinde, keskinleştirme yine bir yerde yapılmak zorundadır.

Açık kalan sorular

Tolga'nın iki kesişimi, kesişim işleminin seçiminin kavramlar arasındaki ilişkiye dair bir varsayım taşıdığını gösterdi. Bu varsayım, iki kavramın bağımsız olup olmadığına dair, olasılık kuramındaki bağımsızlık kavramıyla nasıl ilişkilidir? Bulanık kesişim ile olasılıksal kesişim aynı soruya mı cevap verir?

Osherson ile Smith'in evcil balığı, tipiklik ile üyeliğin ayrılması gerektiğini düşündürdü. Ama belirsiz bir kavramda, örneğin "uzun" kavramında, tipiklik ile üyelik ayrılabilir mi? Tipik olmayan ama tamamen uzun biri, tipik ama kısmen uzun birinden nasıl ayrılır?

Barış'ın ikili hukuku, hukuki sonuçların keskin olduğunu, ama değerlendirmenin bulanık olabileceğini gösterdi. Bir karar sürecinde bulanık değerlendirmenin keskin sonuca dönüştüğü eşik, bir kuralla mı yoksa her durumda yeniden mi belirlenmelidir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir bulanık küme, her nesneye sıfır ile bir arasında bir üyelik derecesi veren bir işlevle belirlenir; kesişim, birleşim ve tümleme üyelik dereceleri üzerinden tanımlanır ve olağan kümeler bu kuramın özel bir durumudur.

Zadeh'in Bulanık Kümeler makalesi bir nesnenin bir kümeye kısmen ait olabileceği düşüncesini kesin bir biçime soktuğunu, Goguen'in Kesin Olmayan Kavramların Mantığı makalesi yığın paradoksunun doğruluğun azar azar yitirilmesiyle açıklanabileceğini, Osherson ile Smith'in makalesi ise bileşik kavramlara üyeliğin bileşenlerden hesaplanamayabileceğini gösterdi.

Bir bulanık model dört adımla değerlendirilir: üyelik derecelerinin neye dayandığını yazmak, kesişim ve birleşim işlemlerinin seçimini ve gerekçesini belirtmek, bileşik kavramlar için modeli sezgiyle sınamak ve bir karar gerektiğinde keskinleştirmenin nerede yapıldığını bildirmek.

Üyelik derecelerinin keyfi olduğu, klasik ilkelerin bozulduğu ve kuramın bileşimi açıklayamadığı itirazları, ölçüme dayanan derecelerin keyfi olmadığını, klasik ilkelerin yalnızca sınır vakalarında bozulduğunu ve bileşim sorununun tipiklik ile üyelik ayrılınca hafiflediğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir şeyin bir kümeye kısmen ait olduğunu söylemek, ona bir sayı vermekle bitmez; o sayının neye dayandığını, onu başka sayılarla hangi varsayımla birleştirdiğini ve bir karar verirken hangi eşikte onu yeniden keskinleştirdiğini belirtmeyi gerektirir.

Sonraki derse köprü

Modül boyunca grup, doğru ve yanlış dışında değerler kullanmıştı: Kleene'nin belirlenmemiş değerini, Bochvar'ın anlamsız değerini, süperdeğerlemenin boşluklarını ve bulanık kümelerin üyelik derecelerini. Kerem, bu değerlerin gerçekte neyi temsil ettiğini soruyor: bir notun "düzelticinin notları" kümesine onda sekiz ölçüsünde üye olması, onun düzelticinin notu olma olasılığının onda sekiz olması mıydı, yoksa grubun bilgisinin bir ölçüsü mü, yoksa notun kendisinin bir özelliği mi?

Selin, bu değerlerin olasılıktan farklı davrandığını hatırlatıyor: iki bağımsız olayın birlikte olma olasılığı çarpımla hesaplanıyordu, ama bulanık kesişim çoğu zaman küçüğü alıyordu. Tolga, çok değerli mantıkların klasik mantığın bir rakibi mi, yoksa onu genişleten bir mantık mı olduğunu soruyor: klasik mantığı reddediyorlar mıydı, yoksa onun geçerli olmadığı alanlarda mı çalışıyorlardı? Defne, bir hekimin bir tanıya olasılık mı yoksa doğruluk derecesi mi verdiğini hiçbir zaman ayırt etmediğini fark ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Felsefi yorum dersi, çok değerli ve bulanık mantıkların değerlerinin neyi temsil ettiğini, doğruluk derecesinin olasılıktan ve bilgi eksikliğinden nasıl ayrıldığını ve bu mantıkların klasik mantığın bir rakibi mi yoksa bir uzantısı mı olduğunu soruyor.