Doğruluk derecesi

Açılış sahnesi

Kerem, raporun ekindeki büyük tabloyu açıyor. Satırlarda katalogdaki nüshalar, sütunlarda grubun sorduğu sorular vardı: kenar notu taşıyor mu, atölyenin kâğıdına mı yazılmış, müstensihin elinden mi çıkmış? Hücrelerin çoğunda "evet" ya da "hayır" yazıyordu. Ama bazı hücrelerde üçüncü bir işaret vardı: bir soru işareti. Grup, bu nüshaların bazılarını görememişti; bazıları için soru, eldeki bilgiyle cevaplanamıyordu. Kerem, raporun sonuçlarını bu tablodan çıkarırken, soru işaretli hücrelerin "evet" ve "hayır" ile nasıl birleştirileceğini bilmediğini fark ediyor: "kenar notu taşıyor ve atölyenin kâğıdına yazılmış" sorusu, birinci hücre "evet", ikincisi soru işaretiyse, ne cevap almalıydı?

Selin, bazı soruların cevapsız değil, anlamsız olduğunu, örneğin bir kartın üzerine "bu kartın üzerindeki cümle yanlıştır" yazıldığında, cümlenin ne doğru ne yanlış olabileceğini söylüyor. Tolga, doğru ve yanlış dışında bir değer kabul edilirse, hangi çıkarımların hâlâ geçerli kalacağını soruyor. Barış, bir mahkemenin "suçlu", "suçsuz" ve "kanıtlanamadı" arasında seçim yapmak zorunda kaldığını, ama üçüncüsünün kararda ikincisi gibi işlediğini hatırlatıyor. Defne, bir laboratuvar testinin sonucunun bazen "pozitif" ya da "negatif" değil, "belirsiz" çıktığını anlatıyor. Lina ise kendi çevirisinin "büyük ölçüde doğru" olduğunu, ama bir cümlenin kısmen doğru olmasının ne anlama geldiğini bilmediğini söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Olmayan Mantıklar kursunda, bir cümlenin doğru ve yanlıştan başka değerler alıp alamayacağını, üç değerli ve çok değerli mantıkların nasıl kurulduğunu ve bir cümlenin kısmen doğru olmasının ne anlama geldiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Modal ve Yoğun Mantıklar kursu, klasik mantığa kip işleçleri ekledi, ama klasik mantığın temel ilkelerini, özellikle her cümlenin doğru ya da yanlış olduğunu söyleyen iki değerlilik ilkesini, büyük ölçüde korudu. Zamansal ve Zaman derslerinde, geleceğe dair olumsal cümleler için bu ilkenin bırakılabileceği görülmüştü. Programın önermeler mantığı kursunda ise Łukasiewicz'in, gelecekteki olumsallar yüzünden önerdiği üç değerli mantık tanıtılmış ve üçüncü hâlin olmazlığı ilkesinin bu mantıkta her durumda doğru olmadığı gösterilmişti. Bu ders, klasik olmayan mantıklar kursunu açarak, iki değerlilikten vazgeçmenin farklı nedenlerini, üçüncü değerin farklı yorumlarını, bu yorumların bağlaçların tablolarını nasıl değiştirdiğini ve değerlerin sayısı arttıkça ne olduğunu inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Stephen Kleene, 1952'de yayımladığı Üst Matematiğe Giriş kitabının üç değerli mantığa ayrılan kesiminde, bir hesaplamanın sonuç vermediği durumlar için "tanımsız" diye yorumlanan bir üçüncü değerle çalışan bir mantık kurar. Dmitri Bochvar, 1938'de yayımladığı makalesinde, anlamsız ya da paradoks doğuran cümleler için, bulaştığı her bileşik cümleyi de anlamsız kılan bir üçüncü değer önerir. Nicholas Rescher ise 1969'da yayımladığı Çok Değerli Mantık kitabında, üç değerli, sonlu sayıda değerli ve sonsuz değerli mantıkları sistemli biçimde karşılaştırır ve farklı yorumların farklı sistemler doğurduğunu gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: üçüncü değerin gerçek bir doğruluk değeri değil, bilgisizliğin bir ifadesi olduğu, çok değerli mantıkların klasik mantığın temel yasalarını bozduğu için kullanılamayacağı ve doğruluk derecelerinin keyfi sayılar olduğu itirazları.

Sonda, bir cümleye klasik olmayan bir değer vermeyi değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: üçüncü değerin neyi temsil ettiğini belirlemek, bu yoruma uygun bağlaç tablolarını seçmek, hangi değerlerin kabul edilir sayılacağını yazmak ve hangi klasik çıkarımların korunduğunu denetlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir cümle doğru ve yanlıştan başka bir değer alabilir mi ve alabiliyorsa, bu değer bağlaçlarla ve çıkarımlarla nasıl birleşir?

Ölçülü iddiam şu: iki değerlilikten vazgeçmenin tek bir nedeni yoktur ve farklı nedenler, üçüncü değere farklı yorumlar ve bu yüzden farklı mantıklar verir; Kleene'nin yorumunda üçüncü değer "henüz belirlenmemiş" demektir ve bir bileşik cümlenin değeri, eksik bileşenin hangi değeri alacağından bağımsız olarak belirlenebiliyorsa belirlenir: "hem A hem B" cümlesi, A yanlışsa, B belirsiz olsa bile yanlıştır; Bochvar'ın yorumunda üçüncü değer "anlamsız" demektir ve bulaşıcıdır: anlamsız bir bileşen taşıyan her bileşik cümle anlamsızdır; bu iki yorum, aynı üç değer üzerinde farklı bağlaç tabloları verir ve farklı çıkarımları geçerli sayar; bir çok değerli mantıkta bir çıkarımın geçerli olması, kabul edilir sayılan değerleri, seçkin değerleri, korumasıdır ve hangi değerlerin seçkin sayıldığı mantığın karakterini belirler; Rescher'in karşılaştırmasının gösterdiği gibi, değerlerin sayısı arttırılabilir, sonsuz sayıda doğruluk derecesi tanımlanabilir ve bir cümlenin kısmen doğru olması, bu derecelerden birini alması olarak anlaşılabilir; ama bu derecelerin neyi ölçtüğü, bir olasılık mı, bir yakınlık mı, yoksa bir sınır belirsizliği mi, her uygulamada ayrıca belirtilmelidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir cümlenin "ne doğru ne yanlış" olabileceğini düşündüğünde, çoğu zaman o cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu bilmediğini kasteder. Bu durumda cümlenin kendisi bir değer taşır, yalnızca bu değer bilinmez. Klasik olmayan mantıklar, daha güçlü bir iddiada bulunur: bazı cümleler, bilinip bilinmemesinden bağımsız olarak, doğru ya da yanlış değildir.

Bu iddianın farklı gerekçeleri vardır. Zamansal dersinde görülen gerekçe, geleceğe dair olumsal cümlelerin henüz belirlenmemiş olmasıydı. Bir başka gerekçe, bir hesaplamanın ya da bir tanımın bazı durumlarda sonuç vermemesidir: bir tanım, belirli nesneler için bir cevap üretmiyorsa, o nesneler hakkındaki cümle tanımsız kalır. Üçüncü bir gerekçe, bazı cümlelerin anlamsız olmasıdır: kendi yanlışlığını söyleyen bir cümle, doğru olsa yanlış, yanlış olsa doğru olur ve iki değerden hiçbirini tutarlı biçimde alamaz. Dördüncü bir gerekçe, sınırı keskin olmayan sözcüklerdir; bir sonraki derste ele alınacaktır.

Her gerekçe, üçüncü değere farklı bir anlam verir ve bu anlam, bağlaçların nasıl işleyeceğini belirler. Üçüncü değer "henüz belirlenmemiş" demekse, bileşik bir cümlenin değeri, belirlenmemiş bileşen hangi değeri alırsa alsın aynı kalacaksa belirlenebilir. Üçüncü değer "anlamsız" demekse, anlamsız bir parça taşıyan bir bütün de anlamsız kalır. İki yorum, aynı üç değerle, farklı tablolar kurar.

Görüşler ve pozisyonlar

Üçüncü bir değerin ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, boşluk görüşüdür. Buna göre üçüncü değer gerçek bir doğruluk değeri değil, bir değerin yokluğudur. Bazı cümleler doğruluk değeri taşımaz ve üçüncü "değer", bu boşluğu tablolarda göstermenin bir yoludur. Kleene'nin "tanımsız" yorumu ve Thomason'ın süperdeğerlemesi bu görüşe yakındır.

İkinci görüş, üçüncü değer görüşüdür. Buna göre doğru ve yanlış dışında gerçek bir üçüncü değer vardır; örneğin Łukasiewicz'in "olanaklı" değeri ya da Bochvar'ın "anlamsız" değeri. Bu değer, doğru ve yanlış kadar gerçek bir durumu bildirir.

Üçüncü görüş, derece görüşüdür. Buna göre doğruluk, iki ya da üç değerle sınırlı değildir; bir cümle, sıfır ile bir arasındaki herhangi bir derecede doğru olabilir. Doğru ve yanlış, bu sürekli ölçeğin iki ucudur.

Bu ders, üç görüşün farklı durumlar için uygun olduğunu savunuyor ve birini ötekilerin yerine koymuyor. Birinci görüş, Kerem'in soru işaretlerinde ve Defne'nin belirsiz testinde görüldüğü gibi, eksik bilgi ya da henüz belirlenmemiş durumlar için uygundur. İkinci görüş, Selin'in paradoks kartında görüleceği gibi, bir cümlenin kendisinin kusurlu olduğu durumlar için uygundur. Üçüncü görüş, Lina'nın kısmen doğru çevirisinde görüleceği gibi, bir cümlenin bir ölçüye göre az ya da çok doğru olduğu durumlar için uygundur. Hata, bir durumun yorumunu başka bir durumun tablosuyla hesaplamaktır.

Argümanın yapısı

Bir cümleye klasik olmayan bir değer vermeyi değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, üçüncü değerin neyi temsil ettiğini belirlemektir. Değerlendiren, değerin henüz belirlenmemiş bir durumu mu, bir anlamsızlığı mı, yoksa bir derecelenmeyi mi bildirdiğini sorar.

İkinci adım, bu yoruma uygun bağlaç tablolarını seçmektir. Değerlendiren, belirlenmemiş durumlar için güçlü Kleene tablolarını, anlamsızlık için Bochvar'ın bulaşıcı tablolarını, derecelenme için sürekli bir ölçekte tanımlanan tabloları kullanır.

Üçüncü adım, hangi değerlerin kabul edilir sayılacağını yazmaktır. Değerlendiren, bir çıkarımın geçerli sayılması için öncüllerin ve sonucun hangi değerleri alması gerektiğini, yani seçkin değerleri, açıkça belirler.

Dördüncü adım, hangi klasik çıkarımların korunduğunu denetlemektir. Değerlendiren, seçilen tablolar ve seçkin değerlerle, koyma kipi gibi temel çıkarımların ve üçüncü hâlin olmazlığı gibi temel yasaların geçerli kalıp kalmadığını sınar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Doğruluk derecesini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İki değerlilikten vazgeçmenin tek bir nedeni yoktur ve farklı nedenler, üçüncü değere farklı yorumlar, bu yüzden farklı mantıklar verir. Kleene'nin yorumunda üçüncü değer "henüz belirlenmemiş" demektir ve güçlü Kleene tabloları, bir bileşik cümlenin değerini, eksik bilginin tamamlanmasından bağımsız olduğu ölçüde belirler; Bochvar'ın yorumunda üçüncü değer "anlamsız" demektir ve bulaşıcıdır. Bir çok değerli mantıkta bir çıkarımın geçerli olması, seçkin değerleri korumasıdır ve hangi değerlerin seçkin sayıldığı mantığın karakterini belirler; bu mantıklarda klasik yasaların bir kısmı kaybolur, ama temel çıkarımların büyük kısmı korunur. Rescher'in karşılaştırmasının gösterdiği gibi, değerlerin sayısı sonsuza kadar arttırılabilir ve bir cümlenin kısmen doğru olması, bir derece almak olarak anlaşılabilir; ama bu derecenin bir oran mı, bir yakınlık mı, yoksa bir sınır belirsizliği mi ölçtüğü her uygulamada belirtilmelidir.

Açık kalan sorular

Selin'in paradoks kartı, Bochvar'ın bulaşıcı değerinin kendi yanlışlığını söyleyen bir cümleye uygun olduğunu düşündürdü. Ama "bu cümle ya yanlıştır ya da anlamsızdır" gibi bir cümle, Bochvar'ın mantığında hangi değeri alır? Paradoks, üçüncü bir değerle gerçekten çözülür mü, yoksa yeni bir biçimde yeniden mi ortaya çıkar?

Barış'ın üç kararı, seçkin değer kararının bir eylem kuralı olduğunu, bir doğruluk yargısı olmadığını gösterdi. Bir çok değerli mantıkta seçkin değerlerin seçimi, her zaman bir amaca, bir eylem kuralına mı bağlıdır? Mantığın kendisi, hangi değerlerin seçkin olması gerektiğini söyleyebilir mi?

Lina'nın kısmen doğru çevirisi, bir oran ile bir yakınlığın iki farklı derecelenme olduğunu gösterdi. Bu iki derecelenme, aynı çok değerli mantıkla mı temsil edilmelidir, yoksa her biri kendi bağlaç tablolarını mı gerektirir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İki değerlilikten vazgeçmenin tek bir nedeni yoktur ve farklı nedenler, henüz belirlenmemişlik, anlamsızlık ve derecelenme, üçüncü değere farklı yorumlar, bu yüzden farklı mantıklar verir.

Kleene'nin Üst Matematiğe Giriş kitabı üçüncü değerin "henüz belirlenmemiş" olarak yorumlanabileceğini ve güçlü Kleene tablolarını, Bochvar'ın makalesi üçüncü değerin "anlamsız" ve bulaşıcı olarak yorumlanabileceğini, Rescher'in Çok Değerli Mantık kitabı ise çok değerli mantıkların sistemli bir aile oluşturduğunu ve seçkin değerlerin seçiminin bir mantığın karakterini belirlediğini gösterdi.

Bir cümleye klasik olmayan bir değer vermek dört adımla değerlendirilir: üçüncü değerin neyi temsil ettiğini belirlemek, bu yoruma uygun tabloları seçmek, seçkin değerleri yazmak ve hangi klasik çıkarımların korunduğunu denetlemek.

Üçüncü değerin bilgisizlik olduğu, çok değerli mantıkların temel yasaları bozduğu ve derecelerin keyfi olduğu itirazları, bazı üçüncü değerlerin bir bilgi eksikliği değil bir kusur bildirdiğini, temel çıkarımların büyük kısmının korunduğunu ve derecelerin neyi ölçtükleri belirtildiğinde sınanabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir cümlenin ne doğru ne yanlış olduğunu söylemek, bir bilgisizliği itiraf etmek değil, bu durumun bir bilgi eksikliği mi, bir anlamsızlık mı, yoksa bir derecelenme mi olduğunu belirleyip ona uygun bir mantıkla akıl yürütmektir.

Sonraki derse köprü

Lina'nın kısmen doğru çevirisi, bir cümlenin bir yakınlık ölçüsüne göre kısmen doğru olabileceğini göstermişti. Kerem, bu tür kısmi doğrulukların, sınırı keskin olmayan sözcüklerde çok daha sık ortaya çıktığını fark ediyor. Raporda "kenar notlarının çoğu düzelticinin elindendir" yazıyordu; ama "çoğu" kaç nottu? Kırk notun yirmi birinin düzelticinin elinden olması "çoğu" muydu, yoksa otuzunun mu olması gerekiyordu?

Tolga, bir notun çıkarılmasının "çoğu" cümlesini doğrudan yanlışa çeviremeyeceğini, ama notlar birer birer çıkarıldığında bir noktada cümlenin yanlış olması gerektiğini söylüyor; bu nokta nerede, bilmiyordu. Defne, bir hastanın "ateşli" sayılması için vücut sıcaklığının hangi değeri geçmesi gerektiğinin bir anlaşma meselesi olduğunu, ama bir derecenin onda birinin bir hastayı ateşliden ateşsize çevirmesinin tuhaf olduğunu hatırlatıyor. Barış, hukukta "makul süre" gibi ifadelerin sınırlarının hiçbir zaman kesin olarak çizilemediğini söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Belirsizlik dersi, "kel", "uzun" ya da "çoğu" gibi sınırları keskin olmayan sözcüklerin mantığını, bu sözcüklerin doğurduğu yığın paradoksunu ve bu paradoksa çok değerli mantığın, süperdeğerlemenin ve bilgi kuramsal görüşün verdiği cevapları soruyor.