S4 ve S5

Açılış sahnesi

Kerem, grubun şimdiye kadar çizdiği bütün çerçeveleri yan yana koyuyor: Selin'in zaman okları, Tolga'nın bir günlük olanağı, Barış'ın yasa çerçevesi, Defne'nin hasta seyri ve Lina'nın bilgi daireleri. Her birinin altına, oklarının hangi özellikleri taşıdığını yazıyor: yansımalı mı, geçişli mi, simetrik mi. Sonra her birinin altına, hangi kip ilkelerinin geçerli olduğunu ekliyor. İki sütun birbirini izliyordu. Kerem, yansımalı ve geçişli çerçevelerin hep aynı ilkeler kümesini taşıdığını, simetri eklendiğinde bu kümenin daha da büyüdüğünü fark ediyor. Bu kümelerin birer adı var mıydı?

Selin, zaman çerçevesinde "şu an olanaklı olan, zorunlu olarak olanaklıdır" ilkesinin bozulduğunu gösteriyor. Tolga, "zorunlu olarak olanaklı olarak zorunlu" gibi uzun kip dizilerinin bazı çerçevelerde tek bir sözcüğe indirgenebildiğini, bazılarında indirgenemediğini söylüyor. Barış, yasal zorunluluğun bu kümelerin hiçbirine girmediğini hatırlatıyor. Defne, bir tıbbi bulgunun "kanıtlanmış" sayılmasının hangi ilkeleri taşıdığını soruyor. Lina ise mantıksal olanağın, her dünyadan bakıldığında aynı kalıp kalmadığını merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Modal ve Yoğun Mantıklar kursunda, yansımalı ve geçişli çerçevelere karşılık gelen kip sistemini, simetrinin de eklendiği çerçevelere karşılık gelen daha güçlü sistemi, bu iki sistemin hangi ilkelerle ayrıldığını ve farklı zorunluluk türlerinin hangi sisteme uyduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Kripke çerçevesi dersi, bir kip ilkesinin bir çerçevede geçerli olmasının, o çerçeve üzerine kurulabilecek her modelde doğru olması demek olduğunu ve "zorunlu olan doğrudur" ilkesinin yansımalılıkla çakıştığını gösterdi. Erişilebilirlik dersi ise "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesinin geçişlilik gerektirdiğini göstermişti. Programın önermeler mantığı kursunda Lewis ile Langford'un Simgesel Mantık kitabı, katı gerektirmeyi incelerken bir dizi kip sistemi önermişti. Bu ders, bu sistemlerden en çok kullanılan ikisini, S4 ve S5 sistemlerini, çerçeve özellikleriyle birlikte inceliyor ve farklı zorunluluk türlerini bu iki sisteme göre sınıflandırıyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Kurt Gödel, 1933'te yayımladığı Sezgici Önermeler Hesabının Bir Yorumu adlı kısa notunda, "kanıtlanabilir" anlamına gelen bir işleç için ilkeler önerir ve bu ilkelerin Lewis'in S4 sistemiyle eşdeğer bir sistem oluşturduğunu belirtir. Rudolf Carnap, 1946'da Journal of Symbolic Logic'te yayımladığı Kiplikler ve Niceleme makalesinde, mantıksal zorunluluğu bütün durum betimlemelerinde doğruluk olarak tanımlar ve bu tanımın S5 ilkelerini doğrulattığını gösterir. Nathan Salmon ise 1989'da Philosophical Review'da yayımladığı Olabilecek Olanın Mantığı makalesinde, metafizik zorunluluğun S4 sisteminin temel ilkelerinden birini taşımadığını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: her gerçek zorunluluğun S5 olduğu, S4 ile S5 arasındaki farkın pratik bir önemi olmadığı ve iki sistemin birbirinden kanıtlanabilir bir biçimde değil, yalnızca sezgilerle ayrıldığı itirazları.

Sonda, bir zorunluluk türünün hangi sisteme uyduğunu belirlemenin dört adımını göstereceğiz: türün erişilebilirlik ilişkisini çizmek, "zorunlu olan doğrudur" ilkesini sınamak, "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesini sınamak ve "olanaklı olan zorunlu olarak olanaklıdır" ilkesini sınamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: S4 ve S5 sistemleri nedir, hangi çerçevelere karşılık gelir ve farklı zorunluluk türleri hangi sisteme uyar?

Ölçülü iddiam şu: S4 sistemi, zorunluluğun koşulluya dağıldığı ortak çekirdeğe iki ilke ekler: zorunlu olanın doğru olduğu ilkesi ve zorunlu olanın zorunlu olarak zorunlu olduğu ilkesi; bu sistem tam olarak yansımalı ve geçişli çerçevelerde geçerli olan ilkeleri verir; S5 sistemi ise S4'e üçüncü bir ilke ekler: olanaklı olanın zorunlu olarak olanaklı olduğu ilkesi; bu sistem tam olarak yansımalı, geçişli ve simetrik çerçevelerde, yani erişilebilirliğin bir denklik ilişkisi olduğu çerçevelerde geçerli olan ilkeleri verir; iki sistemi ayıran, üçüncü ilkedir ve bu ilke, ilişkinin simetrik olmadığı her yerde bozulabilir; S5 sisteminde uzun kip dizileri en içteki kip sözcüğüne indirgenir, S4'te ise birbirinden farklı çok daha fazla kip dizisi kalır; Carnap'ın gösterdiği gibi, mantıksal zorunluluk S5'e uyar, çünkü her tutarlı dünyadan bakıldığında aynı tutarlı dünyalar kümesi görülür; Gödel'in önerdiği biçimiyle, kanıtlanabilirlik S4'e uyar, çünkü kanıtlanmış olanın kanıtlandığı kanıtlanabilir, ama kanıtlanmamış olanın kanıtlanmadığı her zaman kanıtlanamaz; zamansal zorunluluk da S4'e uyar, çünkü geçmişe dönülemez; Salmon'un savunduğu gibi, metafizik zorunluluk S4'ün bile ikinci ilkesini taşımayabilir; ve yasal zorunluluk, "zorunlu olan doğrudur" ilkesini taşımadığı için, iki sistemin hiçbirine uymaz.

Sıfır noktası

S4 ve S5 adları, bir mantık kitabındaki sıra numaralarından gelir. Clarence Irving Lewis ile Cooper Harold Langford, 1932'de yayımladıkları Simgesel Mantık kitabında, katı gerektirmeyi incelerken beş kip sistemi önermiş ve onlara S1'den S5'e kadar numaralar vermişlerdi. Bu sistemlerden dördüncüsü ve beşincisi, sonradan Kripke çerçeveleriyle en düzenli biçimde karşılanan ve en çok kullanılan sistemler oldu.

İki sistem, ortak bir çekirdek üzerine kurulur. Bu çekirdek, Kripke çerçevesi dersinde görülen ilkeyi, zorunluluğun koşulluya dağıldığı ilkesini, ve kanıtlanmış her cümlenin zorunlu olduğunu söyleyen bir kuralı içerir; her çerçevede geçerlidir. S4, bu çekirdeğe iki ilke ekler: zorunlu olan doğrudur ve zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur. S5, bu ikisine bir üçüncüsünü ekler: olanaklı olan zorunlu olarak olanaklıdır.

Üç ilkenin her biri, bir çerçeve özelliğine karşılık gelir. Birincisi yansımalılığa, ikincisi geçişliliğe karşılık gelir. Üçüncüsü, yansımalılıkla birlikte ele alındığında, simetriye ve geçişliliğe birlikte karşılık gelir: bir dünyadan erişilebilir iki dünya birbirinden de erişilebilir olmalıdır. Yansımalı, simetrik ve geçişli bir ilişki, yüklemler mantığı kursunda tanımlanan bir denklik ilişkisidir. Bu yüzden S5, erişilebilirliğin dünyaları birbirinden ayrık gruplara böldüğü ve her grubun içinde her dünyanın her dünyayı gördüğü çerçevelerin mantığıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Zorunluluğun doğru mantığının hangisi olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, S5 görüşüdür. Buna göre gerçek zorunluluk, S5 ilkelerini taşır: zorunlu olan, her olanaklı dünyada doğrudur ve her olanaklı dünyadan bakıldığında aynı olanaklı dünyalar görülür. Daha zayıf sistemler, gerçek zorunluluğu değil, zorunluluğa benzeyen başka kavramları, kanıtlanabilirliği ya da zamanı, yakalar.

İkinci görüş, S4 görüşüdür. Buna göre zorunluluk, en azından bazı temel biçimlerinde, S5'in üçüncü ilkesini taşımaz: bir şeyin olanaklı olması, onun her yerden bakıldığında olanaklı olmasını gerektirmez. S4, zorunluluğun güvenle kabul edilebilecek en güçlü mantığıdır.

Üçüncü görüş, çoğulcu görüştür. Buna göre tek bir zorunluluk mantığı yoktur; her zorunluluk türü, kendi erişilebilirlik ilişkisinin özelliklerine göre, farklı bir sisteme uyar. Mantıksal zorunluluk S5'e, kanıtlanabilirlik ve zaman S4'e uyar; bazı türler ise S4'ün bile altında kalır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, mantıksal zorunluluk için doğrudur, ama zaman ve kanıtlanabilirlik gibi, zorunluluğun meşru türlerini "zorunluluğa benzeyen" kavramlar diye dışarıda bırakır ve bu dışlamanın gerekçesini vermez. İkinci görüş, S5'in üçüncü ilkesinin pek çok türde bozulduğunu doğru görür, ama mantıksal zorunluluğun S5 ilkelerini taşıdığını açıklayamaz. Üçüncü görüş, Zorunluluk dersinde benimsenen çoğulculuğun doğal devamıdır: zorunluluk türleri neyin sabit tutulduğuyla ayrılıyorsa, mantıkları da erişilebilirlik ilişkilerinin özellikleriyle ayrılır.

Argümanın yapısı

Bir zorunluluk türünün hangi sisteme uyduğunu belirlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, türün erişilebilirlik ilişkisini çizmektir. Değerlendiren, zorunluluk türünün hangi dünyalardan hangilerine baktığını birkaç dünyalık bir çerçeveyle çizer.

İkinci adım, "zorunlu olan doğrudur" ilkesini sınamaktır. Değerlendiren, gerçek dünyanın kendisinden erişilebilir olup olmadığını sorar; değilse, tür S4'e de S5'e de uymaz.

Üçüncü adım, "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesini sınamaktır. Değerlendiren, erişilebilir bir dünyadan erişilebilir her dünyanın, başlangıç dünyasından da erişilebilir olup olmadığını sorar; değilse, tür S4'e uymaz.

Dördüncü adım, "olanaklı olan zorunlu olarak olanaklıdır" ilkesini sınamaktır. Değerlendiren, bir dünyadan ötekine erişilebiliyorsa, ötekinden birincisine de erişilip erişilemeyeceğini sorar; erişilemiyorsa, tür S4'e uyabilir, ama S5'e uymaz.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

S4 ve S5 sistemlerini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. S4 sistemi, zorunluluğun koşulluya dağıldığı çekirdeğe, zorunlu olanın doğru olduğu ve zorunlu olanın zorunlu olarak zorunlu olduğu ilkelerini ekler ve tam olarak yansımalı ve geçişli çerçevelere karşılık gelir; S5 sistemi, bunlara olanaklı olanın zorunlu olarak olanaklı olduğu ilkesini ekler ve erişilebilirliğin bir denklik ilişkisi olduğu çerçevelere karşılık gelir. İki sistemi ayıran üçüncü ilke, ilişkinin simetrik olmadığı her yerde bozulabilir ve S5'te uzun kip dizilerinin en içteki kipe indirgenmesini sağlar. Carnap'ın gösterdiği gibi, mantıksal zorunluluk S5'e uyar; Gödel'in yorumunda kanıtlanabilirlik ve Selin'in zaman oklarında zamansal zorunluluk S4'e uyar; Salmon'un savunduğu gibi, metafizik zorunluluk S4'ün ikinci ilkesini bile taşımayabilir; yasal zorunluluk ise ilk ilkeyi taşımadığı için iki sistemin dışında kalır. Bu yüzden bir zorunluluk türünün mantığını belirlemek, onun erişilebilirlik ilişkisinin özelliklerini sınamaktır.

Açık kalan sorular

Salmon'un masası, metafizik zorunluluğun S4'ün ikinci ilkesini taşımayabileceğini gösterdi. Ama bir nesnenin kökenindeki küçük farklılıkların birbirine eklenebileceği sezgisi güvenilir midir? Bir masanın hangi ölçüde farklı bir parçadan yapılmış olabileceğinin keskin bir sınırı var mıdır?

Tolga'nın kısalan dizileri, S5'te uzun kip dizilerinin en içteki kipe indirgendiğini gösterdi. Gündelik dilde "olabilirdi de olmayabilirdi de" gibi ifadeler, hangi sistemin indirgeme kurallarını izler? Konuşanlar, farkında olmadan, belirli bir sistemi mi varsayar?

Barış'ın dışarıda kalan yasası, yasal zorunluluğun kendi ilkeleri olan ayrı bir sistem gerektirdiğini düşündürdü. Bir yükümlülük mantığının ilkeleri, yükümlülüğün doğasından nasıl çıkarılabilir ve bu mantık, "zorunlu olan doğrudur" ilkesinin yerine hangi daha zayıf ilkeyi koymalıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

S4 sistemi, zorunluluğun koşulluya dağıldığı çekirdeğe zorunlu olanın doğru olduğu ve zorunlu olanın zorunlu olarak zorunlu olduğu ilkelerini ekler ve yansımalı ve geçişli çerçevelere karşılık gelir; S5 sistemi, olanaklı olanın zorunlu olarak olanaklı olduğu ilkesini de ekler ve erişilebilirliğin bir denklik ilişkisi olduğu çerçevelere karşılık gelir.

Gödel'in notu S4'ün kanıtlanabilirliğin mantığı olarak okunabileceğini, Carnap'ın Kiplikler ve Niceleme makalesi mantıksal zorunluluğun S5'e uyduğunu, Salmon'un makalesi ise metafizik zorunluluğun S4'ün ikinci ilkesini bile taşımayabileceğini gösterdi.

Bir zorunluluk türünün sistemi dört adımla belirlenir: erişilebilirlik ilişkisini çizmek, "zorunlu olan doğrudur" ilkesini, "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesini ve "olanaklı olan zorunlu olarak olanaklıdır" ilkesini sırayla sınamak.

Gerçek zorunluluğun S5 olduğu, farkın pratikte önemsiz olduğu ve sistemlerin yalnızca sezgiyle ayrıldığı itirazları, metafizik zorunluluğun bile S5'e uymayabileceğini, üçüncü ilkenin bir olanağın kapanıp kapanmayacağına dair gündelik çıkarımları belirlediğini ve ilişki özelliklerinin çoğu zaman zorunluluk türünün tanımından çıktığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir zorunluluk türünün mantığını seçmek, en güçlü sistemi varsaymak değil, o türün erişilebilirlik ilişkisinin yansımalı, geçişli ve simetrik olup olmadığını tek tek sınayıp buna uyan sistemi bulmaktır.

Sonraki derse köprü

Salmon'un masası, metafizik zorunluluğun mantıksal zorunluluktan farklı bir mantık taşıyabileceğini göstermişti. Kerem, bu farkın nereden geldiğini soruyor: bir masanın başka bir tahta parçasından yapılmış olması mantıksal olarak olanaklıydı, çünkü tarifinde bir çelişki yoktu; ama metafizik olarak olanaksız olabilirdi, çünkü o masa, o durumda, başka bir masa olurdu. Bir şeyin mantık yüzünden değil, kendisinin ne olduğu yüzünden zorunlu olması ne demekti?

Selin, müzedeki el yazmasının, gerçekte yazıldığı kâğıttan başka bir kâğıda yazılmış olsaydı, yine aynı el yazması olup olmayacağını soruyor. Defne, bir hastalığın bir mikroorganizma tarafından doğurulduğunun keşfedilmesinin, o hastalığın o mikroorganizma olmadan var olamayacağını gösterip göstermediğini merak ediyor. Lina, bir şeyin zorunlu olarak doğru olmasının, onun deneyimden önce bilinebilmesini gerektirip gerektirmediğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Metafizik dersi, bir şeyin şeylerin ne olduğu yüzünden zorunlu olmasının ne demek olduğunu, metafizik zorunluluğun mantıksal zorunluluktan ve deneyimden önce bilinebilirlikten nasıl ayrıldığını ve bir nesnenin kökeni ya da yapısı gibi özelliklerin ona zorunlu olarak ait olup olmadığını soruyor.